我與過去的數(shù)學(xué)家們研究數(shù)論的區(qū)別

世界上研究數(shù)論的數(shù)學(xué)家們有多種方法研究，什么代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、解析數(shù)論等等。我所研究的數(shù)論也不知道歸于哪個(gè)體系？我不需要他們而自成體系。

一、歷史的回顧

第一位、用等差數(shù)列表示素?cái)?shù)做出巨大成績得有狄利克雷。

約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷 (Johann Peter GustavLejeune Dirichlet), 1805年2月13日—1859年5月5日，德國數(shù)學(xué)家，科隆大學(xué)榮譽(yù)博士，歷任柏林大學(xué)和哥廷根大學(xué)教授，柏林科學(xué)院院士。他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人，對(duì)函數(shù)論、位勢論和三角級(jí)數(shù)論都有重要貢獻(xiàn)。主要著作有《數(shù)論講義》《定積分》等。

他研究的“等差數(shù)列”問題是不是可以歸于“解析數(shù)論”領(lǐng)域我不知道，但是他用等差數(shù)列研究素?cái)?shù)就是先驅(qū)者之一（其它比他早的也有許多數(shù)學(xué)家研究這一問題）。是不是以后凡是用“等差數(shù)列”研究素?cái)?shù)都?xì)w“解析數(shù)論”？但是我本人的方法絕對(duì)不屬于“解析數(shù)論”，我是拒絕與“解析數(shù)論”站在一起的。

看下圖

這個(gè)里面僅僅是談了一個(gè)素?cái)?shù)級(jí)數(shù)里面的性質(zhì)，而沒有“正整數(shù)空間的概念”。

這是另一張圖片

這個(gè)是說這列等差數(shù)列難度太大，不好研究，他也沒有“正整數(shù)空間的概念”。

第二位，大爺級(jí)的人物

古代數(shù)學(xué)家Euclid：歐幾里得（古希臘文: Ε?κλε?δη?，約公元前330年—公元前275年），古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”。他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在書中他提出五大公設(shè)。

歐幾里得的《幾何原本》被廣泛地認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。

看下面的圖片

兩千年前就知道等差數(shù)列可以表示素?cái)?shù)了，一些中國人你們就不要爭“等差數(shù)列可以表示素?cái)?shù)的”的發(fā)明權(quán)了。

第三位，數(shù)學(xué)家chowla 我查不到他的資料，他可能是一位印度數(shù)學(xué)家，他的發(fā)現(xiàn)是，看下圖

這個(gè)非常重要，一些中國人的論文把這個(gè)概念歸為己有，其實(shí)數(shù)學(xué)思想還是人家的。

二、我與他們有什么不同？

1、自然數(shù)空間概念的表示

我們把全部自然數(shù)用不同數(shù)量的等差數(shù)列組成一組，來代表全部自然數(shù)，形成自然數(shù)的不同空間，如下表

如果不把自然數(shù)用等差數(shù)列分成不同的“自然數(shù)的空間”，這些問題研究起來相當(dāng)?shù)睦щy甚至就是無解。過去數(shù)學(xué)家們都是在一維自然數(shù)空間里，既數(shù)列N+1，N=1、2、3……進(jìn)行研究的。用等差數(shù)列代數(shù)符號(hào)來表示自然數(shù)和素?cái)?shù)，都是混亂的，都是毫無價(jià)值的。因此他們無法深入地探索自然數(shù)里的規(guī)律。任何一個(gè)自然數(shù)（包括素?cái)?shù)）都會(huì)有無窮多的等差數(shù)列符號(hào)來表示。

有了這個(gè)對(duì)“自然數(shù)空間”的分類，我們就知道以下事實(shí)。

1） 每一組“自然數(shù)空間”都可以表示全部自然數(shù)（正整數(shù)）；

2） 在每一組“自然數(shù)空間”里總會(huì)有一組數(shù)個(gè)等差數(shù)列包含了自然數(shù)里面的全部素?cái)?shù)。

以上僅僅是一部分性質(zhì)。

2、 回答等差數(shù)列包含素?cái)?shù)之間的關(guān)系

把自然數(shù)用一組不同數(shù)量的當(dāng)差數(shù)列分成不同的空間后，我們會(huì)看到這些包含素?cái)?shù)的等差數(shù)列，比如3N+1、5N+2、6N±1、8N+5……它們是處于不同“自然數(shù)空間”的等差數(shù)列，不能混淆在一起研究。當(dāng)然一些證明里有“等差數(shù)列”的運(yùn)算，是不是可以建立一個(gè)“等差數(shù)系”我沒有研究，不過我感覺到了它的存在。

還有就是自然數(shù)分成空間后，每一組自然數(shù)空間里面的等差數(shù)列的素?cái)?shù)都是無窮多的，分別包含在了某幾個(gè)等差數(shù)列中。

可以表示成KN+A的形式，其中K是“自然數(shù)空間的維數(shù)”，N是項(xiàng)數(shù)；A是數(shù)列的維數(shù)1、2、3…。每一組KN+A都可以代表全部自然數(shù)。

比如四維自然數(shù)空間可以表示成4N+A，代表全部自然數(shù)，它包含了這四個(gè)等差數(shù)列。

4N+1、4N+2、4N+3、4N+4，其中數(shù)列4N+1和4N+3包含了自然數(shù)里面的全部素?cái)?shù)。

注意：研究這類問題時(shí)必須建立與空間相對(duì)應(yīng)的表格，表格里有一個(gè)序號(hào)也就是項(xiàng)數(shù)N，這個(gè)N的概念與以往的數(shù)學(xué)家研究這類問題的方法有著天壤之別。

3、 用自然數(shù)空間N+1來說明素?cái)?shù)的產(chǎn)生和性質(zhì)

現(xiàn)在我們利用“自然數(shù)空間N+1”來研究基礎(chǔ)數(shù)論里面的幾個(gè)問題。我不使用“初等數(shù)論”這個(gè)名詞是有原因的。數(shù)論沒有初等和高等，只有基礎(chǔ)和高等。連基本的數(shù)論概念都無法確定的時(shí)期里，何談什么高級(jí)數(shù)論和解析數(shù)論？

使用“N+1”空間可以做一個(gè)表格如下：

我們觀察這個(gè)表格可以發(fā)現(xiàn)一下性質(zhì)：

1）正整數(shù)（自然數(shù)）1、2、3、4……就是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列，我們看可以簡單表示成N+1，N是項(xiàng)數(shù)，取0、1、2、3……。

2） 自然數(shù)里面的合數(shù)是這樣產(chǎn)生的，

1分別于1、2、3……相乘，結(jié)果還是1、2、3……

2分別于1、2、3……相乘，結(jié)果是偶數(shù)2、4、6……

3分別于1、2、3……相乘，結(jié)果是偶數(shù)3、6、9……

我們可以這樣無窮無盡的寫下去。

我們用“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列來表示”，就是

1k+0

2k+1

3k+2

5k+4

7k+6 ……

第一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)，第二數(shù)是系數(shù)，取k=1、2、3……，后面數(shù)是素?cái)?shù)所在的項(xiàng)數(shù)。

可以用公式表示 SK+n n=0、1、2、3……

注意我們不使用權(quán)威的“素?cái)?shù)定義”，這里的1是一個(gè)“單位”，既是合數(shù)也是素?cái)?shù)。

比如第一項(xiàng)的1就是一個(gè)素?cái)?shù)1，而1與（N+1）相乘的數(shù)都可以看成是1的合數(shù)，包括1X1的1。這里我們不討論1^n的情況。

按這個(gè)定義我們可以解釋(1X1)/1=1，1X(N+1)/1=(N+1)和1X(N+1)/(N+1)=1的原因。

注意(1X1)/1=1和1X(N+1)/1=(N+1)性質(zhì)是不同的。這里我們不做討論。

必須注意“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列”不同于“合數(shù)數(shù)列”，它得到的是項(xiàng)數(shù)需要代入數(shù)列N+1中去。

3） 我們可以寫出來一個(gè)“合數(shù)項(xiàng)方程式”

Nh=a(b+1)+b （公式1）

其中Nh、a,b都是項(xiàng)數(shù)。

4） 我們可以寫出來一個(gè)“素?cái)?shù)項(xiàng)公式”

Ns=N-Nh （公式2）

利用這個(gè)公式可以求出素?cái)?shù)所在的項(xiàng)數(shù)N，然后代入N+1就可以得到一個(gè)素?cái)?shù)。

使用公式1可以有是不是素?cái)?shù)與合數(shù)的判定式。

從上面的表格和公式，我們可以看到素?cái)?shù)產(chǎn)生的原因。

從第一個(gè)素?cái)?shù)出現(xiàn)后，它的合數(shù)數(shù)列都是以這個(gè)素?cái)?shù)為周期而出現(xiàn)的合數(shù)數(shù)列。比如2K+1、7K+6等等。但是項(xiàng)數(shù)N是連續(xù)的，這樣總會(huì)出現(xiàn)合數(shù)項(xiàng)數(shù)N的空位，而這些空位就必須由新的素?cái)?shù)來補(bǔ)充進(jìn)來。這就是素?cái)?shù)在自然數(shù)里產(chǎn)生的原因。

注意：素?cái)?shù)不是隨機(jī)出現(xiàn)的，不能用《概率論》來討論素?cái)?shù)在自然數(shù)里面的分布規(guī)律，只要確定了“自然數(shù)的空間”，每一個(gè)素?cái)?shù)都有自己固定的位置N，它們是與項(xiàng)數(shù)N一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

在不同的“自然數(shù)空間里”素?cái)?shù)所對(duì)應(yīng)的位置N也是不相同的。

上面的公式1和公式2，在不同的“自然數(shù)的空間”里數(shù)量是不同的。比如在6N+A自然數(shù)空間里公式2是一組“合數(shù)項(xiàng)方程式”，一共有四個(gè)公式。這與這個(gè)空間里的含素?cái)?shù)數(shù)列有關(guān)。

4、 合數(shù)項(xiàng)公式和素?cái)?shù)項(xiàng)公式的應(yīng)用

利用公式1可以有一個(gè)某數(shù)是不是素?cái)?shù)的判定式，從理論上講可以求出要多大有多大的素?cái)?shù)，這就取決于計(jì)算機(jī)的功能了。

這里這些問題我們不做詳細(xì)的討論，這個(gè)理論的應(yīng)用極其廣泛這僅僅是一個(gè)開始。

這些定義和公式，從理論上來講就為“基礎(chǔ)數(shù)論” 打下了基礎(chǔ)，明確了素?cái)?shù)產(chǎn)生的原因和素?cái)?shù)在不同的“自然數(shù)空間”里的分布規(guī)律。

最后，本人的理論是承前啟后的，是開創(chuàng)性的，與其它“數(shù)論體系無關(guān)”。我的數(shù)論體系就叫做：

初等方法的數(shù)論理論體系。

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2025年4月26日星期六