最近，鄰居家小孩報了個小提琴班，在家練習的時候，經常會傳來一陣陣的鋸木頭聲，有時甚至像尖叫雞的聲音。我家小孩今年也剛開始學古箏，雖然有時候跟不上旋律，但似乎聲音本身并不難聽。為什么同樣是初學者，會有這么明顯的區別呢？難道是我對自家娃有濾鏡嗎？

01、是噪音還是動人的聲音？關鍵看泛音

大家應該都知道，聲音來自于物體的振動。比如下圖中的音叉，只有讓它振動才能發出聲音。音叉的振動會帶動附近空氣的振動，從而在空氣中擴散開來，當擴散到人耳時就被聽到了。這就像在平靜的水面扔了一顆石頭，然后水的波紋往外擴散開來一樣。

音叉的振動圖源：攝圖網

所以，聲音可以用波來表示，聲波振動幅度的大小和振動的快慢決定了不同的聲音。振幅（A0）越大，代表著聲音響度越高，也就是聲音越大。周期（T）越短，表示振動越快，頻率越高，所以音調就越高，聲音就越尖。

聲波圖源：作者供圖

理想的聲波，用音調和響度就可以完全表征。然而，現實中的聲音要復雜得多，可以看成是無數個簡單聲波疊加而成的。在這些疊加的聲音里，有一類特殊的聲音，它們能讓人賞心悅目，這就是樂音。

復雜聲波由簡單聲波疊加而成圖源：博客

樂音同樣有音調和響度，但它還有第三個特征：音色，主要由泛音決定。樂音并非只有一種頻率，它同樣是多種頻率的疊加。與普通聲音不同，樂音疊加的頻率有一定的規律：是基頻（波動或振動的最低頻率）的整數倍[1]，也就是滿足畢達哥拉斯規律[2]。而除基頻外，疊加頻率的聲音都是泛音。

泛音圖源：sohu

我們可以輕易分辨出不同人講話，分辨出不同樂器的發音，靠的就是泛音的不同。同一個旋律，不同樂器組合發聲，不同的泛音會讓這段旋律更加豐富。

02、為什么初學者可以讓古箏發出美妙聲音？

對于一根給定的琴弦，存在著無數種不同的振動形式，每一種都對應了一個固有頻率[3]。最低的那個頻率對應的就是基頻，其余都是泛音。這里的固有頻率都是自由振動下的頻率，即外力撥動琴弦之后迅速消失，琴弦在這個外力的作用下產生振動，這種固有頻率下的振動發音就是撥弦。當琴弦的材質（密度）、尺寸（弦長與粗細）、張力確定后，這根琴弦的基頻也就確定了。因此，不管你會不會彈古箏，撥動琴弦后，琴弦的發音都是一樣的，聽起來都很美妙。

古箏彈久后，需要重新調音，使琴弦變得緊繃，也就是改變了琴弦的張力，從而改變固有頻率圖源：作者供圖

值得一提的是，不同樂器的琴弦，彈奏同一首旋律，其基頻必定是相同的。盡管不同樂器的琴弦有長有短、有粗有細、有尼龍有金屬絲，但是通過基頻公式，總可以設計出同一個基頻。唯一的區別就在于之前說的音色，不同的泛音疊加后聽起來就不一樣了（有的疊加得多，有的疊加得少）。

03、為什么初學者拉小提琴會跟鋸木頭一樣？

拉弦作用下的琴弦振動與撥弦作用下的琴弦振動完全不同。拉弦作用下的琴弦振動是在拉弓的持續作用下產生的受迫振動（外力持續作用下的振動）。更加嚴格地說，拉弦下的琴弦振動是一種自激振動。琴弦從拉弓處獲得能量，在接觸位置產生交變力，從而產生振動，這種振動根源來自琴弦自身，所以是自激振動。大家洗碗的時候也能感受到這種振動——潔凈濕潤的指腹摩擦過碗沿，能夠感受到指腹傳來的振動，這有點類似于古代的黑魔法——魚洗盆。

魚洗盆的自激振動圖源：sohu

外力作用于琴弦方式的不同，也會引起了琴弦振動形態的不同。撥弦的自由振動，琴弦呈現出標準正弦波的形態。

撥弦的自由振動是正弦波圖源：SOOGIF

而拉弓鋸弦引起的琴弦振動卻呈現出不規則的形態，并且能夠明顯看出波的傳遞——從拉弓位置向遠端傳遞。

拉弦的自激振動是V波圖源：大美科學

這種特殊的波形，最早是亥姆霍茲發現的[4]。拉弓過程中，琴弦接觸點被弓打動產生位移，這種位移隨時間呈現鋸齒狀，于是振動產生了。整根琴弦，在這個起始位移振動的帶領下，振動起來，并且向遠端擴散出去。

亥姆霍茲運動圖源：參考文獻[4]

為何會形成上圖這種特殊的V形波呢？其實，也很容易理解。拉弓鋸弦的時候，琴弦由于弓的作用在持續高頻振動。波是會擴散的，在接觸位置初始就是一個V（被弓拉出來的形狀），所以這個波往外擴散時，仍然基本保持著初始姿勢。但隨著擴散的進行，在遠端時，V形的尖角其實已經不那么尖了。

V波的傳遞圖源：中科院物理所

初始時刻，弓向上運動（如下圖），在摩擦力的作用下帶動琴弦運動。剛開始時，琴弦位移較小，產生的回彈力也小，不足以抵抗摩擦力，此時兩者之間是靜摩擦。隨著位移的增大，回彈力變大，把琴弦往回拉動，此時兩者產生滑動，是滑動摩擦。靜摩擦與動摩擦的摩擦系數是不同的，拉弓鋸弦的過程是動靜摩擦不斷相互變化的過程，這是個典型的摩擦力突變的非線性過程。

動靜摩擦相互轉化圖源：作者供圖

同一根弦，對于拉弦來說，優美的聲音與弓的速度、弓的下壓力，以及拉弓的位置密切相關。研究表明[4]：弓速增加，聲音會變大；弓壓增加，聲音也會變大；距離琴碼增加，聲音略微減小。一個熟練的小提琴家，完全掌握這3個參數的運用及變化，才能創造美妙的音樂。但是，對于初學者來說，很難根據旋律的變化控制這3個參數的變化。單從音量來說，很可能因為太著急、太用力，就比較大了。

另外，琴弦的基頻與張力密切相關，用力過猛增加了琴弦的張力，提升了基頻，再疊加上其它頻率的不規則泛音，簡直就會像尖叫雞一樣。所以，想要學好小提琴，除了長時間練習，抽空還得學學力學，知道其中的原理，可以更加熟練地拉弓鋸弦。

參考文獻

[1] Young, Freedman, University Physics with Modern Physics, 14th edition, Pearson, 2016.

[2] 劉延柱, 漫畫音樂中的力學, 力學與實踐, 2011, 33(3): 91-94.

[3] 王一鳴等, 琴弦在點驅動力作用下受迫振動的研究, 大學物理, 2022, 41(5): 9-12, 62.

[4] 張承忠等, 小提琴弓弦系統的振動形態及振動機理研究, 振動工程學報, 2025, 28(3): 359-365.

作者：王永健，南京農業大學副教授，江蘇省力學學會科普工作委員會副秘書長，江蘇省首席科技傳播專家

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