防走失，電梯直達(dá)

來源：環(huán)球科學(xué)

作者：杰克·默塔（Jack Murtagh）

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請思考這樣一個問題：假設(shè)我在過去9年（2016年4月至今）中隨機(jī)選取某個具體時刻，精確到年、月、日、時、分乃至秒。你能猜中這個時間點嗎？這看上去似乎絕無可能。但其實猜中這一特定時刻的概率仍然比贏得強(qiáng)力球（Powerball）彩票頭獎的概率高。

強(qiáng)力球是美國最受歡迎的彩票之一。2023年10月，強(qiáng)力球彩票因頭獎金額累積至17億美元登上頭條，這是該彩票歷史上第二高的獎金。眾所周知，彩票中獎的概率微乎其微。但當(dāng)頭獎獎金如滾雪球般刷新紀(jì)錄時，天文數(shù)字的潛在回報能否抵消極低的中獎概率？換言之，購買彩票是否可能成為一項理性選擇？答案或許令人意外——即便數(shù)學(xué)計算顯示，購彩存在好的“期望”（期望值為正），但在現(xiàn)實中，這可能依然是個糟糕的決策。

“期望值”這個數(shù)學(xué)概念有時被用于區(qū)分賭局的好壞。以骰子游戲為例：花1元錢下注1~6中的某個數(shù)字，若猜中則贏回賭注，外加額外的1元獎金，猜錯則損失本金。顯然你不會選擇下注，因為潛在的收益與損失一樣，都是1元，但失敗損失本金的概率高達(dá)5/6。

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如果下注成本仍為1元，但猜中可贏得100元呢？此時的獎金額度似乎足以補償失敗風(fēng)險。通過概率計算，我們能精確界定玩家愿意參與賭局的臨界金額。其中的核心變量有三項：下注成本、潛在收益與獲勝概率。通過對所有可能結(jié)果（收益與損失）做加權(quán)平均，我們可以計算出賭局的期望值：期望值=獲勝概率×收益金額-失敗概率×損失金額。計算得到的期望值反映了長期重復(fù)下注時，每次投注的預(yù)期平均收益（負(fù)值則表示預(yù)期虧損）。

在骰子游戲的案例中，獲勝概率為1/6，失敗概率為5/6，盈虧金額均為1元。因此，期望值=（1/6×1）-（5/6×1）=-0.67元。這意味著，如果在骰子游戲中長期重復(fù)下注，將導(dǎo)致平均每次損失約0.67元。若把獎金提升至100元，期望值將變?yōu)檎?6元，骰子游戲則會成為明顯有利的賭局。我們還可以用期望值公式求解賭局的盈虧平衡點（令期望值為0）。對于骰子游戲，平衡點處獎金應(yīng)為5元——失敗概率是獲勝的5倍，5倍的獎金恰好能抵消風(fēng)險。

我們可以用期望值方法來分析強(qiáng)力球彩票。強(qiáng)力球頭獎的初始獎池約為2000萬美元，每注成本為2美元，而頭獎的中獎概率為1/292 201 338。代入公式計算可得，單張彩票的期望值約為-1.93美元——與其購買彩票，不如直接把兩塊錢換成一毛錢來的劃算。更不用說，這一計算過程還忽視了各種復(fù)雜因素：首先，它假設(shè)你選擇了年金的支付方式（美國彩票獎金提取的方式之一，首次提取后29年內(nèi)每年分期領(lǐng)取，其長期價值高于一次性領(lǐng)取）；其次，它并未計入37%的美國聯(lián)邦稅以及比例各不相同的州稅；此外，它還忽略了部分號碼匹配的小額獎項分走的獎金。

如果將這些都納入考量，那-1.93美元的虧損預(yù)期都顯得過于樂觀。不過，2000萬美元的獎池和17億美元的獎池的確是兩碼事。強(qiáng)力球彩票的玩法是：如果某一期沒有人贏走頭獎，那么獎池的總金額將會累積到下一輪。當(dāng)獎池一次又一次地積累增長，巨大的數(shù)額總有一天能抵消微小的中獎概率，使期望值大于零。

如果簡單套用期望值的公式，在3億分之一的概率下，17億美元的獎金的確對應(yīng)了正期望值。媒體常宣稱此時購彩在數(shù)學(xué)上很合理，但這種說法忽略了一個關(guān)鍵細(xì)節(jié)：多人同時中獎導(dǎo)致獎金被分?jǐn)?/strong>。此時，精確計算期望值就需要考慮所有的可能情形：獨中頭獎概率×全額獎金+兩個人平分頭獎的概率×半數(shù)獎金+三個人平分頭獎的概率×1/3的獎金......

不過，這樣精確的計算是否有意義？既然中頭獎本身已是概率極低的事件，那么同一期出現(xiàn)兩名頭獎得主的概率是否更是低到可以忽略不計？這種直覺在獎池較小、購彩人數(shù)較少時或許成立——比如當(dāng)獎池僅有2000萬美元時，多人同時中獎的概率確實微乎其微。但在一些關(guān)鍵時刻，現(xiàn)實往往違反直覺：當(dāng)銷售額達(dá)到數(shù)億量級時，頭獎“撞車”的概率其實相當(dāng)高。

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以2016年為例，彼時頭獎金額有史以來首次突破10億美元（最終為15.6億），引發(fā)了美國全民購彩狂潮，單期銷量飆升至6.35億張（達(dá)當(dāng)年平均銷量的20倍）。這種情況下，出現(xiàn)多名頭獎得主的概率超過了60%！事實上，最終的確有三名得主瓜分了當(dāng)期獎金。而即使是如此龐大的獎金池，在平分頭獎、抽稅和小額獎項的疊加影響下，其收益期望值仍為負(fù)數(shù)。

此外，60%分?jǐn)傤^獎的概率源自人們完全隨機(jī)選擇號碼的假設(shè)，可事實并非如此。盡管所有號碼組合的中獎概率相等，但人們總傾向于選擇那些有意義的號碼組合，比如生日或紀(jì)念日（這導(dǎo)致有大量數(shù)字≤31），或者看似更隨機(jī)的奇數(shù)與非10的倍數(shù)。這種行為導(dǎo)致較小數(shù)字的獎池更容易“撞車”，而其他數(shù)字則相對“安全”，比如選擇大偶數(shù)與10的杰克·默塔是一位數(shù)學(xué)科普作家和謎題設(shè)計師，他為《科學(xué)美國人》撰寫數(shù)學(xué)趣聞專欄，也是《晨間簡報》（MorningBrew newsletter）每日謎題的創(chuàng)作者。默塔擁有美國哈佛大學(xué)理論計算機(jī)科學(xué)的博士學(xué)位。

倍數(shù)雖不會提升中獎率，卻能降低分?jǐn)偑劷鸬娘L(fēng)險。自2016年以來，購彩狂潮已逐漸消退。近年的兩大歷史級頭獎（2022年11月和2023年10月）因人們較為克制的購買欲望，在計入稅費與分?jǐn)偤蠖虝撼霈F(xiàn)了正期望值，但這種情況極為罕見。美國某些州的地方性彩票因熱度較低，或許更易找到正期望值機(jī)會。

不過，請不要因此急著去彩票店掏空錢包。正數(shù)學(xué)期望值的確很有吸引力，但我還是想要提醒：即便如此，彩票依然是一項糟糕的“投資”。具有正期望值的彩票極為罕見，且存在一個關(guān)鍵限制：由于每期彩票的銷量數(shù)據(jù)在開獎前并不會公開，因此其實你并不能精確估算期望值。2016年的案例表明，更大的獎池可能對應(yīng)著更小的期望值。所以本質(zhì)上，對彩票期望值的估計本身也是一種賭博。

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然而，即使你有能力推算出購買人數(shù)，正期望值本身也并不代表“好的投資”。更根本的問題在于，期望值模型在涉及中等規(guī)模數(shù)額且概率顯著大于零的場景下能有效指導(dǎo)決策，但在像彩票這類極小概率、超大賠率的極端概率場景中，它的作用存在局限。

首先，期望值以長期重復(fù)行為為前提。當(dāng)你在骰子游戲中押注100元，其實并不能單次就獲得16元的期望收益，你要么輸?shù)?元，要么獲得100元。只有不斷地押注，才能逐漸逼近16元的平均收益。但彩票中獎的極端稀缺性讓“長期平均”失去了意義。其次，金錢存在邊際效用遞減——第二個一億元帶來的快樂遠(yuǎn)不及第一個。但期望值模型卻將每一元錢等值對待。類似的是，該模型也忽視了人類厭惡風(fēng)險的心理：人們對損失的厭惡通常強(qiáng)于對收益的渴望。因此盡管期望值模型適用于概率系統(tǒng)的評估，卻無法簡單地適用于我們的人生決策。

最后，讓我們退出數(shù)學(xué)討論，回歸彩票的本質(zhì)屬性——購買彩票其實更像是一場短暫體驗幻想的消費。研究表明，購彩行為增加了參與者在開獎前的期待幸福感。對人們來說，重要的不僅僅是彩票的結(jié)果，還有參與這項游戲本身。人生難免有非理性支出，而消費彩票的錢也并非毫無意義，反而具有特殊的社會功能：彩票收入多用于教育、扶貧、養(yǎng)老及醫(yī)療救助等民生領(lǐng)域，同時也為國家提供了一定的財政稅收。所以，盡管從數(shù)學(xué)理性出發(fā)，我無法推薦你去購買彩票，但幸福的生活也不全然依靠數(shù)學(xué)指導(dǎo)。

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