今天我們講幾個有趣但也有點燒腦的幾個哲學悖論。

芝諾是古希臘愛利亞學派的代表人物之一，是提出存在論的巴門尼德的學生，其最大貢獻，就是為巴門尼德的存在論進行辯護，并提出了四個著名的哲學悖論。

芝諾的四個悖論

1.阿喀琉斯和烏龜

這個悖論我在《古希臘哲學（上）》中講過，我在這里再簡單介紹下。

阿喀琉斯是古希臘著名的大英雄，非常善于奔跑，然而芝諾通過自己的論證卻證明了阿喀琉斯永遠追不上在他前面的一只烏龜。

芝諾的論證是這樣的：烏龜在阿喀琉斯前面某處A向前爬，阿喀琉斯追上烏龜到達A點時，烏龜此刻必然已經到達了A點前面的一點B；當阿喀琉斯再次追趕烏龜達到B點時，烏龜則到達了B點前面的一點C；如此下去，每當阿喀琉斯到達烏龜上一刻所在的位置時n，烏龜必然已經到達了了在他前面的一點m，因此阿喀琉斯永遠追不上在他前面的一只烏龜。

2.二分法

二分法與上面的悖論類似。假設一個人想要到達終點O，他必然要先到達中點A，但如果他想要到達A，他必須先到達起點與A點之間的中點B……以此類推，這個人想要達到某一點n，必須要先到達起點與這一點的中點m，因此他就困在這個二分的陷阱之中，永遠無法到達目的地。

3.飛矢不動

芝諾認為飛著的箭在每一個時刻都處在一個確定的位置上，比如在時間t0時它所處的位置是A，A是固定的，因此在此時箭是靜止不動的；在時間t1時，飛箭所處的位置是B，B同樣也是固定不動的。而飛箭在整個運動過程中都是由無數個靜止不動的瞬間組成，因此飛行的箭實際上在整個過程中都是處于靜止不動的狀態。

4.運動場悖論

有三行相同規模、人數為雙數的隊伍，第一行記為A，第二行記為B，第三行記為C，A隊伍站正中間。B隊伍從左往右排，最后一個人與A隊伍站中間（靠左）的人對齊。C隊伍從右往左排，最后一個人與A隊伍站中間（靠右）的人對齊。B、C隊伍同時出發，以同樣的速度向著相反的方向前進，直到與A隊伍對齊。如果相對于A隊伍，B、C隊伍是用了一個單位的時間到達，那么相對于C隊伍，B隊伍是用了兩個單位時間。因為B隊伍用時是不變的，所以會推出矛盾：一個單位的時間等于兩個單位的時間。

關于芝諾悖論的解釋

悖論三和悖論四很好解釋，我在這簡單說一下。

悖論三：芝諾對于靜止的定義發生了錯誤，如果相鄰時刻物體位置相同，則物質處于靜止狀態，反之處于運動狀態。

悖論四：不同的參照系，必然會造成不同的運動結果，芝諾忽略了相對運動的影響。

下面我們主要重點討論下第一和第二悖論（其實可以算作一個悖論）。

如果我們根據常理去判斷，這兩個悖論在現實中顯然是不可能的，因為阿喀琉斯可能只需要一步就能跨過芝諾設下的悖論陷阱，超過烏龜。然而按照芝諾的邏輯去看，這個悖論似乎又是無可辯駁的。

那么問題出在了哪里呢？

亞里士多德給出的解釋是：當追趕者與被追者之間的距離越來越小時，追趕所需的時間也越來越小。無限個越來越小的數加起來的和是有限的，所以可以在有限的時間追上。

而阿基米德發現了一種類似于幾何級數求和的方法，而問題中所需的時間是成倍遞減的，這正是一個典型的幾何級數，由此可知阿基里斯追上烏龜的總時間是一個有限值。

其實亞里士多德和阿基米德給出的解釋原理是一樣的，都是認為在阿喀琉斯無限接近烏龜時，所需的追趕時間會越來越短，直至趨近于零。每次追趕所需要的時間（假設時間無限可分）之和是一個有限的值T，因此只要超過這個有限時間T，阿喀琉斯就超過了烏龜。

芝諾的錯誤在于將項數的無窮與結果的無窮相混淆，芝諾可以根據自己的悖論將時間劃分為無限的項數，然而這些無窮的項數相加結果卻并非是無窮的。

但我認為，芝諾的根本錯誤在于對時間和空間的無限可分，他一步步將阿喀琉斯追趕烏龜的時間分割，最后直至趨近于零。但是根據現代量子物理的理論，時間、空間和能量都是有限可分的，這個可分的最小單位被稱之為普朗克長度。因此當阿喀琉斯追趕烏龜花費的時間小于這個最小長度時，便在物理學上失去了討論的意義。

我們可以想象一下這個畫面：當阿喀琉斯距離烏龜只有1米遠時，阿喀琉斯只需要一步就能追上烏龜，然而芝諾的悖論就在于將這一步的距離以及所需要的時間無限分割，直至在時間和空間上無限趨近于零，最終的結果是阿喀琉斯和烏龜在這種極端情況下都趨于一種靜止狀態，這便失去了原本追趕的意義。

康德曾經將知識劃分為形式邏輯和事實的邏輯兩種。形式邏輯只講究邏輯本身的自洽：如所有飛馬都會飛，赤兔是一只飛馬，因此赤兔會飛，這是典型的亞里士多德三段論推理法，我們可以將特例總結為：所有A都屬于B，C屬于A，則C必然屬于B，這樣的形式邏輯在推理上是正確的無法辯駁的，然而這卻與事實不符，因為現實中不存在飛馬，因此基于錯誤前提使用正確推導過程得出的結果也是錯誤的。

而事實的邏輯，則需要邏輯的前提以及考察對象都與事實相一致，才能保證邏輯推導過程和結果都正確無誤。如所有人都會死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會死，這樣的結果顯然是與事實相符的。

芝諾悖論在推理過程上是嚴謹的，在邏輯上也是無懈可擊的，但其對于邏輯對象即時間、空間的應用是卻是錯誤的。芝諾的推理過程只能算是一種形式邏輯，但不是事實的邏輯，其悖論的核心和前提在于時間和空間的連續可分，然而這與事實以及量子力學理論都不相符，因此基于這樣前提使用正確推理得出的結果也是不正確的。

對芝諾的評價

柏拉圖在《巴門尼德篇中》這樣評價芝諾：“芝諾的功績在于把動和靜、無限和有限、連續和離散的關系惹人注意地擺了出來，并進行了辯證的考察”。黑格爾在他的《哲學史講演錄》中指出:"芝諾主要是客觀地辯證地考察了運動"，并稱芝諾是"辯證法的創始人"。

芝諾悖論讓后世無數哲學家陷入了沉思，并試圖從各個方面去破解他的這四個悖論，然而始終無人能給出能夠完全讓人信服的解釋。而從數學角度來看，芝諾悖論也是最早思考運動連續性以及無窮集合的哲學家之一，甚至影響到了近現代數學極限與集合概念的提出。

英國哲學家懷特海曾經表示，雖然所有人都不認同芝諾的結論，但“每個世紀都認為他值得反駁”，這就非常了得，因為“文字能被每個世紀所反駁乃是成就之巔峰”。