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現(xiàn)代人工智能AI工具，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)，擅長(zhǎng)識(shí)別模式并橫跨復(fù)雜數(shù)據(jù)集進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文將通過(guò)具體案例，展示人工智能如何融入數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的日常研究活動(dòng)，并著重于實(shí)際的現(xiàn)實(shí)世界應(yīng)用，而非對(duì)該領(lǐng)域的泛泛概述。

我們將首先探討一些人工智能如何推動(dòng)幾何、代數(shù)和數(shù)論發(fā)展的例子，然后探討卡拉比-丘流形的具體情況。最后，我們鼓勵(lì)讀者將ChatGPT視為一個(gè)啟迪靈感的繆斯女神，即使它目前只是一個(gè)功能相當(dāng)有限的通用問(wèn)題解決工具。

作者：Laura P. Schaposnik

Maximilian J. Telford

Yang-Hui He（何楊輝）

Lara B. Anderson

Steve Bradlow

2025-4

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-4-18

1、人工智能如何重塑日常研究

作者：

Laura P. Schaposnik

伊利諾伊大學(xué)芝加哥分校的數(shù)學(xué)教授

Maximilian J. Telford

倫敦大學(xué)學(xué)院?jiǎn)痰吕谞杽?dòng)物學(xué)和比較解剖學(xué)教授

1953年，羅爾德·達(dá)爾（Roald Dahl）創(chuàng)作了《偉大的自動(dòng)語(yǔ)法化器》（The Great Automatic Grammatizator）。故事講述了一臺(tái)機(jī)器開(kāi)始以驚人的技巧和速度大量創(chuàng)作小說(shuō)，其速度之快，甚至威脅到人類(lèi)創(chuàng)造力的光芒。

這臺(tái)由一位年輕工程師創(chuàng)造的“語(yǔ)法化器”堪稱機(jī)械奇跡，它學(xué)會(huì)了按照嚴(yán)格的語(yǔ)法和風(fēng)格規(guī)則創(chuàng)作故事，直到最終變得與真實(shí)作家的作品難以區(qū)分。

最初令人好奇之物很快演變成顛覆性的力量，引發(fā)了關(guān)于人類(lèi)創(chuàng)造力本質(zhì)的令人不安的問(wèn)題。大約十年后，即1965年，斯坦尼斯瓦夫·萊姆（Stanis?aw Lem）出版了《賽博詩(shī)集》（The Cyberiad），其中特魯爾的“電子詩(shī)人”能夠根據(jù)簡(jiǎn)單的提示自動(dòng)創(chuàng)作詩(shī)歌：經(jīng)過(guò)一些訓(xùn)練后，特魯爾會(huì)提出以下要求：

給我來(lái)首情詩(shī)吧，抒情的、田園的、用純數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。主要用張量代數(shù)，必要時(shí)可以加一點(diǎn)拓?fù)浜透叩任⒎e分。但你懂的，它充滿情感，并且蘊(yùn)含著控制論的精神。

他很快收到了一首數(shù)學(xué)詩(shī)：

來(lái)吧，讓我們趕往高階平面，其中二元組踏上了維恩的仙境，它們的指數(shù)從1到n，混合在無(wú)盡的馬爾可夫鏈中！

雖然達(dá)爾和萊姆的故事是對(duì)自動(dòng)化的荒誕批判，但在我們今天努力理解人工智能在傳統(tǒng)人類(lèi)領(lǐng)域中的角色時(shí)，它們卻有著驚人的現(xiàn)實(shí)意義。今天，秉承萊姆精神，ChatGPT溫和地回應(yīng)了上述問(wèn)題：

哦，讓我們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在緊空間里交織，神圣的愛(ài)。莫比烏斯之吻，克萊因瓶的色彩，于真愛(ài)之處，界限消失。

OpenAI發(fā)布ChatGPT的公開(kāi)版本后不久，達(dá)爾的“偉大的自動(dòng)語(yǔ)法化器”（Great Automatic Grammatizator）及其現(xiàn)代（非虛構(gòu)）版本就成了牛津大學(xué)萬(wàn)靈學(xué)院研究員們著迷的話題——作家和研究人員會(huì)不會(huì)很快被淘汰？生命的起源會(huì)在我們有任何新發(fā)現(xiàn)之前就被理解嗎？

ChatGPT以其最具達(dá)爾式的散文寫(xiě)作風(fēng)格，很快便進(jìn)入了我們的學(xué)術(shù)界。最初，它以學(xué)生論文的形式出現(xiàn)——有一些寫(xiě)得不好的論文，完全依賴于這項(xiàng)技術(shù)來(lái)處理內(nèi)容和結(jié)構(gòu)；但也有一些更令人鼓舞的優(yōu)秀作品，這些作品是人工智能用來(lái)潤(rùn)色和幫助非英語(yǔ)母語(yǔ)的學(xué)生完成的。

人工智能對(duì)教育的影響讓我們得以一窺其潛力，而其在科學(xué)研究中的應(yīng)用則揭示了人機(jī)合作的更多可能性。2024年，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)和化學(xué)獎(jiǎng)的頒發(fā)，標(biāo)志著人工智能對(duì)科學(xué)的廣泛影響得到了認(rèn)可。

物理學(xué)獎(jiǎng)授予約翰·霍普菲爾德（John Hopfield）和杰弗里·辛頓（Geoffrey Hinton），以表彰他們“在利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)方面做出的基礎(chǔ)性發(fā)現(xiàn)和發(fā)明”。

化學(xué)獎(jiǎng)的一半獎(jiǎng)項(xiàng)授予了德米斯·哈薩比斯（Demis Hassabis）和約翰·江珀（John Jumper），以表彰他們“對(duì)蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)的貢獻(xiàn)”。這句簡(jiǎn)短的話不足以描述這對(duì)搭檔開(kāi)發(fā)名為AlphaFold2的人工智能模型的工作。

AlphaFold2使計(jì)算機(jī)能力實(shí)現(xiàn)了非凡的飛躍，使其能夠利用構(gòu)成蛋白質(zhì)的二十種不同氨基酸的線性序列來(lái)預(yù)測(cè)數(shù)億種蛋白質(zhì)復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)。

與生物學(xué)家和化學(xué)家一樣，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家并沒(méi)有因擔(dān)心人工智能的潛在濫用而卻步，許多不同科學(xué)分支的從業(yè)者現(xiàn)在正專注于人工智能在不久的將來(lái)可能以多種有益的方式幫助我們的領(lǐng)域取得進(jìn)步。

事實(shí)上，不同于達(dá)爾的嚴(yán)格遵循編程語(yǔ)法規(guī)則的自動(dòng)機(jī)，當(dāng)今的人工智能模型遠(yuǎn)不止于單純的模仿。它們不再局限于預(yù)先定義的模式：它們開(kāi)始產(chǎn)生洞察力，提出新的研究方向，在某些情況下，甚至在數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域超越人類(lèi)的直覺(jué)。

如今，ChatGPT公開(kāi)發(fā)布已兩周年，我們將探討人工智能如何成為寶貴的研究伙伴，并在某些情況下超越人類(lèi)能力極限的一些亮點(diǎn)。無(wú)論是幫助研究人員探索?？臻g的高維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，優(yōu)化卡拉比-丘（CY）流形的復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)，還是發(fā)現(xiàn)代數(shù)結(jié)構(gòu)中的新模式，人工智能正在從根本上重塑數(shù)學(xué)和物理探索的過(guò)程。

現(xiàn)代人工智能工具，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)，擅長(zhǎng)識(shí)別模式并橫跨復(fù)雜數(shù)據(jù)集進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文將通過(guò)具體案例，展示人工智能如何融入數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的日常研究活動(dòng)，并著重于實(shí)際的現(xiàn)實(shí)世界應(yīng)用，而非對(duì)該領(lǐng)域的泛泛概述。

我們將首先探討一些人工智能如何推動(dòng)幾何、代數(shù)和數(shù)論發(fā)展的例子，然后探討卡拉比-丘流形的具體情況。最后，我們鼓勵(lì)讀者將ChatGPT視為一個(gè)啟迪靈感的繆斯女神，即使它目前只是一個(gè)功能相當(dāng)有限的通用問(wèn)題解決工具。

2、人工智能驅(qū)動(dòng)的發(fā)現(xiàn)

作者：

何楊輝（Yang-Hui He）

英國(guó)皇家學(xué)會(huì)倫敦?cái)?shù)學(xué)科學(xué)研究所研究員和教授

二十世紀(jì)，純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要成果——例如四色定理和開(kāi)普勒猜想的證明——都是通過(guò)將工作簡(jiǎn)化為對(duì)大量案例的計(jì)算機(jī)驗(yàn)證而獲得的。如今，在本世紀(jì)的前二十年，人類(lèi)活動(dòng)已經(jīng)發(fā)生了范式轉(zhuǎn)變，開(kāi)始依賴人工智能。這源于兩個(gè)決定性因素：

(1) 數(shù)據(jù)：互聯(lián)網(wǎng)使幾乎所有的人類(lèi)知識(shí)都觸手可及。

(2) 計(jì)算：CPU和GPU的巨大改進(jìn)使得每臺(tái)筆記本電腦都成為了曾經(jīng)的超級(jí)計(jì)算機(jī)。

數(shù)學(xué)的新時(shí)代

在經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中，人工智能，尤其是機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）方法，已迅速成為研究不可或缺的組成部分。例如，如果沒(méi)有通過(guò)篩選數(shù)據(jù)進(jìn)行ML檢測(cè)，歐洲核子研究中心（CERN）就不可能發(fā)現(xiàn)希格斯粒子。

雖然這在實(shí)驗(yàn)中很明顯，但直到2017年，人們才難以想象人工智能在純數(shù)學(xué)和理論物理中的作用，當(dāng)時(shí)ML被用于尋找代數(shù)幾何中的新模式，以探索弦理論的前景【He17】。

在過(guò)去的七年里，一系列的活動(dòng)導(dǎo)致了這一新興“數(shù)學(xué)人工智能”領(lǐng)域的數(shù)百篇論文，其中包括一些導(dǎo)致新數(shù)學(xué)的突破【DVB?21】【HLOP22】（有關(guān)這些主題的評(píng)論，請(qǐng)參閱【GHR24】【He24】）。

事實(shí)上，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)推理和形式推導(dǎo)方面的快速發(fā)展，尤其是像DeepMind這樣的公司使用大語(yǔ)言模型（LLM）解決數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題并取得銀牌水平，難怪一些知名數(shù)學(xué)家紛紛在重要演講中（例如在ICM上）強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)的未來(lái)”在很大程度上依賴于證明助手和人工智能（參閱）。

在【He24】中，我們列舉了上文提到的三種人工智能助力數(shù)學(xué)的方式：(1) 自下而上，即形式化和證明副駕駛；(2) 元方式，即數(shù)學(xué)的LLM；以及(3) 自上而下，即人工智能引導(dǎo)的猜想和直覺(jué)。接下來(lái)，我們將描述(3) 中的一些實(shí)例，其中人工智能已經(jīng)卓有成效，并通過(guò)具體的研究文章來(lái)說(shuō)明這些進(jìn)展。

學(xué)習(xí)代數(shù)結(jié)構(gòu)：

有人可能會(huì)好奇機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）學(xué)習(xí)代數(shù)結(jié)構(gòu)的能力如何，這正是我們?cè)凇綡K19】中考慮的問(wèn)題。具體來(lái)說(shuō)，我們考慮了前100個(gè)大小為n的有限群的凱萊（乘法）表，即每一個(gè)都是n×n拉丁方陣，其中每行和每列嚴(yán)格為數(shù)字1到n的一種排列。

然后我們用0填充到右下角，這樣我們就得到了一個(gè)100×100值為[0,n]的整數(shù)矩陣序列。接下來(lái)，根據(jù)相關(guān)有限群是否為單群，將矩陣標(biāo)記為1或0?，F(xiàn)在，非單群將占據(jù)主導(dǎo)地位；因此，我們還加入了凱萊表的置換，給出了一個(gè)群的等價(jià)表示，權(quán)重偏向單群。

總而言之，我們這樣就建立了一個(gè)平衡的（0和1的數(shù)量大致相等）集合，例如50000個(gè)帶標(biāo)記矩陣。如果通過(guò)平面化每個(gè)向量化的矩陣，將它們繪制在一個(gè)1002維歐氏空間中【腳注1】，一件奇怪的事情發(fā)生了：支持向量機(jī)（SVM）在單群和非單群之間找到了一個(gè)分離超曲面！

這在后來(lái)使用生成器表示和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NN）時(shí)得到了進(jìn)一步的證實(shí)。這個(gè)原型猜想純粹是由人工智能發(fā)現(xiàn)的（目前無(wú)法可視化1002維）——因?yàn)樾枰_地表述它，所以稱為原型——并且可以在表示論中提供一種新穎的方法。

【腳注1】對(duì)每個(gè)矩陣進(jìn)行向量化（將其從網(wǎng)格狀結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為線性數(shù)組）可以使機(jī)器學(xué)習(xí)算法有效地處理數(shù)據(jù)。

“椋鳥(niǎo)群飛”猜想：

很難想象人工智能算法能夠直接在素?cái)?shù)中發(fā)現(xiàn)任何新的模式，但經(jīng)過(guò)一些初步實(shí)驗(yàn)后，在【HLOP22】中進(jìn)行了以下富有成果的實(shí)驗(yàn)。給定一個(gè)橢圓曲線E（的同源類(lèi)），確定一個(gè)數(shù)字n（例如100）。對(duì)于素?cái)?shù)p = p?, … , pn，考慮歐拉系數(shù)向量ap（回想一下ap = p + 1 - #E(p)，即E在有限域p上的點(diǎn)的#E(p)數(shù)的偏差）。

研究發(fā)現(xiàn)，所有標(biāo)準(zhǔn)神經(jīng)分類(lèi)器都能夠?qū)W習(xí)使用向量ap預(yù)測(cè)E的秩的準(zhǔn)確率幾乎達(dá)到100%。雖然人們知道BSD（Birch-Swinnerton-Dyer）猜想在本質(zhì)上是可行的，但不知道如何明確地從ap得到秩。

對(duì)PCA（主成分分析）的解釋最終引發(fā)了一個(gè)猜想：在具有導(dǎo)子（conductor）值域[2?, 2??1]的給定秩為r的橢圓曲線集合C上的ap系數(shù)均值【HLOP22】，是第n個(gè)素?cái)?shù)的函數(shù)：f?(n):= 1/|C| ∑_{E∈C} apn(E)；這個(gè)f(n)以精確的方式振蕩并收斂到一個(gè)定義良好的形狀，預(yù)計(jì)對(duì)所有L-函數(shù)都成立。

這個(gè)“椋鳥(niǎo)群飛猜想”反映了素?cái)?shù)分布的一個(gè)根本偏差。（參閱小樂(lè)數(shù)學(xué)科普：事關(guān)BSD猜想，AI人工智能發(fā)現(xiàn)橢圓曲線的“椋鳥(niǎo)群飛murmuration”現(xiàn)象——譯自量子雜志 https://mp.weixin.qq.com/s/Tq4KFqkscqKF0ArGf1gV5g )

Birch（伯奇）測(cè)試：

ChatGPT于2023年通過(guò)了圖靈測(cè)試。設(shè)計(jì)一個(gè)更為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)人工智能測(cè)試是明智之舉，它被稱為Birch測(cè)試。人工智能輔助的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)必須滿足以下條件：

(A) 自動(dòng)化（Automaticity）

它完全由人工智能從模式識(shí)別開(kāi)始，無(wú)需任何人工干預(yù)。

(I) 可解釋性（Interpretability）

任何命題——猜想或結(jié)論——對(duì)于人類(lèi)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)都必須是精確的。人類(lèi)數(shù)學(xué)家無(wú)法將其與人類(lèi)同事給出的命題區(qū)分開(kāi)來(lái)。

(N) 非平凡性（Nontriviality）

這個(gè)問(wèn)題并不簡(jiǎn)單，需要人類(lèi)專家群體來(lái)研究。

盡管過(guò)去七年人工智能輔助數(shù)學(xué)取得了長(zhǎng)足進(jìn)步，但Birch測(cè)試仍然過(guò)于嚴(yán)格，迄今為止尚無(wú)AI能夠通過(guò)全部三個(gè)部分測(cè)試。

【He17】的幾何實(shí)驗(yàn)受困于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN）的典型問(wèn)題：無(wú)法提取可解釋的公式。因此，它們未能通過(guò)Birch測(cè)試(I)。同樣，【HK19】也不夠精確，也未能通過(guò)Birch測(cè)試(I)。

顯著性分析【DVB21】發(fā)現(xiàn)的紐結(jié)不變關(guān)系，以及針對(duì)復(fù)雜紐結(jié)的Reidemeister移動(dòng)【GHR24】，雖然新穎、有趣且精確，但它們要么很容易被證明，要么在該領(lǐng)域尚未產(chǎn)生足夠的影響力；因此它們未能通過(guò)Birch測(cè)試(N)。

椋鳥(niǎo)群飛猜想【HLOP22】通過(guò)了(I)，并且首次通過(guò)了(N)。然而，該發(fā)現(xiàn)對(duì)測(cè)試(A)失敗，因?yàn)槿祟?lèi)數(shù)學(xué)家通過(guò)選擇研究PCA的權(quán)重矩陣介入了這一過(guò)程。

盡管如此，我們樂(lè)觀地認(rèn)為，Birch測(cè)試將在不久的將來(lái)會(huì)被全面通過(guò)。無(wú)論如何，不可否認(rèn)的是，人工智能正在開(kāi)始并將繼續(xù)與人類(lèi)數(shù)學(xué)家合作，發(fā)揮關(guān)鍵作用。毫無(wú)疑問(wèn)，對(duì)于下一代數(shù)學(xué)學(xué)生來(lái)說(shuō)，機(jī)器學(xué)習(xí)，甚至Python編程，將與統(tǒng)計(jì)學(xué)一起成為本科核心課程的一部分。

3、卡拉比-丘度量的機(jī)器學(xué)習(xí)

作者：

Lara B. Anderson

弗吉尼亞理工大學(xué)粒子理論小組的物理學(xué)副教授，同時(shí)也是數(shù)學(xué)系的兼職教授

在過(guò)去的四十年中，卡拉比-丘（CY）流形（Calabi-Yau manifold）的幾何學(xué)在微分幾何、代數(shù)幾何以及弦理論物理的諸多進(jìn)展中發(fā)揮了關(guān)鍵作用。

盡管歷史悠久，但這兩個(gè)領(lǐng)域仍然存在著重大挑戰(zhàn)和懸而未決的問(wèn)題。特別是，雖然丘成桐定理保證了此類(lèi)流形中存在Ricci平坦度量，但這些度量的顯式解析表達(dá)式仍然難以捉摸。

最近，機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）已成為一種用于逼近卡拉比-丘度量的有前途的工具，在社區(qū)中引發(fā)了極大的關(guān)注，人們開(kāi)始思考現(xiàn)在可能存在哪些問(wèn)題（以及答案）。

我將在下文中嘗試重點(diǎn)介紹這些想法（更多詳細(xì)信息請(qǐng)參閱【AGG?21】及其參考文獻(xiàn)，評(píng)論請(qǐng)參閱【AGL2312】）。

在弦理論中，底層物理理論的表述方式超過(guò)我們?cè)谟钪嬷杏^察到的時(shí)空3+1維度。取而代之的是，弦理論可以表述為，例如10維形式?1?3×X的時(shí)空，其中X是一個(gè)6-(實(shí)數(shù))維緊流形。

如果X中的體積/長(zhǎng)度按比例縮放得足夠小，這可能與物理觀察相一致。這被稱為“弦緊化”（string compactification）。結(jié)果是，任何出現(xiàn)的4維物理都依賴于X，緊的額外維度的性質(zhì)，特別是該空間中由度量編碼的長(zhǎng)度概念。

這個(gè)過(guò)程幾乎影響了4-維理論不僅包括引力物理學(xué)，還包括粒子的質(zhì)量及其相互作用的強(qiáng)度。為了判斷這些理論是否與粒子物理學(xué)和宇宙學(xué)中的觀測(cè)結(jié)果相符，度量起著至關(guān)重要的作用。

圖1 卡拉比-丘流形（CY流形）

一個(gè)六維卡拉比-丘流形的三維投影。該卡丘（CY）流形是五次超曲面，定義為在???中的∑_{i=0}^4 z_i^5=0

滿足弦理論運(yùn)動(dòng)方程的緊空間的一個(gè)簡(jiǎn)單例子是所謂的卡拉比-丘流形【Yau78】【Yau85】。一個(gè)卡拉比-丘流形是一個(gè)緊復(fù)流形，其第一陳示性類(lèi)為零（即[tr(R)]=0，其中R是里奇曲率Ricci curvature），其度量可以簡(jiǎn)單地用稱為凱勒勢(shì)（K?hler potential）函數(shù)K的兩個(gè)導(dǎo)數(shù)來(lái)定義。

通過(guò)丘成桐定理，我們可以知道，對(duì)于任何凱勒類(lèi)[J]中第一陳類(lèi)為0的一個(gè)n-維緊復(fù)凱勒流形X，具有獨(dú)特的Ricci平坦凱勒度量。

此外，非平凡的（即排除n-環(huán)面）卡丘流形沒(méi)有連續(xù)的等距同構(gòu)，這意味著在寫(xiě)出度量時(shí)沒(méi)有可用的指導(dǎo)性的對(duì)稱性。因此，盡管丘成桐定理保證了度量的存在，但對(duì)于n>1目前尚無(wú)該度量的解析表達(dá)式。

然而，還有另一種方法可以解決這個(gè)問(wèn)題（這種方法在丘成桐證明上述定理時(shí)也發(fā)揮了作用），這種方法比直接求解曲率條件更簡(jiǎn)單，而且這是X上特殊微分形式出現(xiàn)的Monge-Ampere（蒙日-安培）型條件。

除了凱勒形式之外，對(duì)于一些光滑的零形式?，還可以定義相關(guān)聯(lián)的凱勒類(lèi) JCY=J+????。最后，一個(gè)CY流形產(chǎn)生唯一的全純(3,0)-形式Ω。

相關(guān)的蒙日-安培（Monge-Ampere）方程源于以下觀察：X上的體積（頂部）(3,3)-形式本質(zhì)上是唯一的，因此，以下表達(dá)式必須成立：

（1）JCY ? JCY ? JCY=κΩ ?Ω?

其中κ是一個(gè)常數(shù)。多年來(lái)，這個(gè)條件一直是數(shù)值逼近CY度量的核心。其大致思路是，如果可以在CY流形上生成點(diǎn)，并直接計(jì)算Ω，然后可以嘗試對(duì)?求解二階Monge-Ampere方程。

（1）中的條件還提供了一個(gè)誤差度量，用于測(cè)量任何度量（與CY度量屬于同一凱勒類(lèi)）與Ricci平坦度量之間的距離。多年來(lái)，文獻(xiàn)中已經(jīng)進(jìn)行了大量的嘗試，試圖通過(guò)代數(shù)K?hler勢(shì)的近似類(lèi)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，使用的技術(shù)多種多樣，包括使用由 Donaldson【Don09】開(kāi)發(fā)的所謂平衡的度量并且已證明收斂的限制方案，以及基于函數(shù)最小化的方法【HN13】。

雖然使用這些方法已經(jīng)獲得了結(jié)果，但事實(shí)證明，它們的計(jì)算成本很高，并且不能推廣到模空間中的一般點(diǎn)。（CY流形具有一個(gè)保持 Ricci平坦度的度量波動(dòng)δg的?？臻g。這些波動(dòng)包括體積變化的凱勒形變和“形狀變化”的復(fù)結(jié)構(gòu)形變。）

展望未來(lái)

機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）算法提供了一種新穎的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，它使用監(jiān)督學(xué)習(xí)或直接學(xué)習(xí)。具體來(lái)說(shuō)，可以使用梯度下降法直接最小化基于蒙日-安培約束的損失函數(shù)。對(duì)于任何數(shù)值方法，我們都必須問(wèn)：“我們的近似值是否‘足夠好’？” 答案當(dāng)然取決于我們下一步想做什么。

就弦理論中CY度量的應(yīng)用而言，有許多令人興奮的途徑可供探索，其中一些已經(jīng)實(shí)現(xiàn)。這些途徑包括研究CY背景下的規(guī)范理論（gauge theories），包括用數(shù)值/機(jī)器學(xué)習(xí)方法求解厄米特-楊-米爾斯（Hermitian Yang-Mills）方程或子簇上希格斯叢的希欽方程（如下一節(jié)所述），以及求解叢扭曲狄拉克方程（bundle-twisted Dirac equations）。此外，觀察這些工具是否有助于幾何探索，包括鏡像對(duì)稱和特殊拉格朗日循環(huán)的研究，也同樣有趣。

物理學(xué)的一個(gè)重要進(jìn)展是計(jì)算基于弦緊化理論的四維規(guī)范理論中粒子的質(zhì)量和耦合。最近，一項(xiàng)激動(dòng)人心的進(jìn)展剛剛完成，首次使用機(jī)器學(xué)習(xí)工具【BMPT?241】【CFTH?242】直接計(jì)算了CY弦緊化的夸克的質(zhì)量。雖然該背景下的物理學(xué)尚無(wú)法與自然界中觀察到的粒子物理學(xué)相媲美，但能夠計(jì)算質(zhì)量/耦合仍然是一項(xiàng)顯著的進(jìn)步。

上述結(jié)果僅僅是在此背景下運(yùn)用新機(jī)器學(xué)習(xí)工具的第一步。接下來(lái)，我們拭目以待，看看未來(lái)還能解決哪些問(wèn)題。

4、一個(gè)簡(jiǎn)短的ChatGPT冒險(xiǎn)

作者：

Steve Bradlow

伊利諾伊大學(xué)香檳分校數(shù)學(xué)教授

最終，ChatGPT并沒(méi)有為我們的項(xiàng)目做出重大貢獻(xiàn)，但它給了我們繼續(xù)前進(jìn)的信心，這帶來(lái)了巨大的變化。

受AI影響的項(xiàng)目目標(biāo)是區(qū)別并計(jì)算所有被稱為希格斯叢?？臻g（moduli spaces of Higgs bundles）的對(duì)象的組成部分，即連通分量。對(duì)于每一對(duì)(G,Σ)，其中G是李群，Σ是黎曼曲面，有一個(gè)這樣的模空間，記為?(G,Σ)。

空間?(G,Σ)是高維復(fù)解析簇，具有許多有趣的特性。具體而言，這些空間可能具有多個(gè)連通分量，其中一些可以歸因于群的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G或曲面Σ，但其他的李群的起源則更加神秘，在許多情況下，其確切的組成部分?jǐn)?shù)量仍然未知，特別是對(duì)于特殊的單李群F?, E?, E?和E?。

2023年春當(dāng)我們五個(gè)人（Steve Bradlow、Brian Collier、Oscar Garcia-Prada、Peter Gothen、Andre Oliveira）在馬德里聚會(huì)時(shí)，這些群的希格斯叢的?？臻g就是我們的目標(biāo)。對(duì)于這些（以及某些其他）實(shí)李群，我們最近確定了?(G,Σ)空間中的一類(lèi)特殊分量與它們的李代數(shù)（我們稱之為神奇的SL?三元組，不過(guò)那是另一個(gè)故事了）的一個(gè)特征有關(guān)。

我們?cè)隈R德里的目標(biāo)是證明這些希格斯叢?？臻g沒(méi)有其他“意外”的連通分量，也就是說(shuō)，證明已知分量提供了完整的計(jì)數(shù)。

我們攻克這一目標(biāo)的主要武器是實(shí)值Morse莫爾斯函數(shù)，該函數(shù)由奈杰爾·希欽（Nigel Hitchin，1946 -）于1987年在其里程碑式的論文中提出，其中首次引入了希格斯叢（Higgs bundles）。經(jīng)典莫爾斯理論的完整條件并不適用于此，但希欽函數(shù)至少是一個(gè)真映射，因此在所有連通分量上都達(dá)到局部最小值。

我們之前已經(jīng)確定了來(lái)自神奇的SL?-三元組，但仍然有可能存在其他局部最小值，從而存在其他連通分量。任何進(jìn)一步的、尚未發(fā)現(xiàn)的局部最小值要么位于?？臻g的光滑軌跡上，要么可能位于奇異點(diǎn)上。我們推測(cè)所有連通分量都已考慮在內(nèi)，因此任務(wù)是排除任何此類(lèi)臨界點(diǎn)的存在。

Hitchin函數(shù)成為Morse函數(shù)的必要條件確實(shí)適用于?(G,Σ)，這意味著可以通過(guò)檢查函數(shù)在臨界點(diǎn)處的Hessian矩陣的指標(biāo)來(lái)檢測(cè)函數(shù)的局部最小值。更準(zhǔn)確地說(shuō)，這些條件相當(dāng)于對(duì)該李代數(shù)的某個(gè)?-分級(jí)的分片維數(shù)條件。這是個(gè)好消息！

一個(gè)李代數(shù)（Lie algebra）是一個(gè)有限維向量空間，具有代數(shù)的可加性，其中代數(shù)可以用一組向量（稱為對(duì)偶向量空間中的根）完整而優(yōu)雅地描述。

這些根系可以用Dynkin圖進(jìn)行分類(lèi)，而決定李代數(shù)的關(guān)鍵代數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)由正單根構(gòu)成的子集的偏序集圖（poset diagram）來(lái)封裝。有了這些數(shù)據(jù)，原則上就可以檢查所有可能的?-分級(jí)，從而尋找那些可能滿足Hitchin函數(shù)局部最小值條件的等級(jí)。

在實(shí)踐中，假設(shè)李代數(shù)F?, E?, E?和E?分別是維度為52、78、133和248的復(fù)向量空間，所需的搜索不可能手動(dòng)完成。這正是計(jì)算機(jī)的用武之地！然而我們的問(wèn)題是，我們的編程技能要么完全沒(méi)有，要么——充其量——已經(jīng)過(guò)時(shí)了。

在2022年11月30日之前，這個(gè)障礙很可能會(huì)扼殺我們的項(xiàng)目，或者至少會(huì)讓它停滯不前，直到我們中的一個(gè)人鼓起勇氣學(xué)習(xí)Python編程的基礎(chǔ)知識(shí)。但2022年11月30日，ChatGPT 3發(fā)布了，所以當(dāng)我們?cè)?023年5月聚在一起時(shí)，我們可以說(shuō)：“讓我們把這個(gè)問(wèn)題交給ChatGPT來(lái)解決吧?！?/p>

我們不知道這實(shí)際上會(huì)如何實(shí)現(xiàn)，但我們讀過(guò)很多關(guān)于ChatGPT 3強(qiáng)大功能的文章。我們現(xiàn)在的目標(biāo)是讓ChatGPT 3編寫(xiě)一個(gè)Python程序，來(lái)實(shí)現(xiàn)我們對(duì)異常的復(fù)單李代數(shù)?-等級(jí)進(jìn)行搜索。

我們的第一步是編寫(xiě)一個(gè)用于執(zhí)行搜索的算法的通俗易懂的語(yǔ)言描述，即生成程序的偽代碼。ChatGPT 3在其自身版本經(jīng)過(guò)適當(dāng)打磨的偽代碼的支持下，幾乎立即生成了我們需要的Python程序。在一位性格寬容的千禧一代程序員（也就是我的兒子亨利）耐心地提供了一些基本提示后，我們可以輕松地在筆記本電腦上實(shí)現(xiàn)該程序。幾天之內(nèi)，我們探索了所有異常的實(shí)數(shù)形式，并確認(rèn)Hitchin函數(shù)在相應(yīng)模空間的光滑軌跡上沒(méi)有意外的局部最小值。

最終的Python程序非常簡(jiǎn)單，代碼不超過(guò)五十行，針對(duì)目標(biāo)案例的運(yùn)行時(shí)間以分鐘為單位?；叵肫饋?lái)，掌握所需的自動(dòng)化搜索工具應(yīng)該不超出我們的能力范圍。即使沒(méi)有像ChatGPT這樣的大語(yǔ)言模型的幫助，我們也完全能夠完成這項(xiàng)工作。

我們面臨的障礙主要是心理上的——缺乏經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)致的恐懼，以及（必須承認(rèn)）一定程度的思維惰性。幸運(yùn)的是，ChatGPT給予我們的足以幫助我們克服這些障礙，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，它至關(guān)重要。

盡管我們?cè)贑hatGPT的推動(dòng)下取得了成功，但我們的自動(dòng)搜索并未完全證明我們關(guān)于分量數(shù)量的猜想——它留下了在?？臻g的光滑軌跡之外存在局部最小值的可能性——但這已朝著這個(gè)方向邁出了一大步。最后一步需要仔細(xì)（略顯繁瑣）地分析?？臻g中的非光滑點(diǎn)。我們滿懷希望，ChatGPT 4能夠鋪平道路！

原文參考文獻(xiàn)

Article DOI: 10.1090/noti3159

【AGG?21】

Lara B. Anderson, Mathis Gerdes, James Gray, Sven Krippendorf, Nikhil Raghuram, and Fabian Ruehle, Moduli-dependent Calabi-Yau and SU(3)-structure metrics from machine learning, J. High Energy Phys. 5 (2021), Paper No. 013, 44, DOI 10.1007/jhep05(2021)013. MR4301790

【AGL2312】

Lara B. Anderson, James Gray, and Magdalena Larfors, Lectures on numerical and machine learning methods for approximating Ricci-flat Calabi-Yau metrics, 202312.

【BMPT?241】

Giorgi Butbaia, Damián Mayorga Pe?a, Justin Tan, Per Berglund, Tristan Hübsch, Vishnu Jejjala, and Challenger Mishra, Physical Yukawa couplings in heterotic string compactifications (20241), available at https://arxiv.org/abs/2401.15078

【CFTH?242】

Andrei Constantin, Cristofero S. Fraser-Taliente, Thomas R. Harvey, Andre Lukas, and Burt Ovrut, Computation of quark masses from string theory (20242), available at https://arxiv.org/abs/2402.01615

【Don09】

S. K. Donaldson, Some numerical results in complex differential geometry, Pure Appl. Math. Q. 5 (2009), no. 2, Special Issue: In honor of Friedrich Hirzebruch, 571–618, DOI 10.4310/PAMQ.2009.v5.n2.a2. MR2508897

【DVB?21】

Alex Davies, Petar Velickovic, Lars Buesing, et al., Advancing mathematics by guiding human intuition with AI, Nature 600 (2021), no. 7887, 70–74.

【GHR24】

Sergei Gukov, James Halverson, and Fabian Ruehle, Rigor with machine learning from field theory to the Poincaré conjecture, Nature Rev. Phys. 6 (2024), no. 5, 310–319, available at https://arxiv.org/abs/2402.13321

【He17】

Yang-Hui He, Deep-learning the landscape, Phys. Lett. B 774 (2017), 564–568, available at https://arxiv.org/abs/1706.02714

【He24】

Yang-Hui He, AI-driven research in pure mathematics and theoretical physics, Nature Rev. Phys. 6 (2024), no. 9, 546–553, available at https://arxiv.org/abs/2405.19973

【HK19】

Yang-Hui He and Minhyong Kim, Learning algebraic structures: Preliminary investigations (2019), available at https://arxiv.org/abs/1905.02263

【HLOP22】

Yang-Hui He, Kyu-Hwan Lee, Thomas Oliver, and Alexey Pozdnyakov, Murmurations of elliptic curves (2022), available at https://arxiv.org/abs/2204.10140

【HN13】

Matthew Headrick and Ali Nassar, Energy functionals for Calabi-Yau metrics, Adv. Theor. Math. Phys. 17 (2013), no. 5, 867–902. MR3251826

【Yau78】

Shing Tung Yau, On the Ricci curvature of a compact K?hler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I, Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), no. 3, 339–411, DOI 10.1002/cpa.3160310304. MR480350

【Yau85】

Shing-Tung Yau, Compact three-dimensional K?hler manifolds with zero Ricci curvature, Symposium on anomalies, geometry, topology (Chicago, Ill., 1985), World Sci. Publishing, Singapore, 1985, pp. 395–406. MR850873

參考資料

https://www.ams.org/journals/notices/202505/noti3159/noti3159.html

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