選自quantamagazine

作者：Steve Nadis

機器之心編譯

一塊冰塊漂浮在水中，隨著時間推移，它會逐漸融化成一個微小的冰粒，最終完全消失。在這個過程中，冰塊表面變得越來越光滑，所有不規則形狀和銳利邊緣都會逐漸消失。

對于你我來說，這是一個很常見的現象，而數學家們同樣致力于理解這一現象，不過是更深奧的角度 —— 他們希望能夠精確描述冰塊表面或一座被侵蝕的沙堡的形狀如何隨時間演變。

為了分析這種現象，此前的研究人員研究了抽象數學曲面和形狀按照特定規則集的演化過程。這組規則定義了平均曲率流（Mean Curvature Flow）過程，它能同時平滑曲面（即使是高度不規則的曲面）并使其收縮。

然而，隨著曲面演化，可能會形成奇點（singularities）—— 即數學描述失效的點。在這些位置，曲面可能會急劇突出，或變得極度薄弱以至于曲率「爆炸」至無窮大。對于任何閉合的緊致曲面（如封閉球面）在平均曲率流過程中必然會出現奇點。

當這些奇點過于復雜時，流動將無法繼續進行。

數學家們希望確保即使在奇點形成后，仍能分析表面的持續演化。1995 年，現任職于蘇黎世聯邦理工學院（ETH）的數學家 Tom Ilmanen 提出了 Multiplicity-one 猜想 。該猜想指出，在平均曲率流過程中形成的任何奇點都必須相對簡單。「不良」行為應僅限于個別點：例如，不應出現多個區域（無論來自同一表面還是不同表面）相互堆疊的情況。

如果 Multiplicity-one 猜想成立，將證實奇點并非平均曲率流的障礙。即使出現奇點，流動仍可繼續，使數學家能夠評估表面的演化。

近幾十年來，數學家們在描述曲面通過平均曲率流移動時的行為特性方面取得了諸多進展。「但到目前為止取得的很多結果都依賴于 Multiplicity-one 猜想的正確性，」加州大學伯克利分校（UC Berkeley）的數學家 Richard Bamler 說到，「在某種程度上，主要的障礙一直都是 Multiplicity-one 猜想。」

現在，他和紐約大學（NYU）的 Bruce Kleiner 終于證明了這個猜想確實正確。

左為 Richard Bamler，右為 Bruce Kleiner。

「這是一個重大突破，」斯坦福大學（Stanford）的 Brian White 表示。這項工作不僅使數學家們能夠更好地理解平均曲率流，而且可能在整個幾何學和拓撲學領域有重要應用。

全速流動

平均曲率流概念在 20 世紀 50 年代被引入，用于解釋金屬冷卻過程中出現的各種現象。1978 年，賓夕法尼亞州薩斯奎漢納大學（Susquehanna University）的名譽教授 Kenneth Brakke 從數學角度形式化了這一概念。他的模型最終提供了一個更為通用的數學描述，可應用于任何維度的抽象曲面和形狀。

Multiplicity-one 猜想涉及三維空間中的閉合二維曲面，如球體或環面（甜甜圈形狀）。在這類曲面上的任意一點，可以計算給定方向上的曲率 —— 這是衡量曲面在該方向彎曲程度的指標。理論上可以考慮無限多的方向，但數學家們通常只關注那些給出最大和最小曲率值的方向。這兩個數值的平均值被稱為平均曲率（Mean Curvature），它能提供關于曲面在該點的許多重要信息。

平均曲率流利用曲面信息以最快速和高效的方式減小曲面面積。在這一過程中，曲面上的每個點都以等于其平均曲率的速度移動 —— 且方向垂直于其「切平面」（切平面是在該點最佳近似曲面的二維平面）。這種垂直方向有兩個選擇，一個指向內部，另一個指向外部。如果曲面在該點向外凸出，則流動方向向內；如果曲面向內彎曲，則流動方向向外。

以球體為例，平均曲率流會使球體以越來越快的速率向其中心收縮。這是因為隨著球體收縮，每個點的平均曲率會增大 —— 較小的球體比較大的球體彎曲程度更大。最終，球體會收縮為一個點，即球體中心原來所在的位置。

假設曲面是一個部分凹陷的球體，類似于某些地方被撞凹的足球。在平均曲率流的作用下，凹陷部分會被推出，而曲面其余部分則向內移動，使其逐漸接近完美球體，最終收縮為一點。

這一過程同樣能將圓柱體簡化為一條線，將環面（torus）簡化為一個圓。然而，對于更復雜的形狀，如中心處變窄的啞鈴形狀，會發生不同情況。在平均曲率流作用下，手柄最細部分會首先收縮為一點，形成奇點（singularity）。這種奇點類似于肥皂泡從塑料棒上分離或水滴從水龍頭分離時的「收縮點」。在該點，啞鈴表面失去光滑性，曲率變為無限大。

這時問題出現了：無法將無窮大代入平均曲率流方程中。方程失效，無法再預測曲面的未來演化。但若移除該奇點，我們將得到兩個獨立的淚滴狀部分，從而可以繼續研究平均曲率流對這些部分的影響。這些部分會逐漸變得更加光滑圓潤，幾乎成為完美球體，最終收縮為兩個分離的點。

對于任何閉合的緊致曲面 —— 即直徑有限且有明確內外之分的曲面 —— 平均曲率流必然導致奇點形成。（對于簡單球體，這個奇點就是曲面最終收縮至的那一點。）Bamler 表示：「這個本應使曲面變得更簡單的流，隨著過程進行到極限，我們知道它總會變得奇異，所以如果我們想理解這個流的作用，就需要理解它的奇點形成過程。」

這正是 Multiplicity-one 猜想的用武之地。

分離是成功的關鍵

簡單的奇點（如夾點）可以直接去除，使平均曲率流暢通無阻。但如果奇點比較復雜，比如表面中的兩塊薄片聚集在一起，在整個區域內重疊，而不是只影響一個點，那么就不可能做到這一點。Bamler 表示，在這種情況下，「我們不知道流動是如何表現的」。

Ilmanen 提出了他的猜想，以排除這些麻煩的情況。幾十年后，Bamler 和 Kleiner 開始證明他是正確的。

為此，他們想象了一種不尋常的形狀，Kleiner 稱之為「邪惡的雙胞球」。它由兩個球體組成，一個在另一個里面，由一個小圓柱體或頸部連接，形成一個單一的表面。Kleiner 指出，如果頸部快速收縮，將兩個球形區域拉到一起，那將是「噩夢般的情景」。為了排除這種情況，他和 Bamler 希望了解這兩個區域將如何相互作用，以及它們之間的距離將如何隨時間變化。

于是，兩位數學家將形狀分解成不同的構件 —— 放大后看起來像平行薄片的區域，以及被稱為最小曲面（平均曲率為零，因此在平均曲率流中不會移動）的特殊區域。然后，他們定義了一個函數，用于測量曲面上任意給定點到鄰近區域最近點的距離。

他們找到了分析這個「分離函數」如何隨時間變化的方法，證明它永遠不會歸零。這意味著噩夢般的情景永遠不會發生。

數學家們可以輕而易舉地將這種方法應用到包含相同類型構件的封閉表面上。但是，「一般的 [封閉] 曲面在某些區域可能看起來非常復雜，」Bamler 說，復雜到「可能使我們無法控制流動」。

他和 Kleiner 隨后證明，這些有問題的區域必須非常小。Bamler 表示，「它對整個流動的影響微乎其微。因此，我們基本上可以忽略它。」

無論曲面多么復雜或奇特，分離函數都不會隨著時間的推移而歸零。換句話說，相鄰區域永遠不會趨同，也不會出現復雜的奇點。Ilmanen 的猜想是正確的。

事實上，Bamler 和 Kleiner 證明，平均曲率流幾乎總是導致兩種類型之一的特別簡單的奇點：收縮為一點的球體，或坍縮為一條直線的圓柱體。Bamler 說：「任何其他類型的奇點都只出現在極少數非常特殊的情況下。在這些情況下，奇點非常不穩定，即使是最輕微的擾動也會消除它們。」

隨著 Multiplicity One 猜想的解決，斯坦福大學的 Otis Chodosh 說：「我們現在基本上對三維空間中表面的平均曲率流有了一個完整的認識。」

他還補充說，這些知識可能會在幾何學和拓撲學中得到重要應用，特別是如果數學家能夠證明生活在四維空間中的三維表面的猜想。Bamler 和 Kleiner 正開始研究下一種情況，不過他們表示需要找到一種與二維表面不同的方法。

Chodosh 補充說，這個證明已經可以讓數學家利用平均曲率流重新證明一個關于球體對稱性的重要問題，即「斯梅爾猜想」。Bamler 說，以前對該猜想的證明相當復雜，使用平均曲率流的證明可能更容易理解。

一個被稱為里奇流（Ricci flow）的相關過程已經被用來證明一些重要猜想，包括著名的龐加萊猜想（另一個關于球體的聲明）。數學家們希望，Bamler 和 Kleiner 在均值曲率流方面的工作將幫助它成為一種類似的強大方法。White 說：「Bamler 和 Kleiner 讓我們對均值曲率流核心奇點的理解有了巨大的進步。這無疑為我們提供了將其作為一種工具...... 來做各種奇妙事情的可能性。」

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/a-new-proof-smooths-out-the-math-of-melting-20250331/