上帝指紋

統治世界？

春節假期綜合征還沒有緩過來，清明三天假又結束了！

實不相瞞，超模君想鴿的心蠢蠢欲動，費了好大勁才摁住！為了不鴿，連夜翻了個墻，明明剛開始還在認認真真看論文，等超模君回過神已經到了油管。

來都來了，不逛逛實在是不合理！結果這一逛，還真讓超模君發現了好東西。

先問個問題，要是有人告訴你人口的繁衍、水龍頭的滴水速度、大腦神經元的活動和熱對流等等都可以由一個簡單的方程式連接，你會不會覺得他瘋了？

但是數學真的比小說更神奇！下面的內容小學生都能看懂，你可不要半路跑了啊！

種群繁衍

兔子是小學生做數學題的好朋友，今天我們再辛苦一下它！先拿它開個路：

假如對兔子種群進行建模，設明年的兔子數量為X???，而今年的兔子數量為X?，可以列出一個簡單的公 式：

X???=rX?

但有一個問題，兔子的數量不可能永遠成倍增長，它受到一定的約束，所以我們需要在方程式中添加（1-X）項以表示環境的約束。

在這里，我們想象X是理論上最大種群數量的百分比，于是公式就變成了：

X???=rX?（1-X?）

X?是介于0和1之間的數，表示在第n年的物種數目。 r是正整數，是根據繁殖和餓死率而得出的數 。

這是單峰映射（logistic map），如果用X???對X?繪制圖，則會得到下圖。圖真的在動~

?

在此圖中，使用t代替n

資料來源：Wikimedia Commons

當把這個圖更細致化后：

我們拆解來看：

首先，當r小于1時，平衡總體保持為0。但是，當r大于1時，平衡總體不斷增加。

單值均衡人口

并且，r超過3時會發生一些有趣的事情：

當我們保持r = 3.4時，平衡總體保持在0.84和0.51之間波動。在那之后，如果永遠不穩定到一個恒定值，它就會在兩個值之間來回振蕩。一年數量增加，第二年數量減少，再一年又增加......

隨著時間的流逝，均衡總體將分為4個值，種群在4年周期后重復。

均衡種群的值在兩個值之間不斷波動

簡單來說：

令r為3.4，起始數量X?為0.3（最大種群數量的30％）。經過計算，我們得到0.714，因此第一年數量從0.3增加到0.714，這是一個巨大的增長。但是，如果我們將0.714作為今年的數量（X?），則明年的數量將是0.694。同樣，第二年將是0.722，.......

幾年后，種群數量一直保持在0.451和0.842之間波動。除此之外，它并沒有真正改變。

當增長率為2或接近2時，種群數量幾乎保持不變。由于“孩子”會需要一定時間取代父母，所以在一定時間后數量幾乎變得恒定。

比如：

我們可以看到，幾年之后，它不會增加或者減少很多，幾乎固定為0.57，即最大可能數量的57%，種群數量達到平衡。

由于周期的長度增加了一倍，因此稱為周期倍增分叉。隨著r的增加，將導致周期為8、16、32，而當r達到約3.57時，則是完全混亂。這樣，種群數量根本就不會穩定下來。

均衡人口價值的混亂

人口只是變得隨機。它是如此隨機，以至于這是在計算機中生成隨機數的主要方法之一。這樣，確定性機器給出了不可預測的答案。盡管沒有重復，但是如果你知道初始值，則可以計算給定值。因此，它實際上是偽隨機的。

但當r = 3.83時，附近的圖形呈現“退回”趨勢，數量在3年后再次出現，周期為3年。隨著r越來越大，周期分裂成6、12、24，然后又變得混亂。

物流分叉圖

資料來源：Wikimedia Commons

現在，即使我們更改了初始種群，遲早還是會達到平衡，平衡數僅取決于r的值。如果r較低，則平衡總體將降低；如果r小于1，則總體早晚將變為0。

你可能在想，它看起來像是一個分形。

分形，具有以非整數維形式充填空間的形態特征。通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質。

事實上確實如此。

最著名的分形可能就是被稱為“上帝指紋”的曼德布羅集。

Mandelbrot集

資料來源：Wikimedia Commons

而上面的那些“分叉圖”確實也是曼德布羅集的一部分。

曼德布羅集合（Mandelbrot set）是一種在復平面上組成分形的點的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的復二次多項式來進行迭代。

曼德布羅集

曼德布羅集基于簡單的等式：Z???=Z?2+ C

選擇一個C，在復平面上的任意數字，然后從Z? = 0開始計算Z???，一次又一次地迭代此方程…………

如果數字爆炸到無窮大，則該數字（我們假設為C）不屬于曼德布羅集。但是，如果該數目在無限次迭代后仍然有限，則它是曼德布羅集的一部分。

舉個簡單的例子：

如果C = -1，則在第一次迭代后，Z??? = -1。在第二次迭代之后，Z??? = 0。在第三次迭代之后，Z 1＝ -1。在第四次迭代之后，Z??? = 0再次。Z???的值在-1和0之間振蕩。因此，-1是曼德布羅集的一部分。

同理，如果C＝ 3，則在第一次迭代之后，Z＝ 3。在第二次迭代之后，Z???＝ 12。在第三次迭代之后，Z???＝ 147。無限次迭代后，Z???將為無窮大。因此，3不會成為曼德布羅集的一部分。

曼德布羅集的圖片僅顯示了導致迭代方程爆炸的數字與導致迭代方程爆炸的數字之間的邊界。曼德布羅集沒有顯示的是這些方程如何保持有限。因此，當迭代了數千次方程，并在迭代實際用到的z軸上進行了繪制。結果發現，曼德布羅集的側視圖實際上是分叉圖。

分叉圖的混沌部分發生在曼德爾布羅特針組的針上

就問你嚇著了沒有？！

這個方程式（它不僅是一個方程，它是分叉圖和費根鮑姆常數），就這樣決定了一個物種的種群，特別是在實驗室條件下。不僅如此，該等式還適用于各種不同的科學領域，并且通常那些科學領域是彼此無關的。

Albert J. Libchaber在流體動力學方面的工作首先證實了這一方程。他的實驗包括一個內部裝有汞的矩形小盒子。然后，他使用一個小的溫度梯度來引發對流，僅在盒子內部有兩個反向旋轉的圓柱體。他在名為“汞的周期加倍級聯，一種定量測量”的論文中發表了他的發現。

“ Libchaber使用一個簡單的筆式繪圖儀來記錄溫度，該溫度由嵌入頂表面的探針測量。在第一次分叉后的平衡運動中，任一點的溫度或多或少保持穩定，并且筆記錄一條直線。隨著更多的加熱，更多的不穩定性開始出現。每個輥上都會出現一個扭結，扭結穩定地來回移動。此擺動顯示為溫度變化，在兩個值之間上下波動。現在，筆在紙上畫出一條波浪線。”

Libchaber用盒子頂部的探針測量了內部流體的溫度。他看到溫度周期性升高。這類似于邏輯方程收斂到單個值時。但是隨后，隨著溫度升高，可以在那些滾動汽缸上以原始頻率的一半看到擺動。溫度峰值也在兩個不同的高度之間來回移動。他不斷提高溫度，一次又一次看到周期翻倍。

Libchaber的測試結果

資料來源：汞的倍增級聯，定量測量

不僅如此，在許多其他實驗中都可以看到周期倍增，例如我們的眼睛對閃爍的燈光的反應。再比如生活中常見的水龍頭滴水，一開始，也許你一次只能看到一個水滴。然后一次兩滴。然后是四個……你只需調節旋鈕，即可從滴水龍頭中獲得混亂的行為。

到了這一步，你有沒有覺得“分叉圖”有點恐怖的意味了？更恐怖的還在后邊！

物理學家Mitchen Feigenbaum將每個分叉部分的寬度除以下一個。這個比例接近于一個數字，是4.669。

數字4.669現在稱為費根鮑姆常數。越到后面，分叉出現的越來越快，但比率始終接近此固定值4.669。

沒人知道這個常數怎么來的，因為它跟任何已知的物理常數無關，所以它本身就是自然基本常數。更瘋狂的是，它不只出現在前面我給你看過的公式中，任何單駝峰的公式，如果你對它一次又一次地迭代，最終都會出現分叉。甚至這些分叉發生的比率將相同，為4.669。

這種普遍性確實令人驚訝，可是，這一切到底是為什么呢？為什么它會如此普遍？

在1976年，生物學家羅伯特·梅在《自然》雜志上寫了一篇關于這個特別公式的論文，人們對這個東西很興奮。在這篇論文中，他請求大家，要教導學生關于這個簡單的公式，去發現簡單的東西，簡單的公式，可以引導出相當復雜的表現。

在我們今天的課堂上，我們教簡單的公式，簡單的結果，因為這樣很簡單，很有道理。也許我們應該至少教一些，讓更多的人知曉費根鮑姆常數，在這一領域進行更多的研究，只有這樣，我們才能發揮其真正的力量，解開這個“上帝的指紋”之謎。

怎么樣？是不是一點都不難，是不是覺得數 學好神奇？小學生絕對能看懂！

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簡介：超模君，數學與交叉科學教育自媒體博主，中大數學博士，有倆崽崽和一潔癖的太太。愛分享有用的數學建模知識，愛深挖有趣的交叉科學人物故事，愛為靠譜的現代教育、提升幸福感的產品打call。著有《芥子須彌·大科學家的小故事》、《數學之旅：閃耀人類的54個數學家》、《漫畫數學：閃耀人類的54個數學家》、《一份鐘數學》（已售罄）、《薛定諤的貓：漫畫大科學家的小萌寵》（已售罄）、超模君幽靈魔方、超模君丙烯馬克筆等廣受大人與孩子們喜愛的作品。

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