在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，"窮竭法"(Method of Exhaustion)占據(jù)著特殊地位——它是微積分誕生之前最接近"極限思想"的系統(tǒng)方法，也是古代數(shù)學(xué)家解決面積與體積計算問題的重要工具。

窮竭法最早由公元前 5 世紀(jì)的古希臘學(xué)者安提豐（Antiphon）提出，但真正使之成為嚴(yán)謹(jǐn)方法的是古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus），他利用嚴(yán)密的邏輯推理，將一系列更簡單的多邊形不斷地逼近更復(fù)雜的圖形。

歐多克索斯證明，如果多邊形的邊數(shù)無限增加，那么多邊形的面積與目標(biāo)圖形的面積之差就會變得小到任意程度，也就是說，可以“窮竭”圖形的面積。這一方法后來被歐幾里得（Euclid）寫進(jìn)了舉世聞名的著作《幾何原本》中，成為古希臘數(shù)學(xué)的重要基石。

• 歐幾里得在《幾何原本》第 12 卷中就使用窮竭法證明了六個重要命題。

天才阿基米德：窮竭法的巔峰時期

盡管歐多克索斯的窮竭法已經(jīng)十分嚴(yán)謹(jǐn)，但真正讓這一方法大放光彩的，是古希臘的阿基米德（Archimedes）。

阿基米德用窮竭法取得了一系列令人驚嘆的成果。他通過在圓內(nèi)外分別作正多邊形，逐漸增加其邊數(shù)，從而給出了圓周率的精確上下界：

這個結(jié)果在那個年代無疑是驚人準(zhǔn)確的。更為重要的是，他通過這種方法證明了圓的面積公式：圓的面積等于半徑的平方乘以圓周率，即耳熟能詳?shù)墓?πr2。除此之外，他還用類似的方法研究了拋物線、橢圓、球體等曲線和立體的面積和體積，展現(xiàn)了窮竭法的巨大威力。

阿基米德的窮竭法本質(zhì)上是一種“反證法”：假設(shè)待求的面積比多邊形的面積大一點或小一點，然后證明這種假設(shè)會導(dǎo)致矛盾。通過排除所有不可能的情況，便能得出唯一正確的結(jié)論。

公元 263 年，我國三國時期數(shù)學(xué)家劉徽也獨立地提出了類似窮竭法的想法，稱之為“割圓術(shù)”，他巧妙地利用多邊形逼近圓形，逐漸增加邊數(shù)，成功計算出精度更高的圓周率值。

這種東西方數(shù)學(xué)思想的相似性，體現(xiàn)出人類文明在面對相似問題時所展現(xiàn)出的共同智慧。

• 1647 年，圣文森特·格列高利在 《Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum》一書中首次使用了「窮竭法」這一術(shù)語。

從窮竭法到微積分：數(shù)學(xué)思想的飛躍

盡管窮竭法取得了輝煌的成果，但它也暴露出明顯的局限性：每次運用窮竭法，都需要繁瑣的幾何作圖和復(fù)雜的邏輯推理。更關(guān)鍵的是，窮竭法本身并沒有提供一個通用的計算工具，而僅僅是一種間接證明的方法。

到了 17 世紀(jì)，隨著笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何和牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立了微積分，人類終于找到了更為強大的工具。這些新工具使數(shù)學(xué)家不必再通過復(fù)雜的幾何推理，而可以通過數(shù)學(xué)語言——函數(shù)與極限，來解決過去只能用窮竭法解決的難題。

事實上，微積分的極限概念，正是對窮竭法思想的延續(xù)與深化。當(dāng)我們用微積分計算圓的面積時，實際上就是將圖形無限細(xì)分成無數(shù)個無限小的“元”，再將它們的面積相加。這種思想正是窮竭法的現(xiàn)代形式。可以說，窮竭法是微積分理論誕生之前一個必不可少的階梯。

最后，附上一張網(wǎng)絡(luò)上流傳的趣圖，考慮這種方法下看起來越來越“像圓”，結(jié)果 π=4？歡迎評論區(qū)留言你對這個問題的看法！