馬起盤格勢——中國象棋里的數(shù)學(xué)

說起中國象棋，想必很多人都不陌生，其中“馬”作為重要棋子，有著極其重要的作用.在中國象棋規(guī)則中，“馬”走日，即一次可控八個(gè)點(diǎn)，可謂威風(fēng)八面！并且“馬”也屬于可以抵達(dá)棋盤上任何一點(diǎn)的棋子，明確這兩點(diǎn)，是今天這道題的背景.

題目

在中國象棋棋盤中，棋子“馬”的位置如圖所示，若將“馬”跳20步(馬跳“日”字)，則最后一步“馬”落在棋盤上的不同位置可能有( ).

A.40個(gè) B.45個(gè) C.50個(gè) D.90個(gè)

解析：

中國象棋的棋盤總共有8×9個(gè)方格，格點(diǎn)總共90個(gè)，而棋子“馬”從最初位置開始跳，20步內(nèi)可以到達(dá)任何一處格點(diǎn)，但題目求第20步棋子“馬”可能到達(dá)的格點(diǎn)，就涉及到每一步“馬”應(yīng)該如何跳，按中國象棋規(guī)則，“馬”走日，為方便敘述，我們建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖：

這個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)并不是(0,0)，而是(1,1)，我們將每一個(gè)格點(diǎn)位置用兩個(gè)數(shù)字來表示，例如左下角第一個(gè)格點(diǎn)表示為(1,1)，而“馬”所在的格點(diǎn)表示為(8,8)，然后我們來研究“馬”(M點(diǎn))跳1步后可能到達(dá)的位置，如下圖：

按照中國象棋規(guī)則，點(diǎn)M可抵達(dá)M1，M2，……，M8共8處，但受棋盤限制，有兩個(gè)點(diǎn)無法抵達(dá)，只剩下6處，我們分別觀察這6處點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)它們相對點(diǎn)M(8,8)，橫縱坐標(biāo)均發(fā)生了變化，分別為(7,10)，(6,9)，(6,7)，(7,6)，(9,6)，(9,10)，依次改寫為(8-1,8+2)，(8-2,8+1)，(8-2,8-1)，(8-1,8-2)，(8+1,8-2)，(8+1,8+2)，發(fā)現(xiàn)跳1步之后，點(diǎn)M可能到達(dá)的位置坐標(biāo)為(8±1,8±2)或(8±2,8±1)；

對以上觀察的信息進(jìn)行解讀，點(diǎn)M橫縱坐標(biāo)之和為16，跳1步之后，橫縱坐標(biāo)之和可能是13，15，17，19，結(jié)合前面的探究結(jié)論，我們不難得出，點(diǎn)M跳1步之后，橫縱坐標(biāo)分別變化了1或2，相加之后一定是奇數(shù)，因此改變了橫縱坐標(biāo)和的奇偶性，按這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，跳2步之后，橫縱坐標(biāo)之和一定是偶數(shù)，跳3步之后，橫縱坐標(biāo)之和一定是奇數(shù)，……

可推導(dǎo)出跳20步之后，橫縱坐標(biāo)之和一定是偶數(shù).

然后我們在圖中找一找，哪些格點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)，如下圖：

每條豎格線上有5個(gè)點(diǎn)滿足要求，則9條豎格線上共有45個(gè)點(diǎn)滿足橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)，即“馬”跳20步之后，最后一步落在棋盤上的位置可能有45個(gè)，答案選B.

解題思考

本題難點(diǎn)在于如何描述中國象棋中“馬”走日的情景，用數(shù)學(xué)的眼光來看待每跳1步之后位置的變化，顯然在初中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系是最有效的描述位置變化的方式，但這并不是普通的平面直角坐標(biāo)系，而是將原點(diǎn)定為(1,1)的特殊平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?這個(gè)數(shù)字既不是奇數(shù)也不是偶數(shù)，對我們討論橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性會帶來困擾.

要突破這個(gè)難點(diǎn)，首先需要了解中國象棋中“馬”的移動規(guī)則，即“馬”走日，先從跳1步開始研究，發(fā)現(xiàn)其橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性變化是有規(guī)律的，然后用數(shù)學(xué)語言描述這個(gè)規(guī)律，最后得到我們需要的結(jié)論.

2022版新課標(biāo)中的“三會”，需要我們將其滲透到每一節(jié)數(shù)學(xué)課上，具體到每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)、每一個(gè)課堂活動、每一道例題習(xí)題中，并非堂而皇之將它抄到教案上，便是對課標(biāo)的理解，恰恰相反，真正優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課，這三句話只存在于心中，當(dāng)在課堂上呈現(xiàn)出相應(yīng)的教學(xué)過程之后，學(xué)生會感知，聽課老師會明白，真的不要將它變成備課的形式主義.

基于中國象棋的數(shù)學(xué)問題還有很多，棋盤上的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不止本題所討論的內(nèi)容，它可以是網(wǎng)格作圖，也可以是平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變化，這都需要數(shù)學(xué)老師先用數(shù)學(xué)眼光去發(fā)現(xiàn)，再帶動學(xué)生學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)眼光去看待這些生活中的情景.