引用論文

王冬, 侯炳昌, 王玉婷, 夏唐斌, 彭志科, 奚立峰. 稀疏測度和復雜性測度及其在設備健康監測中的研究進展[J]. 機械工程學報, 2025, 61(1): 123-139.

WANG Dong, HOU Bingchang, WANG Yuting, XIA Tangbin, PENG Zhike, XI Lifeng. Advances in Sparsity Measures and Complexity Measures for Machine Health Monitoring[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2025, 61(1): 123-139.

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機械設備健康監測對于保障機械設備的穩定運行具有極為關鍵的作用，而故障特征提取則是其核心技術之一。由于典型機械故障信號成分具有稀疏性，且不同監測信號成分的復雜度存在差異，因此基于稀疏測度和復雜性測度的故障特征提取方法在機械設備健康監測領域得到了廣泛應用。然而，在過去的研究中，該領域主要依賴實驗研究手段來探索稀疏測度和復雜性測度，缺乏堅實的理論基礎支持 。上海交通大學王冬長聘副教授團隊對近年來稀疏測度和復雜性測度的理論基礎研究進展進行了系統總結與回顧，并將其與設備健康監測研究相結合，深入闡述了相關理論與應用。他們的研究有助于機械設備監測領域的研究人員更充分地理解以下關鍵內容：稀疏測度的廣義數學框架、基于準算術均值比構建新型故障特征統計量、新型稀疏測度與故障特征統計量的構造方法、稀疏測度性能的比較分析、稀疏測度的改進方法以及稀疏測度與復雜性測度的理論差異。此外，通過稀疏測度與復雜性測度的應用案例對比，清晰地展示了兩種測度在實際應用中的效果差異。最終，該研究還對稀疏測度和復雜性測度在機械設備健康監測領域的未來發展方向進行了展望 。該團隊的研究成果以題為《稀疏測度和復雜性測度及其在設備健康監測中的研究進展》發表在《機械工程學報》2025年第1期，為機械設備健康監測領域的理論與實踐發展提供了參考與指導。

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行業現狀

峭度、基尼指數、平滑指數以及Lp/Lq范數比等經典稀疏測度能夠有效量化機械故障信號的稀疏性。然而，過去在機械設備健康監測領域，國內外學者的研究主要依賴實驗手段，集中在經典稀疏測度的應用層面，缺乏統一的數學框架以及對新型稀疏測度的設計與研究，難以進一步探索性能更優的稀疏測度簇。與稀疏測度不同，復雜性測度（以熵為代表）能夠監測并表征系統的潛在變化，是機械狀態監測的另一重要研究方向。熵的概念最初用于統計物理學以表征系統的隨機性，隨后被香農擴展為信息熵（即香農熵），用于信息的量化，并衍生出條件熵、互信息和交叉熵等重要概念。香農熵還被引入復雜性和混沌理論。在此基礎上，Kolmogorov提出了K-S熵，Adler引入了拓撲熵，Pincus提出了近似熵，Richman和Moorman提出了樣本熵，進一步發展為模糊熵，不斷拓展了熵的應用范圍。然而，復雜性測度與稀疏測度之間的本質區別尚未清晰。綜上所述，當前稀疏測度和復雜性測度的研究多以實驗驗證為主，缺乏堅實的理論支撐，難以深入理解這些測度作為機械故障特征的變化規律。

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稀疏測度理論基礎研究進展

稀疏測度在機械健康監測中的研究進展

• 稀疏測度的應用：稀疏測度在機械健康監測中被廣泛應用，特別是在旋轉機械設備故障特征提取中。譜峭度理論和快速譜峭度圖被用來提取故障特征，并且使用稀疏測度（如L2/L1范數比、負熵、基尼指數等）替代傳統的峭度指標。

• 新型譜稀疏圖：通過應用不同稀疏測度來創建具有不同稀疏敏感性的譜稀疏圖，進一步改進了故障特征提取方法。

稀疏測度理論框架研究

• 稀疏測度廣義數學框架：將峭度、基尼指數、平滑指數以及負熵（沿用Jerome Antoni所定義的相對熵）重新表述為標準化平方包絡（譜）與權重向量的內積形式，并在此基礎上提出了稀疏測度的廣義數學框架。進一步研究發現，大多數具有量化性質的稀疏測度均可表示為不同準算數均值的比值，并且可以通過組合不同的準算數均值來構建新型故障特征統計量或稀疏測度。上述研究為新型稀疏測度的設計奠定了堅實的基礎理論框架。

• 稀疏測度廣義數學框架的數據驅動權重優化：采用數據驅動方法（例如最大線性超平面和最大似然估計），設計了一種能夠自適應定位故障特征頻率的稀疏測度廣義框架優化權重，為故障機理尚未明確的機械故障診斷開辟了新的思路。

新型稀疏測度與故障特征統計量構造研究

• Box-cox稀疏測度簇：引入Box-Cox變換以廣義化峭度和負熵的權重，并證明了由此生成的新型統計量簇滿足稀疏測度的六個屬性要求，這一簇新型稀疏測度命名為Box-Cox稀疏測度簇，從而為峭度和負熵拓展了更多“同類”測度，豐富了稀疏測度基礎研究。

• 廣義基尼指數：基于準算數均值比框架，基尼指數被拓展為新型的孿生基尼指數和廣義基尼指數簇。研究發現，廣義基尼指數簇的稀疏測度變化規律曲線與Box-Cox稀疏測度簇具有互補性，進一步完善了稀疏測度簇的設計研究體系。

稀疏測度性能比較

• 敏感性測試：通過伯努利分布實驗，比較了不同稀疏測度對信號稀疏性的敏感性，發現不同稀疏測度在不同稀疏度下表現不同的敏感性，這為選擇合適的稀疏測度在故障檢測中的應用提供了指導。

• 抗干擾能力：比較了各稀疏測度對脈沖性噪聲的抗干擾能力，提出基尼指數等稀疏測度在不同噪聲環境下具有較高的魯棒性。

圖1 稀疏測度關于稀疏性變化的“單邊遞減”效應和稀疏 測度對稀疏性變化的敏感性測試

改進稀疏測度研究

• 自適應稀疏測度：提出了自適應稀疏測度，通過自適應信號預處理策略提升故障特征的監測效果，無需預訓練的機器學習算法，增強了早期故障檢測的能力。

• 改進稀疏測度：在傳統稀疏測度的基礎上，設計了相關峭度、加權峭度等改進稀疏測度，優化了信號處理算法的參數，提高了故障特征提取的性能，尤其是在噪聲干擾較強的情況下。

圖2 自適應新型稀疏測度和經典稀疏測度對比研究

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復雜性測度理論基礎研究進展

經典復雜性測度理論基礎

• 香農熵與演化熵：香農熵的提出為信息學中的復雜性測度奠定了基礎，隨后，相關維度、近似熵、樣本熵、模糊熵等多種演化熵被相繼提出，用于量化時間序列的復雜性和隨機性。

• 相關維度與近似熵：通過重構時間序列并計算向量之間的相似性，相關維度和近似熵被用于量化時間序列的復雜性。近似熵具有較強的抗噪聲能力，但存在對數據長度的依賴性問題。

• 樣本熵：為克服近似熵的偏差，樣本熵排除了自匹配問題，并減少了對數據長度的依賴，使其在不同條件下具有較好的穩定性和一致性。

• 模糊熵：通過引入模糊函數，模糊熵克服了傳統方法中對相似性的嚴格要求，改進了復雜性測度，表現出更強的一致性和更低的數據依賴性。

稀疏測度與復雜性測度理論差異

• 復雜性測度“雙邊效應”：當信號從隨機狀態逐漸變得稀疏或密集時，這些復雜性測度（例如相關維度、近似熵、樣本熵和模糊熵）呈現出對稱的變化趨勢。這一特性與稀疏測度的單調性形成鮮明對比，如圖1所示稀疏測度在信號稀疏性變化時僅表現出單向的變化規律。

圖3 相關維度、近似熵、樣本熵和模糊熵關于稀疏性變化具有對稱的“雙邊效應”

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稀疏測度與復雜性測度應用案例

• 應用背景與數據集：基于美國航空航天局發布的IMS軸承全生命周期數據集，對不同的稀疏測度和復雜性測度進行機械健康監測，采樣頻率為20 kHz，監測軸承從健康到故障的整個生命周期。

• 監測結果分析：所有監測方法在早期故障時刻均表現出明顯的量化值波動，特別是自適應稀疏測度對早期故障的響應更加敏感。自適應稀疏測度和基于準算數均值比的創新統計量能夠反映軸承的性能退化，而復雜性測度則更適合用于度量信號的隨機性。

• 應用建議與差異：稀疏測度適用于提取稀疏性變化的故障信號，自適應稀疏測度和準算數均值比創新統計量可用于退化趨勢評估。復雜性測度則主要用于信號的隨機性量化，適合于信號分離后的故障量化。

圖4 基于稀疏測度的軸承全生命周期健康監測曲線(橫坐標為文件號，縱坐標為量化值)

圖5 基于自適應稀疏測度的軸承全生命周期健康監測曲線(橫坐標為文件號，縱坐標為量化值)

圖6 基于準算數均值比創新統計量的軸承全生命周期健康監測曲線(橫坐標為文件號，縱坐標為量化值)

圖7 基于復雜性測度的軸承全生命周期健康監測曲線(橫坐標為文件號，縱坐標為量化值)

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未來研究方向

以下是稀疏測度、復雜性測度及其在機械健康監測領域未來研究方向的展望：

故障特征統計量的改進研究

• 精確量化故障特征信息：稀疏測度在量化時域信號時易受隨機脈沖噪聲干擾，量化包絡譜域信號時易受低頻干擾影響。而相關峭度等聯合量化脈沖性和周期性的方法難以平衡二者，根源在于脈沖性和周期性量化無法精確描述故障特征信息成分的多少。因此，未來可研究通過量化值精確表示故障特征信息成分大小的統計量，以及通過閾值自動鑒別故障特征成分和干擾成分的統計量，以提升故障特征提取的準確性和可靠性。

新型稀疏測度及其應用優勢的理論研究

• 基于廣義框架的稀疏測度構造：利用稀疏測度的廣義數學框架和準算數均值比框架，探索構造更多具有優異性能的稀疏測度或新型故障特征統計量。目前已有多種新型稀疏測度被提出，準算數均值比框架為構造新型稀疏測度提供了便利。鑒于已有較多新型稀疏測度，未來構造工作需突出新稀疏測度與現有稀疏測度的理論性質差異與應用優勢，以推動稀疏測度在機械健康監測中的更廣泛應用。

• 專用故障特征統計量的開發：探索構造機械健康監測專用的故障特征統計量，例如基于數據驅動框架構造的專用故障特征統計量，以滿足特定應用場景下的故障診斷需求
  

剩余壽命預測應用研究

• 基于新型統計量的模型設計：準算數均值比構造的健康指數和自適應稀疏測度具有退化性能單調評估能力，可探索將這些新型統計量應用于設計獨特的剩余壽命預測模型，為設備的預防性維護和壽命管理提供更精準的依據。

演化熵的理論基礎研究

• 拓展演化熵研究范圍：目前理論基礎研究主要集中在相關維度、近似熵、樣本熵和模糊熵這四個經典復雜性測度。未來需進一步開展更多其他演化熵的理論基礎研究，揭示演化熵如何隨著故障信號稀疏性、隨機性和密集性的變化，以及探索演化熵是否存在計算流程通式，以豐富復雜性測度的理論體系。

復雜性測度的計算流程簡化研究

• 提升計算效率：復雜性測度目前缺乏解析表達式，其計算流程與待分析時間序列的長度密切相關，時間序列長度增加時，計算復雜性測度將耗費大量時間。因此，如何簡化復雜性測度的計算流程以提升計算效率，是一個亟待解決的難題，對于提高復雜性測度在實際應用中的可行性至關重要。

不同復雜性測度的理論及應用比較研究

• 全面對比研究：盡管已有學者對不同稀疏測度在機械健康監測中的性能開展了理論和應用對比研究，但針對復雜性測度的理論性能對比研究仍不全面。未來需開展更全面的復雜性測度理論及應用對比研究，揭示不同復雜性測度間的理論和應用差異，為復雜性測度的選擇和應用提供更明確的指導。

稀疏測度和復雜性測度量化高維信號及構建新型復合測度研究

• 高維信號量化方法探索：目前關于如何利用稀疏測度和復雜性測度有效量化故障診斷領域內的二維信號（如時頻圖、譜相關產生的頻頻圖）或多通道信號的研究較少。未來需探索有效方法，以充分利用稀疏測度和復雜性測度的優勢來處理高維信號。

• 新型復合測度構造：研究如何基于稀疏測度和復雜性測度構造新型復合測度，以同時量化信號的稀疏性和隨機性，進一步提升故障特征提取和診斷的綜合性能。

稀疏測度和復雜性測度的關聯性研究

• 理論關聯與融合：目前研究主要分別探索稀疏測度和復雜性測度，二者作為衡量信號稀疏性和隨機性變化的重要工具，目前僅從理論上發現了稀疏測度的“單邊遞減”效應和復雜性測度的“雙邊遞減”效應，但它們之間的理論關聯以及互相轉化關系仍不完全清楚。深入研究稀疏測度和復雜性測度的理論關聯，有助于實現兩類研究的融合和轉換，為機械健康監測提供更全面和深入的理論支持。

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結論

本文系統綜述了稀疏測度與復雜性測度的最新理論基礎研究進展。在稀疏測度的理論研究中，主要進展包括稀疏測度廣義數學框架和準算數均值比框架的研究。基于廣義稀疏測度的數學框架研究，本文根據權重解析推廣設計了新型的Box-Cox稀疏測度簇，并通過數據驅動的方法獲得了具有物理可解釋性的優化權重。進一步地，將這種物理可解釋的優化權重推廣至傅里葉頻譜，建立了能夠定位故障信息頻帶的優化權重譜理論。基于傅里葉譜的優化權重不受希爾伯特包絡調制的影響，從而為進一步設計新型故障特征提取技術（如優化權重譜指標、差異模態分解、脈沖模態分解等）提供了可能。基于稀疏測度的準算數均值比框架，本文設計了多種新型故障特征統計量，包括孿生基尼指數、廣義基尼指數簇等新型稀疏測度，以及自適應稀疏測度等改進型稀疏測度。

在復雜性測度的理論研究中，主要進展是通過理論推導與實驗驗證，發現了相關維度、近似熵、樣本熵和模糊熵具有“雙邊遞減”效應（如圖3所示），這與稀疏測度的“單邊遞減”效應（如圖1所示）存在顯著的理論差異，為稀疏測度和復雜性測度的關聯性研究奠定了基礎。此外，提出的復雜性測度“雙邊遞減”效應的研究思路可以拓展到更多的演化熵，從而在理論上揭示新型復雜性測度的變化規律。

在設備狀態監測應用方面，稀疏測度適用于提取稀疏性變化的故障信號，自適應稀疏測度和準算數均值比創新統計量可用于退化趨勢評估。復雜性測度則主要用于信號的隨機性量化，適合于信號分離后的故障信號量化。

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團隊研究方向

1.稀疏測度與復雜性測度的基礎研究

當前，量化故障信號稀疏性的測度之間缺乏清晰的共性聯系，導致新型稀疏測度的設計面臨困難。本研究提出了經典稀疏測度的廣義框架，成功解決了多領域稀疏測度的共性難題；設計并理論證明了新型稀疏測度，突破了新型稀疏測度設計的瓶頸；發現了復雜性測度的“雙邊效應”，厘清了稀疏測度與復雜性測度之間的辨識難題。進一步發展了基于數據驅動的方式設計自適應稀疏測度，提出了優化權重譜理論，利用正負優化權重來辨識故障和基準頻率。該方法僅需通過快速傅里葉變換（FFT）和凸優化即可求解優化權重分布規律，從而揭示故障特征，凸顯了FFT在故障診斷領域的獨特優勢，有利于監測診斷技術在工程中的落地應用。

2.可解釋性能退化評估的數據融合方法學研究

當前的退化評估方法未充分考慮退化過程的內在性質，導致模型輸出存在較大不確定性。本研究利用狀態可分性、退化單調性、類間距與類內距、形狀性、趨勢性等退化性質，全面描述了裝備全生命周期的退化過程，并定義了健康指數信噪比。進一步將譜幅（如頻域幅值或包絡譜域幅值）的加權和定義為廣義健康指數，并基于退化特性和故障特征的稀疏特性，推導出相關的廣義健康指數權重凸優化模型。該模型的權重優化過程具有明確的物理可解釋性，能夠有效辨識退化特征，揭示故障特征的動態演化過程，同步實現監測、診斷與退化評估的三重目標。

3.壽命預測的統計概率模型研究

本研究提出了廣義布朗運動壽命預測理論和多狀態布朗運動狀態空間模型，成功克服了經典壽命預測理論中的假設難題。進一步發現了貝葉斯預測模型與狀態空間預測模型的本質區別，揭示了狀態空間預測模型中狀態噪聲的獨特性。此外，研發了離散往復跳變狀態壽命預測模型及其參數在線貝葉斯更新技術，無需依賴回歸函數，僅利用在線退化數據即可實現個體的在線壽命預測，為壽命預測領域提供了新的技術手段。

4.信號處理與統計學習結合的方法學研究

當前的小波變換、變分模態分解、經驗模態分解、稀疏分解等信號處理模型本質上為帶通濾波，無法有效去除帶內噪聲，也無法分離基準和故障交叉頻率成分。本研究提出了差異模態分解，通過譜線重構基準、故障和噪聲信號，突破了帶通濾波的局限性，為故障診斷領域原創分解算法的研制提供了新的思路。此外，提出了脈沖模態分解，僅從時域即可分辨單脈沖和循環脈沖，解決了單脈沖與循環脈沖辨識的難題，進一步豐富了信號處理與故障診斷的技術手段 。

作者及團隊介紹

王冬， 國家特聘青年專家，上海交大機動學院長聘副教授，博導。致力于智能運維與大數據分析研究，成果應用于航天五院、中國核動力、中國船舶、聯想、華為、上海核工程、上海電氣、西部數據等合作研究中。獲中國振動工程學會青年科技獎、中國科技產業化促進會科學技術獎一等獎、中國發明協會“發明創業獎”金獎、上海教學成果一等獎等。擔任第九、第十屆中國振動工程學會副秘書長、IEEE Sensors Journal數據科學領域主編、JRSE預測與健康管理領域主編、MSSP、IEEE TIM、JDMD和Measurement副主編。指導學生獲首屆博士生國自然青年學生基礎項目、上交“學術之星”提名獎2人、機動學院重點推薦A級科創全國特等獎和一等獎5次、會議Best Paper最佳論文和口頭匯報獎5次等。

侯炳昌，上海交通大學致遠榮譽計劃博士，獲批主持基金委首批國自然博士生項目。研究方向為裝備健康監測與診斷，代表性成果包括準算數均值比框架、優化權重譜、脈沖模態分解，在MSSP，IEEE/ASME Transactions等權威期刊發表一作SCI論文10余篇，其中3篇入選ESI高被引；在Elsevier出版學術專著1部。獲ICSMD 2022國際會議論文Best paper獎（一作）、上海交大研究生學術之星提名獎、博士生國家獎學金、IEEE TIM杰出審稿人獎（3次）等榮譽或獎勵。

王玉婷， 2021年和2024年分別獲上海交通大學工業工程專業學士學位和專業碩士學位。主要研究方向為復雜性測度基礎研究及其在機械健康監測的應用研究。

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團隊近2年代表論著

[1]Dong Wang, Bingchang Hou, Sparsity Measures and their Signal Processing Applications for Machine Condition Monitoring, Book, Elsevier, 2025, ISBN 978-0-443-33486-3.

[2]Dong Wang, Tongtong Yan, Machine Performance Degradation Assessment: Convex Optimization Models and Their Interpretable Data Fusion Applications, Book, Elsevier, to be published in June 2025.

[3]王冬, 侯炳昌, 王玉婷, 夏唐斌, 彭志科, 奚立峰，稀疏測度和復雜性測度及其在設備健康監測中的研究進展[J]，機械工程學報，2025, 61(1): 123-139.

[4]嚴彤彤, 王冬, 彭志科, 雷亞國，基于譜幅融合廣義健康指數的可解釋裝備退化評估優化模型研究進展[J], 機械工程學報, 2024, 60 (18): 1-16.

[5]Bingchang Hou, Min Xie, Hong Yan, Dong Wang, Impulsive Mode Decomposition, Mechanical Systems and Signal Processing[J], 2024, 211: 111227.

[6]Bingchang Hou, Dong Wang, Tangbin Xia, Zhike Peng, Kwok-Leung Tsui, Difference mode decomposition for adaptive signal decomposition[J], Mechanical Systems and Signal Processing, 2023, 191: 110203.

作 者：王 冬

責任編輯：杜蔚杰

責任校對：張 強

審 核：張 強

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