莫納什大學的數(shù)學家終于解決了一個可以追溯到 17 世紀的古老幾何難題，為哲學家和數(shù)學家勒內(nèi)·笛卡爾最初提出的一個等式提供了新的見解。研究人員利用受物理學啟發(fā)的先進數(shù)學工具，通過找到任意數(shù)量切線圓的一般方程，擴展了笛卡爾四圓定理。

左圖為 3 花。右圖為 5 花。來源：幾何與物理雜志，10.1016/j.geomphys.2025.105458

他們的突破性成果發(fā)表在《幾何與物理學雜志》上，擴展了著名的笛卡爾圓定理，該定理定義了四個相互相切的圓之間的關(guān)系。雖然該定理長期以來一直是幾何學的基石，但數(shù)學家們幾代以來一直在努力將其推廣到涉及四個以上圓的配置——直到現(xiàn)在。

莫納什大學數(shù)學學院數(shù)學家副教授 Daniel Mathews 和博士生 Orion Zymaris 找到了控制這些較大切線圓模式（稱為“n 花”）的方程。

副教授 Daniel Mathews。圖片來源：莫納什大學

他們的證明借鑒了涉及旋量（在量子力學和相對論中也發(fā)揮著作用的對象）的現(xiàn)代數(shù)學技術(shù)，解決了一個懸而未決超過 380 年的問題。

“1643 年，笛卡爾向普法爾茨公主伊麗莎白提出了一個問題，他認為自己可以解決它。畢竟，他剛剛發(fā)明了笛卡爾坐標！但他做不到，當他將這個問題修改為一個實際可解的問題時，這個問題就被稱為經(jīng)典的笛卡爾圓定理，”馬修斯副教授說。“其他人已經(jīng)以其他方式推廣了這一結(jié)果，但這是該結(jié)果的首次擴展，給出了一個與平面上任意數(shù)量的圓的半徑相關(guān)的顯式方程。”

齊馬里斯的博士研究取得了這一突破，他強調(diào)了這一研究與數(shù)學和物理學其他領(lǐng)域的意外聯(lián)系。

“我們的方法使用了受物理學啟發(fā)的先進幾何工具，這令人驚訝，”他說。“旋子在物理學中被廣泛使用，尤其是在量子力學中。我們使用了諾貝爾獎獲得者羅杰·彭羅斯和沃爾夫?qū)ち值吕臻_發(fā)的旋子版本，他們將其應(yīng)用于相對論。”

“事實證明，描述量子自旋和相對論的相同數(shù)學結(jié)構(gòu)也能幫助我們理解圓形堆積。”

這項工作不僅推動了純數(shù)學的發(fā)展，也凸顯了莫納什大學拓撲學小組日益增強的實力，該小組目前有 9 名博士生，其中 5 名是女性。

“這一發(fā)現(xiàn)是一個令人興奮的例子，說明經(jīng)典問題如何在幾個世紀后啟發(fā)新的數(shù)學，”馬修斯副教授說。“令人難以置信的是，笛卡爾在 17 世紀苦苦思索的問題仍然有新的答案等待著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。”

編譯自/ScitechDaily