我們已經看到，半代數泰迪熊和半代數羊寶寶都是一個四維球的像。它們會是彼此的像嗎？

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作者：Ursula Whitcher（AMS數學評論）2025-4-1

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-4-1

我的名字Ursula的意思是“小熊”，與大熊星座（Ursa Major）同根同源，因此從小我就收藏了大量泰迪熊。在本月的特色專欄中，我想告訴大家一個定理，它利用泰迪熊為一個基本問題提供了一個新的視角：多項式能有多奇怪？

典型的預科微積分課程將直線視為最簡單的函數，緊接著是二次或更高次的多項式。基于這種早期教育，我們大多數人認為多項式并不復雜。但我們最了解的多項式次數很低，并且只依賴于1個變量（未知數）。

次數較高的多變量多項式可能會表現出令人吃驚且違反直覺的行為。現代數學中一些最著名的未解問題，包括計算機科學中的P vs NP 問題https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/ 和霍奇猜想https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/ ，都要求對多項式及其解的怪異程度進行具體度量。

我們今天的主題是實代數幾何。換句話說，我們感興趣的是研究系數為實數的多項式及其在??中的解。這些是你在第一堂代數和微積分預備課程中遇到的多項式類型。

但即使是最簡單的實多項式也迫使我們處理復數中不會出現的替代場景和特殊情況。例如，我們總是可以使用二次公式來找到 x2+bx+c=0 的兩個（可能相同）復數解。但如果我們想要實數解，也許是不可能的！

考慮由多項式切出的區域意味著什么？一種選擇是只考慮多項式方程的解。例如，單位圓由平面中 x2+y2-1=0 的解給出。對于許多問題，單位圓盤的性質（包括圓的內部）同樣重要。

為了處理這些情況，真正的代數幾何學家經常研究半代數集（semialgebraic set）。半代數集是區域之間的有限次數的并集和交集，這些區域由形式為 P(x?, ..., x_n)=0 或 P(x?, ..., x_n)>0 的有限多個方程組定義，其中 P 是多項式。

換句話說，我們同時允許多項式方程和多項式不等式。在這個框架中，單位圓盤由 x2+y2-1=0 和 -x2-y2+1>0 的解的并集給出。

圓環（annulus，兩個圓之間的區域）是半代數集的另一個簡單示例。我們可以使用它的邊對應的線性方程來切出凸多邊形，或使用構成其面的平面來切出多面體。如果我們有藝術感，我們也可以制作更復雜的形狀。

平面上的一些半代數形狀

填充形狀包括環形、五邊形和多角星

半代數集相對于實多項式方程解的一個優勢是，半代數集可以很好地與我們熟悉的函數配合使用。例如，考慮?2中由 xy-1=0 描述的雙曲線。如果我們在由 π(x,y)=x 給出的投影映射 π: ?2 → ? 下取雙曲線的圖像，我們會得到除 0 之外的所有實線。

我們不能將此集合寫成實多項式方程解的有限并集，因為每個單變量實多項式都有有限個解，而我們的集合有無限個點。但是，因為我們可以將其寫成 x>0 和 -x>0 解的并集，所以雙曲線的投影是半代數集。

雙曲線 y=1/x

雙曲線 xy-1=0

圖片使用Desmos制作 https://www.desmos.com

去掉原點的實數軸

雙曲線在x軸投影下的圖像。

塔斯基-賽登伯格（Tarski-Seidenberg）定理以二十世紀數學家阿爾弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski，1901 - 1983）和亞伯拉罕·賽登伯格（Abraham Seidenberg，1916 - 1988）的名字命名，該定理指出，相同的模式在任何維度上都成立：半代數集的投影π: ???1 → ?? 始終是半代數集。

與許多數學家一樣，塔斯基是一名移民：他在1939年德國和蘇聯入侵前夕離開了祖國波蘭，定居在美國，直到第二次世界大戰結束后才再次見到妻子和孩子。

一群西班牙數學家，包括José F. Fernando、José Manuel Gamboa和Carlos Ueno，一直在深入研究半代數集的圖像。他們的工作提供了一些策略，可以將我們最初提出的關于奇怪多項式的問題轉化為精確的數學陳述。

2023年，Fernando和Ueno使用包括球體和半球體、橢圓體、圓柱體和四面體在內的“磚塊”在?3中構造半代數集 https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short ，這些半代數集可以實數化為 ?? 中單位球的多項式圖像。

其中一個是半代數泰迪熊，另一個是半代數羊寶寶。以我自己用聚合物粘土制作的模型來說明。

半代數熊和綿羊的粘土模型

這是玩具熊的照片，以及用聚合物粘土制成的粗糙球形和橢圓形的形狀。

Fernando和Ueno用德語昵稱“B?rchen”和“Sch?fchen”來指代熊和羊（例如，在一位德國教師的視頻 https://www.youtube.com/channel/UCb-bsbeEwNusbKbT0Sg_1Ww 中就曾紀念過這兩個詞）。而我喜歡用英語的“Teddy”（泰迪）和“Lambkin”（羊寶寶）。

從數學上講，這些形狀具有一些特殊性質。它們是?3的緊子集（compact subset）。換句話說，它們是封閉的（它們包含所有邊界點）和有界的（它們處于有限半徑的球體內）。Fernando和Ueno還施加了技術條件，即他們的磚塊必須沿解析路徑連接。

我們已經看到，半代數泰迪熊和半代數羊寶寶都是四維球的像。它們會是彼此的像嗎？

安東尼奧·卡博內（Antonio Carbone）在特倫托大學的博士項目中研究了這個問題，該項目由費爾南多（Fernando）指導。2024年，卡博內和費爾南多發表了 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310 ，證明答案是肯定的——如果我們愿意使用正確的函數類型。

我們討論的函數是納什映射（Nash maps），以多才多藝的數學家、諾貝爾經濟學獎獲得者約翰·福布斯·納什（John Forbes Nash Jr.，1928 - 2015）的名字命名。讓我們分兩個階段來定義它們。

設 f: ?? → ?? 是一個函數。如果f的圖像 {(x,y)∈???? ∣ y=f(x)} 是一個半代數集，我們就稱f為半代數映射（semialgebraic map）。我們可以使用塔斯基-賽登伯格定理得出以下結論：半代數映射的圖像通過投影到最后n個坐標上，就是半代數集。

如果半代數映射也是光滑映射，則稱為納什映射。我們在這里使用“光滑”一詞，其含義與多變量微積分相同，其中我們要求每個點的偏導數矩陣具有滿秩。

特別是，當源維度和目標維度相同時，每一點的偏導數矩陣都是方陣，我們只需要它是可逆的。直觀地說，光滑映射不會引入尖銳的折痕或過于尖銳的部分。

我們現在準備陳述Carbone和Fernando的B?rchen-Sch?fchen定理，或者，我喜歡稱之為Teddy-Lambkin（泰迪熊-羊寶寶）定理。

泰迪熊-羊寶寶定理

令 ??? 是維度為d的半代數集，令 ??? 是由維度為e的解析路徑連接的緊半代數集。假設 e≤d。則存在一個納什映射 f: ?? → ??，使得 f()=。

在我們的半代數泰迪熊和半代數羊寶寶的例子中，我們有 d=e=3，所以有一個從熊到羊的納什映射，還有另一個從羊到熊的納什映射！

所討論的映射不必是一一映射，因此可以進行更激烈的變換。我們可以使用納什映射將半代數咖啡杯形狀轉換為泰迪熊，或者用填充的（果凍？）甜甜圈制作小羊羔。實多項式的領域——這不是開玩笑——非常非常奇怪。

進一步閱讀

Antonio Carbone 和 José F. Fernando。半代數集之間的滿射納什映射Surjective Nash maps between semialgebraic sets. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310 。數學進展，第438卷，2024年2月，109288。

José F. Fernando 和 Carlos Ueno。論封閉球的多項式像。On polynomial images of a closed ball

https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short J. Math. Soc. Japan 75(2): 679-733 (2023年4月)。DOI：10.2969/jmsj/88468846

參考資料

https://wordpress.com/reader/blogs/202620863/posts/2336

https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/

https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/

https://www.desmos.com

https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short

https://www.youtube.com/channel/UCb-bsbeEwNusbKbT0Sg_1Ww

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310

https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short

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