如果有人問你，宇宙存在有多少年了？你該怎樣回答呢？

首先，你應該讓他知道，要談這個話題，必須先承認宇宙是有一個開端的。

現代宇宙學的模型——大爆炸宇宙模型認為，宇宙起源于一次爆炸。當然它的提出是基于若干觀測證據的，這些證據包括哈勃定律、宇宙微波背景輻射（CBM）和輕元素的豐度等等。總之，按照這個模型，宇宙的確是有一個開端的。

如果接受了這個宇宙模型，那么接下來，你就可以在這個理論的框架下，去尋找可幫助獲取宇宙的年齡的有用信息。

那么，有哪些信息是有用的呢？

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目標：尋找時間微分

顯然，不可能像考古那樣，去探測天然放射性碳元素含量，而需要找到那些從宇宙爆炸開始到現在，一直隨時間變化的東西。

一個直接的想法是，如果能找到時間 對某個量（例如 ）

并且又知道 在宇宙爆炸時的起始值 和當前值 ，那么

問題是，有哪個量可以充當這個量 呢？

諸君想想，有哪些物理量，我們知道它的初始值和現在的值？

最容易想到的是宇宙的平均密度 ，如果它現在是1，根據宇宙大爆炸，起始時宇宙是一個點，那么它初始值應該是 。

其次是宇宙的尺寸 ，若它現在是1，那么同樣的道理，最初時它是0。

所以，只要找到時間 與這兩個量中的任何一個的微分關系，問題就有答案了！

為了找到這個微分關系，我們從宇宙學的幾條基本假設說起。

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依據：三條假設

第一條假設，宇宙的演化由廣義相對論描述。

廣義相對論告訴我們，物質能量與時空之間的相互作用關系由愛因斯坦場方程描述，它長下面這個樣子

上式左邊也常被表示為 ，叫愛因斯坦張量，描述時空的形狀（彎曲情況）；而右邊括號里是能量-動量張量，描述物質和能量的分布。讀者不需要管這個式子具體是如何推導的，你只需要相信一點——基于它，在滿足一些假設的條件下，可推導出時間微分關系。

第二條假設，即宇宙學原理——宇宙在大尺度上是均勻的、各向同性的。

所謂均勻指的是，雖然宇宙在小尺度（例如太陽系尺寸）上，各處密度存在差異，但在大尺度（數量級~十億光年）上看，宇宙各處的密度是均勻的；各向同性是說，在宇宙中不同的位置觀察，在任何方向看到的宇宙都是一樣的。

要滿足上述要求，宇宙空間不是我們熟悉的那種三維（歐幾里得）幾何空間，而是一種完全不同的四維時空，在這個空間中，點與點之間的距離與空間的曲率有關，按一種叫做FLRW度規的方法來給出。

FLRW度規？它是什么意思呢？

為了幫助你理解，我們回顧下中學數學中所學的歐幾里得空間的距離公式。

在直角坐標系中，歐幾里得空間的距離計算公式為

轉到球坐標系，如下圖所示

則距離的表達式為

與這個距離公式相比，宇宙時空的距離有3個變化。

第一個變化，它引入了時間坐標，兩個時間點之間的距離為 ——注意，這里有一個負號。據此，距離公式右邊變為

第二個變化，時空是有曲率的，曲率用 表示，它的取值為1、0和-1三種情形，如下圖所示。

有了曲率，上式進一步變為

第三個變化，由于宇宙在不斷的膨脹，設某時刻 ，宇宙相對現在的尺寸是 ，則任意時刻的距離可表示為

這就是FLRW度規！沒錯，它就是歐幾里得空間距離在宇宙時空中的對應者，不叫距離，叫度規。

針對我們的宇宙，其彎曲程度很小，也就是說，我們的宇宙是平坦的，所以取 ，因此FLRW度規簡化為

對于這個東西，你也不需要了解太多，你只需要知道，基于它，上面的愛因斯坦方程可大大簡化。

第三條假設，根據ΛCDM模型，宇宙的組份可看作理想流體。

采用理想流體的假設表明，我們可以用能量密度 和壓強 就足以描述宇宙組份的性質，而不需要其他更加復雜的內部的相互作用。

按照人類目前的了解，宇宙組份可分為如下三種，輻射能量（密度為 )、普通物質和暗物質（密度為 )、暗能量（密度為 ），因此宇宙物質的總密度是

對于 來說，由于三維空間中體積與宇宙尺寸的三次方成反比，設當前宇宙的物質密度為 ，則 。

對于 來說，假設光子數不變，空間尺寸變化，它的個數密度 也與尺寸的三次方成反比，但由于多普勒效應，空間放大，電磁輻射紅移，頻率與宇宙尺寸成反比，則輻射的能量密度與宇宙尺寸的四次方成反比。設當前宇宙的輻射密度為 ，則 。

對于 來說，它代表宇宙常數的貢獻，是不變的（這點有點奇怪，但就是這樣！）。

故宇宙在任意時刻的平均密度可表示為

好，三條基本假設講完了，現在來看，它們放在一起會導致什么結果呢？

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推理：得到時間微分

基于上面假設中的第一條和第二條，經過一番復雜的數學推導（此處從略，你只需相信結果就行了），可得如下等式

到這里，我們要講一個重要的規律——哈勃定律，它基于天文觀測而被發現。

1929年，美國天文學家哈勃（Edwin Hubble，1889~1953）發現，宇宙中的星系都在彼此遠離，其速度與星系之間的距離成正比，即哈勃定律，表示為

其中 為哈勃常數，它的值隨時間而變。根據現代天文觀測，當前哈勃常數的值為

既然 就是宇宙尺寸，則哈勃定律也可表示為

聯合（4）和（5）得

設當前宇宙的物質總密度為 ，則

將此式代入（4）式中得

故得時間微分表達式為

再看上面的第三條假設的結論，即（3）式，將其代入（6）得

將根號里分子分母同除以 ，得如下時間微分式

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結果：積分計算

在上面的（7）式中， 、 和 分別是當前宇宙中輻射、物質和暗能量的占比，它們分別用 、 和 表示，它們是可以通過天文觀測獲取的。

這樣一來，（7）式中除了函數 之外，其他都是可觀測量，查閱最新天文觀測數據可知 ， ， 。當前哈勃常數 ，根據 光年，即（訂：單位s應加指數-1）

而 的初始值是0，當前值是1，好！終于可以計算了 ！

結果為137.992億年！

需要說明的是，這個積分比較難搞哈，如果你不想硬算（反正我不會），你可以借助在線計算工具來解決，推薦Wolfram的Mathematica Online，輸入如下計算式。

即可得出結果，如下圖所示。

據此，我們通過計算得到，宇宙從大爆炸到現在，存在了約138億年，這就是基于現代宇宙學模型得到的宇宙年齡。

可見，只要你懂一點微積分，關于宇宙年齡這件事，你是完全可以搞懂的。

是不是覺得不可思議？如此神秘而宏大的宇宙，在渺小的地球上渺小的我們面前，竟然輕易就暴露了他的年齡！

正如愛因斯坦說的那句話——“宇宙的最不可理解之處，在于它是可以被理解的”。這是多么值得人類開心的一件事！

參考文獻

溫伯格(S.Weinberg)，最初三分鐘[M]，重慶大學出版社，2015.9
俞允強，物理宇宙學講義[M]，北京大學出版社，2002.11
https://imagine.gsfc.nasa.gov/science/featured_science/tenyear/age.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Age_of_the_universe

來源：物含妙理

原標題：為什么說宇宙誕生于138億年前？

編輯：小咕咕

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