山西
3月26日，三大數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)之一的阿貝爾獎(jiǎng)揭曉，日本數(shù)學(xué)家柏原正樹(shù) (Masaki Kashiwara)獲獎(jiǎng)，挪威科學(xué)和文學(xué)學(xué)院給出的評(píng)價(jià)是：“對(duì)代數(shù)分析和表示論作出了開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)，尤其是 D 模理論的發(fā)展和水晶基的發(fā)現(xiàn)”。”
阿貝爾獎(jiǎng)于2002年1月設(shè)立，2003年6月3日首次頒發(fā)，設(shè)立的初衷之一是為了彌補(bǔ)數(shù)學(xué)界沒(méi)有諾貝爾獎(jiǎng)的遺憾。該獎(jiǎng)由挪威政府資助，獎(jiǎng)金為750萬(wàn)挪威克朗（約合人民幣512萬(wàn)元）。該獎(jiǎng)項(xiàng)與菲爾茲獎(jiǎng)、沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)并稱國(guó)際數(shù)學(xué)界“三大獎(jiǎng)”。
今年的獲獎(jiǎng)?wù)甙卦龢?shù) (Masaki Kashiwara)1947年生于日本茨城縣結(jié)城市，在東京大學(xué)，他遇到了導(dǎo)師佐藤干男（1928-2023），佐藤利用代數(shù)作為理解線性偏微分方程 (LPDE) 的工具，創(chuàng)立了一個(gè)新領(lǐng)域——代數(shù)分析。1970年，柏原在佐藤的指導(dǎo)下完成了碩士論文，用代數(shù)分析研究線性微分方程組的新基礎(chǔ)，將導(dǎo)師開(kāi)創(chuàng)的領(lǐng)域發(fā)揚(yáng)光大。研究生時(shí)期，柏原與佐藤以及他的數(shù)學(xué)家同事河合貴宏一起前往法國(guó)。在那里，他遇到了皮埃爾·夏皮拉 (Pierre Schapira)，后者成為了他一生的合作者。1974年，柏原在京都大學(xué)獲得博士學(xué)位后，被任命為名古屋大學(xué)副教授。1977年，他以研究員身份前往美國(guó)麻省理工學(xué)院（MIT），1978年返回日本，一直任職于京都大學(xué)數(shù)理科學(xué)研究所（RIMS）。他于2010年成為名譽(yù)教授，并繼續(xù)以RIMS教授的身份進(jìn)行研究。自2019年起，他兼任京都大學(xué)高等研究院 (KUIAS) 教授。
柏原一生獲獎(jiǎng)無(wú)數(shù)，曾獲得朝日科學(xué)獎(jiǎng)、日本學(xué)士院獎(jiǎng)、藤原獎(jiǎng)、國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)陳省身獎(jiǎng)、稻盛財(cái)團(tuán)的國(guó)際京都獎(jiǎng)、國(guó)際基礎(chǔ)科學(xué)大會(huì)的前沿科學(xué)獎(jiǎng)。2020年，柏原榮獲日本圣物金銀星章，2024年榮獲京都獎(jiǎng)（京都府文化杰出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)）。
柏原正樹(shù)
圖源：Peter Badge/Typos1/阿貝爾獎(jiǎng)
對(duì)稱性在數(shù)學(xué)和物理世界中普遍存在。表示論使用代數(shù)工具來(lái)研究如何通過(guò)向量空間上的線性變換來(lái)表達(dá)給定的對(duì)稱性。另一方面，線性偏微分方程傳統(tǒng)上是使用分析工具來(lái)研究的。代數(shù)分析由佐藤干男開(kāi)創(chuàng)，是通過(guò)代數(shù)方法對(duì)這些方程進(jìn)行系統(tǒng)研究。柏原對(duì)該計(jì)劃做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，在表示論中取得了令人驚訝的聯(lián)系和驚人的成果。
D 模塊為研究線性偏微分方程系統(tǒng)提供了一種代數(shù)語(yǔ)言。1970 年，柏原的碩士論文發(fā)展了解析 D 模理論，引入了特征變異的基本概念，并證明了柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理的廣泛推廣。
表示論中的 Kazhdan–Lusztig 猜想可以被看作是將表示的特征與交上同調(diào)群聯(lián)系起來(lái)。這是由柏原與讓-呂克·布萊林斯基共同證明的，他們運(yùn)用了黎曼-希爾伯特對(duì)應(yīng)關(guān)系。亞歷山大·貝林森 (Alexander Beilinson) 和約瑟夫·伯恩斯坦 (Joseph Bernstein) 使用不同的方法獲得了獨(dú)立證明。
柏原和谷崎俊之后來(lái)通過(guò)在無(wú)限維旗簇上發(fā)展 D 模理論，將卡茲丹-盧斯蒂格猜想推廣到無(wú)限維仿射李代數(shù)。從此以后，D-模理論成為了一個(gè)不可或缺的工具，并帶來(lái)了表示論的許多新發(fā)展，包括正特征。
受到數(shù)學(xué)物理中可解格模型研究的啟發(fā)，Vladimir Drinfeld 和 Michio Jimbo 于 80 年代末獨(dú)立地形式化了量子群。它們是復(fù)半單包絡(luò)代數(shù)或 Kac-Moody 李代數(shù)的變形。柏原引入了晶體基的概念，并證明了量子群可積最高權(quán)重表示的晶體基的存在。該證明通過(guò)一個(gè)復(fù)雜的歸納過(guò)程進(jìn)行，現(xiàn)在被稱為大循環(huán)論證，是一項(xiàng)杰作，隨著時(shí)間的推移并沒(méi)有得到太大的簡(jiǎn)化。柏原還將晶體基推廣到全局基，后者由喬治·盧斯蒂格獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，并被命名為規(guī)范基。這項(xiàng)工作可以看作是對(duì)楊氏圖和楊氏表理論的廣泛而富有成果的概括。
幾十年來(lái)，許多數(shù)學(xué)家受到了柏原數(shù)學(xué)思想的啟發(fā)，許多人認(rèn)為他為數(shù)學(xué)領(lǐng)域開(kāi)辟了一條全新的革命性道路，用以前人們無(wú)法想象的方法證明了定理。1980年，柏原正樹(shù)利用D-模理論證明了黎曼-希爾伯特對(duì)應(yīng)，這是希爾伯特在1900年提出的微分方程行為猜想，過(guò)去困擾了數(shù)學(xué)家?guī)资辍?016年，柏原正樹(shù)證明了之前的黎曼-希爾伯特對(duì)應(yīng)（Riemann-Hilbert correspondence）的一個(gè)延伸問(wèn)題。
參考文獻(xiàn)：
1.https://abelprisen.no/article/2025/abelprisen-2025-gar-til-masaki-kashiwara
2.https://abelprisen.no/begrunnelse/begrunnelse-fra-abelkomiteen-masaki-kashiwara
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