目錄：

The path integral formulation

A particular partition and variational free energy

A typology of particular kinds

Inert particles and Bayesian filtering

Conservative particles and expected free energy

Strange particles and generalised free energy

Simulating sentience

Epilogue: on the nature of strangeness

翻譯：志愿者 春暖花開（僅供概覽）

關鍵詞:自組織，變分推理，貝葉斯，馬爾科夫毯，活性物質，路徑積分

Abstract摘要

本文描述了自由能原理的路徑積分公式。隨后的敘述表達了一個粒子隨時間演化所采取的路徑或軌跡。主要結果是一種方法或最小作用原理，可用于模擬粒子與其外部環境進行開放交換的行為。粒子是由一種特殊的劃分來定義的，在這種劃分中，內部狀態通過活動的和感覺的覆蓋狀態與外部狀態區分開來。手邊的變分原理可以讓我們將某些粒子的內部動力學解釋為推斷隱藏在毯態背后的外部狀態。我們考慮不同種類的粒子，以及它們在多大程度上可以被灌輸一種推理或感知的基本形式。具體來說，我們考慮耗散粒子和保守粒子，惰性粒子和活性粒子之間的區別，最后，普通粒子和奇怪粒子。奇異粒子可以被描述為推斷它們自己的行為，賦予它們明顯的自主性或代理性。簡而言之——在特定分區提供的粒子種類中——奇怪的種類可能更適合描述有知覺的行為。

Introduction 介紹

自由能原理(FEP)描述了一個隨機動力系統的動力學之間的簡單關系，并描述了其參與推理的行為。FEP起源于神經科學，試圖描述大腦的功能和行為(Friston et al. 2006 ),后來擴展到描述生物和物理領域的幾種事物(Friston 2013Friston et al. 2021)通過一種特殊的力學——貝葉斯力學——與量子、統計和經典力學共享相同的基礎(Friston 2019弗里斯頓等人2022)。本文是一系列技術論文的一部分，這些技術論文以越來越簡單、越來越合格的術語描述了FEP(frist on，2013；弗里斯頓，2019；弗里斯頓等人，2022)。

A path integral formulation 路徑積分公式

本文著重討論FEP的路徑積分公式。路徑積分公式依賴于通過拉格朗日函數對隨機動力系統的動力學進行編碼(Graham，1977b塞弗特，2012)。拉格朗日函數扮演了自我信息或驚奇的角色，記錄了通過狀態空間的路徑的不可思議性。換句話說，我們將處理路徑或軌跡上的概率密度，而不是狀態上的密度，后者涉及了許多關于FEP的近期文獻(Ramstead等人，2022)。

從基于狀態的公式到基于路徑的公式的轉變反映了FEP的教導性描述到其操作基礎的轉變，以路徑上的概率密度來表示(Friston，2010；弗里斯頓，2012；Ramstead等人，2022年)。最近關于FEP的大部分工作都關注于用狀態的概率密度來描述系統的動力學；即表達某些狀態或事件發生的概率。在這里，我們將關注系統在狀態空間中沿某一軌跡運動的概率。

路徑積分公式提供的簡化依賴于路徑上密度的工作(與狀態相反)。特別是，與FEP的基于狀態的公式相反，我們對非平衡穩態的存在和功能形式不做任何假設(Friston等人，2022；弗里斯頓等人，2021)。

Generalised coordinates of motion 運動的廣義坐標

從技術上講，我們將在運動的廣義坐標下工作(Balaji和Friston，2011；達科斯塔等人，2021aPavliotis，2014):我們用表示狀態運動的n階時間導數的額外自由度來擴充系統的傳統狀態空間。即位置、速度、加速度等。，被明確地表示為不同的(廣義的)狀態。這通過用一系列時間導數(即廣義狀態)代替狀態(即路徑)的時間序列簡化了推導。在這種情況下，拉格朗日函數扮演一個動作的角色，其中最小動作的路徑使廣義狀態的拉格朗日函數最小化。通常情況下，行動和拉格朗日被區別對待，因為拉格朗日是廣義狀態的函數，而行動是路徑的函數，通常被定義為拉格朗日的路徑積分(Seifert，2012)。這些觀念在運動的廣義坐標，因為路徑相當于運動的廣義坐標中的一個點(即廣義狀態)。

Particles and particular partitions 粒子和特定分區

FEP關注的是自我組織，它呼吁將“自我”從非我中個性化出來。我們考慮(廣義)態的一種特殊劃分，這種劃分是把一個物體(即一個粒子)的 內部態和外部態分開 所必需的。這種劃分是根據 外部、感覺、活動和內部狀態之間的稀疏耦合 來定義的。然后，根據變分自由能引理來解開這種特定劃分的含義，變分自由能引理說，最可能的自主(即，活動和內部)路徑 最小化關于外部路徑的貝葉斯信念的自由能泛函 。重要的是，具有保守動力學的粒子總是追求最小作用的路徑，因此最小化變化的自由能。隨后的最小作用原理或方法被認為是根據描述具有活動狀態的活動粒子的 貝葉斯力學。這類粒子的自主路徑有一個拉格朗日量，稱為期望自由能，可以分解為對應于期望成本和期望信息增益的項 。在這種情況下，成本是感覺路徑的拉格朗日或驚奇，它定義了粒子的特征軌跡。這意味著保守粒子符合貝葉斯決策理論的對偶最優性原則(Berger，2011；Wald，1947)和貝葉斯最優設計(Lindley，1956；麥凱，1992)。對感官驚奇的另一種解讀是根據貝葉斯模型證據(也稱為邊際可能性)，將自組織描述為自證(Hohwy，2016)。

Particular kinds 特定種類

隨后的公式自然導致粒子種類的類型學，或“特殊種類”。我們首先考慮活性粒子和惰性粒子的區別，它們分別有和沒有活性態。然后我們考慮耗散粒子和保守粒子之間的區別，它們分別服從和不服從隨機漲落。最后，我們轉向普通粒子和奇異粒子之間的區別，它們的活動狀態分別影響和不影響內部狀態。這種區別意味著奇怪粒子持有的貝葉斯信念涵蓋了它們的行為(的后果)。換句話說，奇異粒子的活動狀態隱藏在內部狀態之外，成為被推斷出來的感覺狀態的潛在原因。這導致了某種(奇怪的)粒子(看起來好像是)認為自己是保守粒子。因此，它通過信息和偏好尋求行為主動最小化預期自由能(巴爾托等人，2013；孫等，2011)。這種感知行為或主動推理可以表示為最小化廣義自由能泛函，這可以被視為智能體設計或建模中的通用目標函數(Parr和Friston，2019)。這種行為推理(Ramstead et al .，2020)可以被解讀為廣義的計劃推理(Attias，2003；伯特溫尼克和圖桑，2012；Lanillos等人，2021年)。

The free energy principle自由能原理

FEP是對自組織的簡單描述，它與量子力學、統計力學和經典力學有著相同的基礎，并導致了一種特殊的力學——貝葉斯力學——我們可以用它來描述某些“事物”在推理中的動力學(Fields等人，2021a弗里斯頓，2019；Ramstead等人，2022年)。FEP是通過仔細關注“事物”被定義的方式，從而關注它們與其他一切事物的分離和結合的方式而得出的。在制定FEP的路徑積分公式之前，我們以敘述的形式總結一下步驟:

? The FEP addresses the following question: if something exists, in the sense of possessing characteristic states or dynamics, what properties must it possess? To answer this question, it is necessary to define a thing or particle.

? A particle is constituted by internal and blanket states. The blanket states constitute the boundary between the states internal and external to the particle. Mathematically, this means that internal paths are conditionally independent of external paths, given blanket paths.

? This conditional independence means that, for every blanket path, there exists a most likely internal path and a (posterior) probability density over external paths.

? The ensuing synchronisation map from the most likely internal path to the conditional density over external paths can be read as inference, in the sense that the most likely internal path encodes a Bayesian belief about external paths.

? This Bayesian interpretation can be made explicit by associating the Lagrangian with a variational free energy; namely, a free energy functional of Bayesian beliefs about external states, given blanket states.

? The internal paths of sufficiently large (i.e., conservative) particles are always the most likely paths; namely, paths of least action, where action is the path integral of a Lagrangian (a.k.a., self-information or surprisal) in the usual way.

? The Lagrangian of the active paths (i.e., blanket paths that can be influenced by internal paths) of conservative particles reduces to variational free energy. This means the autonomous (i.e., active and internal) states of such particles will appear to pursue paths of least action that minimise variational free energy.

? In this case, the Lagrangian of autonomous paths can be decomposed into the expected Lagrangian (i.e. implausibility or cost) of sensory paths minus expected information gain; namely, the reduction of uncertainty about external paths.

? This has the interesting interpretation that autonomous paths will appear to minimise expected cost—where cost is read as the Lagrangian of sensory paths that characterises the particle in question—while maximising expected information gain. This is 5 consistent with the principles of Bayesian decision theory—e.g., expected utility theory (Von Neumann and Morgenstern, 1944)—and optimal Bayesian design (Lindley, 1956), respectively.

? The combination of expected information gain and expected cost has the functional form of an expected free energy.

? Finally, we turn to strange particles: conservative particles whose active paths only influence internal paths vicariously, via sensory paths. Strange particles can be read as inferring their own actions—in addition to the external world—endowing them with apparent autonomy or agency.

· FEP提出了以下問題:如果某物存在，在擁有特征狀態或動力的意義上，它必須擁有什么性質？要回答這個問題，有必要定義一個事物或粒子。

· 一個粒子由內部態和blanket states組成。blanket states構成了粒子內部和外部狀態的邊界。從數學上來說，這意味著在給定一攬子路徑的情況下，內部路徑有條件地獨立于外部路徑。

· 這種條件獨立性意味著，對于每個覆蓋路徑，都存在一個最可能的內部路徑和外部路徑上的(后驗)概率密度。

· 從最可能的內部路徑到外部路徑上的條件密度的隨后的同步映射可以被解讀為推理，在這個意義上，最可能的內部路徑編碼了關于外部路徑的貝葉斯信念。

· 通過將拉格朗日函數與變分自由能聯系起來，這種貝葉斯解釋可以變得顯式；也就是說，一個關于外部狀態的貝葉斯信念的自由能泛函，給定毯態。

·足夠大(即保守)粒子的內部路徑總是最可能的路徑；即最少作用的路徑，其中作用通常是拉格朗日函數(也稱為自我信息或意外信息)的路徑積分。

·保守粒子的活動路徑(即，可能受內部路徑影響的毯式路徑)的拉格朗日量減少到變化的自由能。這意味著這種粒子的自治(即，活性和內部)狀態似乎會遵循最小化變化自由能的最小作用路徑。

· 在這種情況下，自主路徑的拉格朗日可以分解為感知路徑的期望拉格朗日(即不可實現性或成本)減去期望信息增益；即減少外部路徑的不確定性。

· 這有一個有趣的解釋，即自主路徑似乎將最小化預期成本——其中成本被解讀為表征問題粒子的感覺路徑的拉格朗日函數——同時最大化預期信息增益。這是 分別與貝葉斯決策理論的原則一致，例如，期望效用理論(馮諾依曼和摩根斯坦，1944年)和最優貝葉斯設計(林德利，1956年)。

·預期信息增益和預期成本的組合具有預期自由能的函數形式。

·最后，我們轉向奇怪的粒子:保守粒子，它們的活動路徑只通過感覺路徑間接影響內部路徑。奇怪的粒子可以被解讀為推斷它們自己的行為——除了外部世界——賦予它們明顯的自主性或能動性。

總之，從事物的定義開始——用馬爾可夫鏈來說——最后是(某些種類的)事物的貝葉斯力學。內部路徑看起來好像是在推斷外部路徑——通過最小化變化的自由能。主動路徑看起來似乎符合最優貝葉斯設計(Lindley，1956)和決策理論(Berger，2011)的原則——分別通過最大化預期信息增益和最小化預期成本。在這里描述的特殊種類中，奇怪的東西可能適合于描述代理的感知行為。

由此產生的FEP可以解讀為最小作用量的變分原理，一種規范理論(Friston等人，2022；Sakthivadivel，2022cSengupta等人，2016)，Jaynes最大熵或最大口徑原理的對偶(Sakthivadivel，2022aSakthivadivel，2022b)或——在其量子理論公式中——漸近等價于幺正原理(Fields等人，2021a)。

從這個角度來看，FEP是一個第一原理方法，可以應用于任何“事物”或“粒子”，以某種方式消除了物理學、生物學和心理學之間的界限。這種應用認可了許多關于感知行為和自組織的規范性解釋。從控制論到協同學(敖，2004；阿什比，1979年；哈肯，1983；凱爾索，2021)；從強化學習到人工好奇心(巴爾托等人，2013；施密德胡伯，1991；薩頓和巴爾托，1981年；Tsividis等人，2021年)；從預測處理到通用計算(Clark，2013bHohwy，2016；赫特，2006)；從模型預測控制到empowerment(Hafner等人，2020；Klyubin等人，2005)，等等。我們現在用統計物理學和信息論的標準結果來解開上面敘述的論點。

The path integral formulation路徑積分公式

“We do not find obvious evidence of life or mind in so-called inert matter; but if the scientific point of view is correct, we shall ultimately find them, at least in rudimentary form, all through the universe.” (Haldane, 1932)

我們從描述設置開始。我們假設系統的狀態——我們稍后將把它分解成一個粒子和它的外部環境——演化成一個隨機的動力系統，可以用朗之萬方程來描述，

注釋：1 從(1)到(2)對應于求解隨機實現問題 Da Costa，l .，Friston，k .，Heins，c .，Pavliotis，G.A .，2021a。平穩過程的貝葉斯力學。訴訟程序。數學、物理和工程科學477，20210518，Mitter，s .，Picci，g .，Lindquist，a .，1981。邁向非線性隨機實現的理論。)，線性和非線性系統的反饋和綜合。德國比勒菲爾德斯普林格出版社和意大利羅馬。;例如，參見 Pavliotis，G.A .，2014 年第 8 章。隨機過程和應用:擴散過程，福克-普朗克和朗之萬方程。紐約斯普林格。和 Jak? i? 訴 Pillet 案，c-a，1998 年。經典耗散系統的遍歷性質 I .數學學報 181，245–282。

第一個等式類似于第一類拉格朗日方程，它確保廣義運動的狀態是廣義運動的狀態。或者，它可以被理解為在移動參考系中拉格朗日函數上的梯度下降(第二等式)。當拉格朗日函數是凸的時，拉格朗日函數(第三等式)上的廣義梯度下降的解必然收斂到最小作用的路徑。拉格朗日函數的凸性保證了收斂性，它繼承了高斯關于隨機波動的假設。在廣義貝葉斯過濾器的精神下，當恢復最少動作的路徑時，等式(6)將是有用的(Friston 等人，2010b)。

路徑上的不確定性源自隨機波動，隨機波動可以用預期的拉格朗日(即，差分熵)來表示:從(2)和(4):‘7’（7注釋

當隨機波動的振幅趨于零時，不存在不確定性，路徑總是作用最小的路徑。這相當于保守的——但可能是混亂的——動力學。上述微分熵可以用連續熵來表示，使用與不變測度相關的 N 個離散點的極限密度(Jaynes，1957)，上述微分熵可以用連續熵表示

換句話說，如果一個狀態子集的隨機漲落消失，給定它們的父態，它們的微分熵將接近一個連續熵為零的下限。我們的設置到此結束。我們現在轉向定義“事物”的特定狀態劃分，并考慮不同種類的事物如何表現。

A particular partition and variational free energy

一種特殊的配分和變分自由能

“How can the events in space and time which take place within the spatial boundary of a living

organism be accounted for by physics and chemistry?” (Schr?dinger, 1944).

特定狀態被劃分為具有特定流依賴性的感覺、活動和內部狀態；即外部狀態只能影響自身和感官狀態，而內部狀態只能影響自身和活動狀態。從(4)中，這些耦合約束意味著當以毯式路徑為條件時，外部和內部路徑是獨立的。

等式(13)可以理解為，對于任何給定的覆蓋路徑，最小作用的內部路徑參數化了外部路徑上的變化密度。這允許以下定義:

雖然基于相同的假設，但自由能原理可以被視為通過仔細關注外部和內部動力學的分離，用貝葉斯力學來補充量子力學、統計力學和經典力學(Friston，2019)。這種分離是通過(12)中的條件獨立性實現的。通過構造，這賦予了粒子自主性，即主動和內部(即自主)路徑，

雖然基于相同的假設，但自由能原理可以被視為用貝葉斯力學補充量子力學、統計力學和經典力學，方法是仔細關注外部和內部動力學的分離（Friston，2019年）。這種分離是通過（12）中的條件獨立性實現的。通過構造，這賦予了粒子自主性，即主動和內部（即自主）路徑，不依賴外部路徑。自由能原理與自然有關這種自主的動力。

這個變化的自由能可以用幾種方法重新排列。首先，它可以表示為一個能量約束減去一個熵，這許可的名稱自由能(費曼，1972)。在…里

在 能 量 最 小 化 的 約 束 下 ， 最 小 化 變 化 自 由 能 的 這 種 分 解 對 應 于 最 大 熵 原 理(Jaynes，1957；拉索塔和麥基，1994 年；Sakthivadivel，2022b)。能量約束是外部和特定路徑上的邊際密度的函數，其起到生成模型的作用；即原因(即外部路徑)及其結果(即特定路徑)的聯合密度。在(14)中，生成模型已經根據似然性和先驗拉格朗日表示，其可以被解讀為在原因(即，外部狀態)或結果(即，特定狀態)的空間中指定特征或優選軌跡。

第二——在統計讀數上——變分自由能可以分解為特定路徑的(負)對數似然性(即準確性)和外部路徑上后驗和先驗密度之間的 Kullback Leibler (KL)散度(即復雜性)。最后，它可以寫成負對數證據加上變分密度和條件密度(即后驗密度)之間的 KL 散度。在變 分 貝 葉 斯 推 理 “10”（注釋：10當活動狀態集為空且粒子為惰性時。） (Beal ， 2003) 中 ， 負 自 由 能 被 稱 為 證 據 下 限 或 ELBO(Bishop，2006；溫和畢曉普，2005 年)。之所以稱之為界，是因為 KL 散度從不小于零。

證明:回想一下，拉格朗日是一個驚奇，兩個密度之間的 KL 散度是它們的驚奇的預期差。變分自由能的各種分解是從這一觀察中得出的。通過構造，證明是簡單的:將(13)中的變分密度的定義代入(14)中的最終等式，表明特定路徑的拉格朗日自由能和變分自由能共享相同的最小值:

用變化的自由能代替(12)中的拉格朗日量得到(14)

推論:如果自主路徑和外部路徑是條件獨立的，給定感覺路徑，那么最小作用的自主路徑也可以被投射為變化自由能上的梯度流

證明: 上面的條件獨立性意味著最小動作的自主路徑是a 特定狀態的拉格朗日函數上的梯度流；

其中最小作用的自主路徑的運動遵循(5 ),并且特定狀態的拉格朗日量是最小作用的內部路徑的變分自由能(15)

備注:變分自由能的函數形式許可內部動力學的代表性解釋:最小作用的內部路徑扮演關于外部動力學的貝葉斯信念的充分統計或參數的角色。在這個觀點上，變化自由能上的梯度流對應于最小化關于外部狀態的貝葉斯信念的復雜性，同時提供對粒子的感覺(和自主)狀態的動力學的精確預測。最小化復雜性意味著最小動作的內部路徑編碼了關于外部路徑的貝葉斯信念，該信念盡可能接近先前的信念。最小作用路徑可以用經典力學(見下文)解釋為粒子的行為，其中隨機波動可以忽略不計。相反，它們可以被認為是同一動態的多次實現的平均響應，是各種領域中與事件相關的平均所要求的那種響應；如(利卡塔和基亞蒂，2019；Singh 等人，2002 年)。在這種情況下，我們可以認為最少動作的路徑表達了系統的平均(例如，總體)行為。

變分自由能引理說最小作用的內部路徑使變分自由能泛函最小。那么，變分自由能的最小化是對內部動力學的一種解釋或者描述嗎？這個問題本身就很能說明問題。這是一個關于內部動力學的問題。然而，內部動態是不可知的(不可測量的)。只有毯態是可觀測的(可測量的)。這意味著人們只能說，在某些條件下，內部動力學似乎在推斷外部路徑:存在一個變化的密度。

A typology of particular kinds

我們現在開始解開特殊類型的分類。首先，我們區分活性粒子和惰性粒子，它們有和沒有活性態。然后我們將區分保守粒子和耗散粒子，對于它們，隨機漲落可以忽略，也不能忽略。在最后幾節中，我們將區分普通粒子和奇異粒子，它們的活動狀態會或不會直接影響內部狀態。參見圖 2。

圖 2 –特定種類。該示意圖說明了正文中考慮的特定類型的明確特征。上圖分別顯示惰性和活性粒子，無活性狀態和有活性狀態。當活性粒子的特定狀態遵循最小作用路徑時，我們就有保守粒子。當保守粒子的活動狀態對內部狀態隱藏（即不直接影響）時，我們就有了奇怪的粒子。奇怪的粒子似乎會通過其行為來推斷自己的行為，就好像它們的內部動力學編碼了感覺的隱藏原因的變分密度（即貝葉斯信念）；即外部路徑和活動路徑。

只有當內部動態影響毯流時，內部狀態的推理過程才能向外部世界顯現，而從構造上來說，毯流需要主動狀態（注意內部狀態不能影響感覺狀態）。這涉及兩種具有和不具有活性狀態的粒子：分別是活性粒子和惰性粒子。

在應用自由能原理時，這個定義排除了任何形式的泛心論，因為任何本體或思維主張只能涉及活性粒子或活性物質（Ramaswamy，2010）。簡而言之，我們永遠無法直接觀察內部動態，因為它們隱藏在馬爾可夫毯子后面。最小作用的內部路徑是否參數化關于外部路徑的信念并因此最小化變分自由能只能通過活動狀態體現；也就是說，在活性粒子中。由于這些在惰性粒子中不存在，因此無法觀察給定的惰性粒子是否最小化變分自由能（例如，黑洞的內部）。在討論活性粒子的行為之前，我們通過推理的角度來考慮惰性粒子。

Inert particles and Bayesian filtering惰性粒子和貝葉斯過濾

盡管內部動力學隱藏在馬爾可夫毯子后面，但我們可以通過積分以下廣義運動方程，將（14）插入（10）來模擬或模仿惰性粒子（最可能的行為） ：

在這里，內部動力學表示為變分自由能的廣義梯度流，而外部和感覺路徑則用運動方程和隨機波動的統計數據指定。在統計學中，這些構成了狀態空間模型。變分自由能的函數形式可以在拉普拉斯近似下解包（Friston 等人，2007 年；Ramstead 等人，2022 年）。例如，if 是從內部路徑到外部路徑的映射最最少的行動，我們有"11"< 注釋：11 為清楚起見，省略常數項> 這種函數形式使（18）中的內部動力學等效于廣義貝葉斯濾波器（Friston et al., 2010b）；即擴展卡爾曼?布西濾波器的推廣（Loeliger，2002；Schiff 和 Sauer，2008）到高階運動。在這種情況下，內部狀態參數化外部狀態的高斯后驗 又名變分拉普拉斯（Friston et al., 2007）。

Conservative particles and expected free energy守恒粒子和預期自由能

“ It is implied that, in some sense, a rudimentary consciousness is present even at the level of particle physics ” (Bohm, 2008).

現在我們轉向微觀粒子和宏觀粒子之間的區別，其中（Loeliger，2002；Schiff 和 Sauer，2008）到高階運動。在這種情況下，內部狀態參數化外部狀態的高斯后驗 又名變分拉普拉斯（Friston et al., 2007）。宏觀粒子具有經典力學，其中隨機波動（幾乎）被平均掉16，并且特定狀態的軌跡（幾乎）是最小作用路徑。這引入了下一個關鍵區別；即耗散粒子和保守粒子之間其特定動態分別受到和不受到隨機波動的影響。

保守（或經典）粒子特別有趣，因為它們根據隨機的事實對外部影響做出確定性和系統性的響應它們動力學的波動（幾乎）消失了。可以說所有宏觀的粒子是保守的，只是因為它們的隨機波動被平均掉了（弗里斯頓，2019年）。這意味著他們的動態是建立在混亂的巡回保險之上的通過非線性耦合、詳細平衡的破壞和相關的不平衡（Friston et艾爾。, 2021;拉索塔和麥基，1994）。

消除特定路徑的不確定性具有重要的后果。因為有自主路徑沒有不確定性，給定感官路徑，沒有進一步的信息關于自治路徑提供的外部路徑，使它們有條件地獨立。這可以使用綁定參數以預期拉格朗日量來表達。來自（9）：

換句話說，雖然主動狀態會影響外部狀態，但這種影響是決定性的。完全通過感覺路徑，它提供了一個馬爾可夫毯子將外部和外部分開自治國家。請參見圖 3 的示意圖。

至關重要的是，這種條件獨立性意味著保守粒子滿足（16），即允許將活躍狀態包含在 (18) 中：
這些運動方程允許人們將保守粒子的行為模擬為變分自由能自主狀態的（廣義）梯度流。由此產生的動力學可以被解讀為廣義的穩態（參見恒溫器或噪聲消除方案的行為），或者在控制理論中，控制作為推論（Baltieri 和 Buckley，2019；Kappen，2005；Todorov，2008）。簡而言之，活躍狀態看起來就像是在試圖最小化（19）中的感官預測誤差。更一般地，保守粒子的活動路徑看起來好像它們試圖最大化變分自由能的準確性部分，從而實現由內部動力學編碼的預測（因為復雜性部分不依賴于活動路徑）。這種解釋提供了主動感知或推理的基本但富有表現力的表述（Friston 等人，2010a）。

我們能對隨后的自主行為說更明確的話嗎？我們將看到保守粒子的自主動力學獲得了一個有目的的方面 這個目的可以通過以下引理通過信息和偏好尋求行為來闡明（Barp 等人，2022 年；Friston 等人，2022 年）：

引理（預期自由能）：保守粒子自主路徑的拉格朗日可以表示為需要最優貝葉斯設計和決策的自由能函數：

變分（14）和預期自由能（22）的函數形式表明預期（負面的）準確性變成了模糊性，而預期的復雜性變成了風險。同樣的，預期（負）偏差成為預期信息增益。如果我們閱讀拉格朗日作為感官結果的成本函數，最有可能的自主路徑保守粒子看起來好像在最大化預期的信息增益，而最小化預期成本。這些預期支持了最優貝葉斯的原則設計和決策理論。

證明:當特定狀態運動的隨機波動消失時,不存在父母對他們人生道路的不確定性。這意味著沒有不確定性給定外部路徑的特定路徑；給定感官,自主路徑沒有不確定性給定外部和自主路徑,路徑和感覺路徑沒有不確定性。表達根據連續熵和微分熵,這意味著從（9）:

這些約束使我們能夠將自主路徑的拉格朗日量表示為預期的自由能。從（23）我們有：

這些等式基于以下事實：預期信息增益的 KL 散度相同；即，在給定自主路徑的情況下，外部路徑和感知路徑之間的互信息[p。 273（Batina 等人，2011 年）]。

備注：各項對期望自由能的貢獻之間的關系可以從它們的期望方面清楚地看出；即熵。來自（22）：

在保守粒子的情況下，給定自主路徑，感知路徑的條件不確定性是感知路徑提供的關于外部路徑的信息增益：

圖 3 為那些發現用信息圖表更容易思考的人們展示了這些分解。

圖3：耗散粒子和保守粒子。這些信息圖描述了外部、感知和自主路徑的熵，其中交叉點對應于共享或相互信息。條件熵對應于其所依賴的變量外部的區域。左圖顯示了一般（耗散）情況，其中路徑的不確定性源自隨機波動。當特定狀態運動的隨機波動消失時，我們就有了保守粒子，在給定感覺路徑的情況下，自主路徑（幾乎）沒有不確定性，在給定外部路徑的情況下，特定路徑沒有不確定性（正確的信息圖）。這說明了表達自主路徑熵（上方程）或給定自主路徑的感覺路徑熵（下方程）的各種方式就條件熵而言。請參閱正文以獲得更完整的描述。

綜上所述，自治路徑的拉格朗日可以表示為散度；即，有和沒有自主路徑的感覺（或外部）路徑上的密度之間的差異。這可以看作是工程中用于優化模型預測控制中控制變量軌跡的目標函數（Schwenzer et al., 2021）。知覺控制理論提供了等效的神經生物學觀點，其中感覺狀態通過行動的后果保持在首選值附近（Mansell，2011）。根據這種觀點，風險是給定自主路徑的感覺路徑與感覺路徑上的邊際密度之間的分歧。這種邊際密度編碼了偏好，因為它們構成了生成模型的先驗，而不是行動的感官后果（Parr 和 Friston，2019）。直觀上，這些路徑可以被解讀為粒子期望遇到的“結果”、“事件”或“敘述”。

預期的免費能源補充風險含糊不清；即，給定自主路徑時預期的不準確性或負面感覺可能性。顯然，作為對保守粒子的描述是多余的，根據定義，保守粒子具有最小的歧義（因為不存在隨機的感覺波動）。然而，在FEP的應用中，模糊性保留術語以確保粒子或代理尋找明確的狀態空間制度；從而證明了保守粒子的行為。

在離散狀態空間公式中，模糊度通常表示為期望條件感官狀態的不確定性（即熵），通過假設條件給出外部狀態感覺狀態和外部狀態之間的獨立性。在這種假設下，我們從（20）得到:

這就是為什么預期的不準確被稱為模糊性。簡而言之，預期自由能引理表明，保守粒子可以被描述為最大限度地減少發生與先驗偏好不同的外部軌跡的風險，同時避免模棱兩可的事態。

(22) 中的最后一項提供了預期自由能的貝葉斯解釋。這是在給定自主路徑、有或沒有感覺路徑的情況下，關于外部路徑的后驗信念之間的預期分歧。換句話說，它對不確定性的解決進行評分，或者感官結果提供的預期信息增益12 <注釋:12預期的信息增益可以用多種方式表示。（23）中的表達式可能是最直觀的，顯示了一旦我們采取感官的外部路徑的條件密度變化的程度考慮路徑（即，在給定感官路徑的情況下，我們在多大程度上更新了對外部路徑的信念）。它也可以是表示為一個相互信息，它對感覺和感覺之間的條件依賴程度進行評分外部路徑，或兩個熵之間的差異:。

這一公式為決定信念更新程度的因素提供了一種直覺。如果熵的感覺路徑（給定自主路徑）非常大，這意味著高度的不確定性，如果解決了這種不確定性，導致我們對外部道路的信念發生重大變化。這種不確定性可解決的程度取決于給定外部和自主路徑的感覺路徑的條件熵。換句話說，如果在外部和感覺路徑之間有一個精確的關系，我們對感覺路徑是不確定的必須是對外部路徑的不確定性，這種不確定性可以通過觀察感覺路徑來解決。

對于保守粒子，預期的信息增益降低到給定自主的感覺路徑的熵路徑。因此，保守粒子假設似乎使預期的信息增益變得微不足道。然而，值得注意的是，表達非保守粒子的動力學是可能的（即，具有感覺波動）作為保守粒子，簡單地通過將感覺波動視為（快速）外部的各州。在這種情況下，預期的信息增益和感覺路徑的熵之間的相等，給定自主路徑，一般成立。>

這是最優貝葉斯設計和主動學習中的目標函數（Lindley，1956；Mackay，1992）。從這個意義上說，它有時被稱為內在價值或認知可供性（Friston et al., 2017c）。這剩余項是預期的拉格朗日量，它對粒子出現的概率進行評分樣本偏好的感官軌跡。在貝葉斯決策理論的背景下，這最小化了預期成本（Berger，2011）。從這個意義上說，它有時被稱為外在價值或實用可供性（Friston 等人，2017a；Schwartenbeck 等人，2015）。請注意，預計

自由能解決了探索?利用困境（Cohen et al., 2007），因為存在一種獨特的過程或路徑（至少）行動，其中包含探索、信息尋求和利用、偏好尋求的必要條件。請參見圖 4 的示意圖，該示意圖通過預期自由能將這些行為規范說明聯系起來并置于上下文中。對此這個公式提供了關于決定信念更新程度的因素的直覺。如果感覺路徑（給定自主路徑）的熵非常大，則意味著高度的不確定性，如果解決的話，會導致我們對外部路徑的信念發生重大變化。這種不確定性的可解決程度取決于給定外部和自主路徑的感覺路徑的條件熵。換句話說，如果外部路徑和感覺路徑之間存在精確的關系，并且我們對感覺路徑不確定，那么外部路徑一定存在不確定性，而這種不確定性可以通過觀察感覺路徑來解決。

總之，保守粒子看起來好像有目的的行為；從某種意義上說他們積極尋找偏好的感覺，同時試圖解決原因的不確定性那些感覺。至關重要的是，感覺中樞（即外部和感覺通路）不會表現出這種行為。這是因為在一個耗散世界中，保守粒子會破碎內部和外部動態之間的統計對稱性。

不同種類事物之間的下一個區別在于內在的循環因果關系在支持“事物性”的耦合中。如下所述，這種因果結構取決于在主動路徑（即行動）上，這取決于編碼感官的內部信念行動的后果。這種隱式遞歸——參見奇怪的循環（霍夫施塔特，2007年）——迫使我們考慮行動的內部表示，它不同于實現這些信念。在最后一節中，我們考慮適用于以下情況的最小操作原則某些粒子表現出更強的感知行為；即規劃 .

causes of data. This is the maximum entropy principle, proposed as a method of inference by Jaynes (Jaynes, 1957; Lasota and Mackey, 1994). When conditioned on action, this corresponds to a form of empowerment (Klyubin et al., 2005); namely, keeping options open.

Strange particles and generalised free energy

奇異粒子和廣義自由能

“我所說的“奇怪的循環”是指循環??從一個抽象層次（或結構）到另一個抽象層次，這感覺就像層次結構中的向上運動，但不知何故，連續的“向上”轉變結果給出了上升至閉環。也就是說，盡管一個人感覺自己離自己的起源越來越遠，但令人震驚的是，他最終還是回到了自己最初的起點。” （霍夫施塔特，2007 年）第 101 頁

到目前為止，我們已經考慮了保守（即經典）粒子的動力學可能如何閱讀貝葉斯推理的基本形式（即貝葉斯力學）。我們現在轉向允許粒子中有粒子的粒子。換句話說，粒子的內部狀態具有特定的分區（Palacios等人，2020年），為粒子配備分層或深度生成模型。這意味著存在一些不受活動影響的內部狀態各州。

我們將考慮這種稀疏耦合的最簡單實例, 其中保守粒子的活動狀態對內部狀態隱藏。換句話說, 內部狀態僅受感覺狀態的影響。在這種粒子中, 活性狀態對內部狀態的影響必須通過外部(或感覺) 狀態間接介導。圖 2 說明了隨后的因果架構, 其中生成模型和隱式變分密度獲得層次深度。

如果內部路徑僅直接受到感覺路徑的影響, 感覺路徑提供了一個馬爾可夫毯子, 使內部狀態有條件地獨立于外部和活動狀態, 這可以用預期拉格朗日 量表示如下, 如公式(20)

這意味著最少操作的內部路徑現在變為：

因為奇異粒子的內部路徑只取決于感覺路徑，我們可以推測出（確定性的和內射的）映射從每個感覺路徑到相應的內部最小動作路徑—以及外部和活動路徑上的條件密度。這意味著變化的密度可以被規定地定義為對外部和主動的貝葉斯信念狀態。?

正如在變分自由能引理中一樣，我們現在構造一個廣義自由能，其最小值與最小作用的內部路徑一致：

引理（廣義自由能）：奇怪粒子的內部路徑最小化自由能貝葉斯信念關于感覺路徑隱藏原因的功能；即外部和活躍路徑，

廣義自由能表達了感覺和內部動力學的生成模型就其原因而言，其中包括主動路徑。選擇最小化的內部路徑廣義自由能最大化了感官為生成模型提供的證據路徑。這被認為是不證自明的（Hohwy，2016）。啟發式地，一個奇怪的粒子看起來好像正在為其生成模型收集證據，其中它的生成模型模型需要先驗信念，即它的行為就像保守粒子（因為它確實是）。

證明：根據(31)中的定義，拉格朗日能和廣義自由能相同最小作用內部路徑的最小值，其中梯度消失：

這意味著我們可以用廣義自由能代替（30）中的拉格朗日梯度梯度給出 (32）備注：對于奇異粒子，作為實現變量的活動路徑之間存在區別以及（32）中的活動路徑作為推斷的隨機變量。這意味著行動主體的信念與基于預期自由能的行動信念不同。當生成模型補充這些先驗時，隨后的函數對應于感官結果的拉格朗日或驚奇（上限）。簡而言之，感覺驚喜是關于隱藏事物的貝葉斯信念（即變分密度）的函數感覺的原因；即外部動力和主動動力。內部動態最大限度地減少這種情況令人驚訝的是，雖然活躍的路徑（看起來好像）他們意識到了推斷行動的感官后果。實際上，特工根據先前對她行為方式的信念來創造她的感覺。

請注意，只有內部路徑使廣義自由能最小。從活動路徑的角度來看，什么都沒有改變，活動路徑可以轉換為變分自由的梯度流能量。然而，從觀察者的角度來看，行為似乎滿足了預期自由能提供的認知和語用規則。根據統計從這個角度來看，這相當于從控制作為推理（Tschantz等人，2022年）到作為推理的規劃（阿提亞斯，2003；博特維尼克和圖桑，2012年；Mirza等人，2016年）。從從生物學角度來看，這相當于從體內平衡（Cannon，1929）到異體移植（阿什比，1947；Corcoran等人，2020年；拉姆齊和伍茲，2014；塞斯和弗里斯頓，2016;斯特林和耶爾，1988年）。顯然，這些區別取決于進行路徑積分的時間。

我們故意對時間尺度（或廣義運動的順序）含糊其辭期望自由能適用于此。這種模糊性（瑪奇納，1976年）允許一系列的保守粒子的時間范圍:有些可能有一個短視的生成模型隱含地考慮短時間內的路徑積分，以響應外部波動以一種很大程度上反射性的、自我平衡的方式（例如趨化性）。其他人可能會有很深的時間眼界開闊，表現出更具適應性的異態行為（如好奇心）。這些行為是通常與以時間尺度分離為特征的深度生成模型相關聯:對于有關計算機模擬示例，請參見（Friston等人，2017d喬治和霍金斯，2009年）。

Simulating sentience模擬感知

我們故意對時間尺度（或廣義運動的順序）含糊其辭期望自由能適用于此。這種模糊性（瑪奇納，1976年）允許一系列的保守粒子的時間范圍:有些可能有一個短視的生成模型隱含地考慮短時間內的路徑積分，以響應外部波動以一種很大程度上反射性的、自我平衡的方式（例如趨化性）。其他人可能會有很深的時間眼界開闊，表現出更具適應性的異態行為（如好奇心）。這些行為是通常與以時間尺度分離為特征的深度生成模型相關聯:對于有關計算機模擬示例，請參見（Friston等人，2017d喬治和霍金斯，2009年）。

圖 5 提供了一個示例，其中預期自由能 被指定直接用拉格朗日在自主路徑上，根據一些運動方程，c.f.，中央模式發生器。當指定這樣的生成模型時，拉格朗日自主路徑通常被指定為優先于干預的外生原因外部動力。直觀上——模型不知道——行動滿足了預測一些關于外部動力外生原因的先前信念。換句話說，即使粒子引起了它的感覺，它只是“認為”它有正確的先驗信念關于外生動力。

正如這些模擬中常見的那樣，外生動力學規定了系統中的流動行為奇異吸引子的形式。方程（34）已被用來模擬多種感知行為，范圍從形態發生（Friston et al., 2015）到動作觀察（Friston 等人，2011）到鳥鳴（Isomura 等人，2019）。

圖 5 – 有感知的行為和行動觀察。該圖說明了主動推理（這里是寫作）的模擬，根據關于世界隱藏狀態的條件期望，隨后的預測感覺輸入和隨后的行動。支撐這種行為的動力取決于先前的期望遵循 Lotka-Volterra 動力學的外生原因：這些是左上插圖中的六條（任意）彩色線。在這個生成模型中，每個狀態都與歐幾里得空間中吸引代理手指的位置相關聯。實際上，（廣義的）內部狀態提供了對（廣義的）感官的預測。各州應登記代理人的信念是否屬實。活動狀態通過實現感測角速度的預期變化、通過對代理的關節（未顯示）。手臂隨后的運動在左下面板中描繪出來。這條軌跡是在移動的參考系中繪制的，因此它看起來像手寫體（例如，連續的“j”和“a”字母）。左下面板顯示“動作”和“動作觀察”下第四個隱藏狀態的活動。在行動期間，感覺狀態記錄運動的視覺和本體感覺結果，而在行動觀察下，只有視覺感覺可用——就好像一個智能體正在觀看另一個智能體一樣。紅點對應于該狀態超過任意閾值的時間。這里需要注意的關鍵一點是，當且僅當電機軌跡產生向下沖程時，這種內部狀態才會優先響應，但是不再是向上的行程——顯示出神經元反應的一個基本特征，即方向選擇性。此外，在動作和動作觀察期間，這種內部狀態會稍微延遲地做出響應。從神經生物學的角度來看，這很有趣，因為它涉及一種稱為鏡像神經元活動的經驗現象（Gallese 和 Goldman，1998；Kilner 等人，2007；Rizzolatti 和 Craighero，2004）。請參見（Friston 等人，2011）了解更多詳細信息。

圖 5 中的手寫示例說明了一種簡單的主動推理，在拉格朗日關于自主（即外生）原因的術語。模擬好奇像我們這樣的奇怪粒子的行為，人們可以明確地評估預期的自由能， 實際上，這使得能夠用拉格朗日量來規范自主動力學（即，運動方程）產生信息和偏好尋求。實際上，了解預期自由能的函數形式可以讓人們模擬或重現根據首選結果指定的有感知的行為。所需的自由能泛函是：

上面的預期自由能是對隱藏原因的預測密度下的預期和感官后果，基于對外部狀態的信念，由變分提供密度。直觀地說，基于對當前事態的信念，預期的自由能源提供了最有可能的“行進方向”或通向未來的路徑。本次施工根據預期結果指定最可能的行為，其中預期自由能量給行為帶來信念依賴或認知方面的影響；即好奇心（弗里斯頓等人，2017b；施米德胡貝爾，2006；斯蒂爾和 Precup，2012）。

這為預期的自由能提供了補充意義；從某種意義上說，它是未來（和過去）的預期。這種隱含的預測（和后預測）意味著通往未來（和過去）的感官路徑是隨機變量。簡而言之，奇怪的粒子或介質（看起來好像是它們）認為它們是保守粒子，并采取相應的行動。圖 6 中的示例抑制先驗偏好，以揭示純粹的信息尋求或認知行為（在視覺搜索和場景構建的環境中一系列視覺觸診）。此示例指定了到固定點的一系列活動軌跡，指定為外生原因。這些視覺固定點最大限度地減少了預期的自由能；即最大化預期信息增益。

總而言之，奇怪的粒子看起來好像有代理作用，從某種意義上說，它們的行為實現了貝葉斯信念的預測。這導致了對隨后的行為，其中活動狀態對動作的內部表示隱藏。

直觀地說，這意味著關于世界應該如何發展的信念是由活躍國家反射性地實現的。從某人觀察代理（例如魚）的角度來看，魚看起來好像在尋找食物顆粒。然而，從魚的角度來看，它相信自己在水中以一種偶然和仁慈的方式被推動，將食物顆粒送到它的嘴里。換句話說，魚并不知道自己是其行動的代理人，它只是相信這就是世界的運作方式——通過行動實現的信念：參見觀念運動和知覺控制理論（Mansell，2011；Pfister 等人） .，2014 年；賽斯，2015 年；維澤，2017 年）。

這涉及更特殊的類型，具有更深入的生成模型，（看起來好像它們）認識到行動是由代理機構承保的。或者說，他們確實是自己行為的作者。這些類型的代理可以通過狀態相關的隨機波動的生成模型來區分，該模型引入了進一步的層次深度；即，以不確定性或精確性的信念形式存在的信念“13”(注釋：即（19）中的逆協方差）（Clark，2013a；Limanowski，2017；Limanowski和布蘭肯堡，2013 年；賽斯，2013）

圖6–認知覓食。該圖顯示了一個模擬的結果，其中一張臉被呈現給一個代理人，代理人的反應通過選擇使跟隨眼睛的預期自由能最小化的動作來模擬運動。代理人對她可能采樣的刺激有三種內部信念或假設（正面臉、反面臉和旋轉臉）。代理人面無表情，帶著她對未來的期望在16個（12毫秒）時間區間內進行評估，直到發出下一次迅速掃視。這重復了八次迅速掃視。隨后的注視點在上排顯示為紅點。相應的眼球運動順序顯示在左上角的插圖中，其中紅色圓圈大致對應于視覺圖像采樣的比例。這些迅速掃視是由基于顯著性的關于下一注視點的預測信念驅動的地圖在第二行。這些顯著性圖是（負的）預期自由能與作用的函數關系；也就是說，下一步去哪里找。請注意，隨著對隱藏原因的后驗信念變得更加自信，這些地圖會隨著連續的迅速掃視而變化。還要注意，在前一次掃視中被注視的位置的顯著性被耗盡，因為這些位置不再具有認知啟示性（即，減少不確定性或預期信息增益的能力）。從經驗上來說，這就是所謂的回歸抑制。動眼反應如所示第三行是對應于垂直和水平眼球運動的兩種隱藏的眼球運動狀態。第四行示出了采樣圖像的相關部分（在每次迅速掃視結束時）。最后兩行顯示了伴隨的后驗信念，即后驗期望和90%貝葉斯可信間隔。這說明了在對數據進行采樣以消除假設之間的歧義時主動推理的性質最能解釋感官證據的感知。詳情請見（Friston等人，2012年）。

Epilogue: on the nature of strangeness

“Now, here, you see, it takes all the running you can do, to keep in the same place”, the Red Queen to Alice in Lewis Carroll's Through the Looking-Glass

顯然，我們已經獲得了一些詩意的許可，將奇怪粒子的動力學與奇怪的循環聯系起來（Hofstadter，2007）。然而，對于保守動力學存在一種互補的觀點，它通過奇怪的吸引子將我們帶回到奇怪的循環。紅皇后動力（Ao，2005；Zhang et al.，2012）很好地說明了這一點，它可以理解為必須向前移動才能停留在同一個地方：換句話說，“令人震驚的是，一個人結束了，完全 一個人開始的地方”。紅皇后動力學是保守的、無散度的或螺線管流的眾多表述之一，它支持非平衡穩態以及生命系統特征的詳細平衡的隱含破壞（Ao，2008；Haken，1983；Nicolis 和 Prigogine，1977） 。

為了了解為什么這種動力學是保守粒子的特征，我們轉向由亥姆霍茲分解提供的流動的補充分解（Ao，2004；Barp 等人，2021；Da Costa 等人，2021a；Eyink 等人） ., 1996; Graham, 1977a; Ma 等人, 2015; Pavliotis, 2014; Shi 等人, 2012)。這將狀態流分解為保守的螺線管分量和取決于隨機波動幅度的耗散梯度流

這里， 中密度動力學的（非平衡穩態）解下的自信息或意外。感覺運動環路（ 注釋：通過感覺運動環路，我們的意思是感覺狀態影響內部狀態，進而影響活動狀態，反之則不然。 ） ——隱含在我們的粒子的定義——確保螺線管流的存在，這打破了時間反轉對稱性（Jiang et al., 2004）。

當隨機波動較小時，螺線管貢獻占主導地位，導致混沌巡回、湍流或螺線管混合（Friston 等人，2021；Namikawa，2005；Parret 等人，2020；Pavlos 等人，2012；Takens，1980；Tsuda 和藤井，2004）。螺線管流動是保守的，因為它通過在拉格朗日水平集上循環來排除耗散動力學。在確定性極限下，我們有一組吸引人的狀態，路徑被限制在其中。換句話說，軌跡總是會將系統性國家帶回先前占領國家的附近；也就是說，結束于“一個人開始的地方”。

有趣的是，上面提到的大多數仿生模擬都是基于拉格朗日（即生成模型），其運動方程有一個奇怪的吸引子——一個具有分數維的吸引集 （Ma et al., 2014）；例如，（弗里斯頓和弗里斯，2015）。這些吸引子具有通過龐加萊截面的循環循環（Bramburger 和 Kutz，2020），這可能是某種奇怪的循環。

Discussion 討論

“Was it utterly absurd to seek behind the ordering structures of this world a ‘consciousness’ whose ‘intentions’ were these very structures?” (Heisenberg, 1971)

自由能原理涉及許多問題。我們借此機會簡要考慮四個。

第一個是與控制論中自組織的早期表述的聯系；即阿什比的必要多樣性定律（Ashby，1979）支撐了良好調節定理（Conant 和 Ashby，1970），后來被闡明為控制理論的內部模型原理（Francis 和 Wonham，1976）。必要多樣性法則涉及主體內部模型的自由度。簡而言之，有機體（即活性粒子）必須具有至少等于環境波動數量（即外部狀態）的狀態庫。正如人們經常引用的那樣：“只有多樣性才能吸收[破壞]多樣性”。在目前的情況下，這指的是廣義內部狀態的數量，與重要的廣義外部狀態的數量相關。物質的外部狀態是慢速（動態不穩定）狀態，可以與快速（動態穩定）波動區分開來（Carr，1981；Frank，2004；Haken，1983；小出，2017）。必要多樣性法則是在上述形式主義下出現的，其要求是廣義內部狀態的數量必須大于廣義外部狀態的數量（這一點很重要）。這是因為內部狀態在廣義外部狀態上發揮了變分密度的充分統計的作用，其中一個或多個每個外部狀態的統計數據。必要多樣性法則的這個例子說明了自由能原理描述的有感知行為的模糊本質。

在這里，感知被理解為基于推理的行為屬性。即，隨著內部狀態的演變，統計流形上的運動。該（統計）流形上的運動對應于信念更新，從而對應于具有明確定義的信息幾何的基本感知或意義構建（Caticha，2015；Ikeda 等，2004；Kim，2018）。話雖如此，有感覺的行為可能是如此基本以至于微不足道。例如，一個從具有更具表現力的恒溫器及其外部狀態模型的粒子（例如你和我）的角度來看，具有一個自由度來作用并代表其外部環境的恒溫器只能表現出一種微弱的感知行為。

這涉及到我們的第二個問題；也就是說，關于自由能原理的任何哲學主張，與有感知的行為有關：簡而言之，自由能原理是一種描述某些種類的粒子行為的方法，這些粒子可能具有強或弱的感知能力，具體取決于其方式其中一個粒子（例如，你或我）可以理解另一個粒子（例如，恒溫器）。

當一個粒子的外部世界是由其他粒子構成時，我們就進入了集體行為和粒子相互作用的領域。從活性物質的角度來看，FEP 提供的關鍵視角是馬爾可夫毯，它將粒子的內部自由度與其他粒子分開。它意味著主體隱含地對其他主體有信念——也就是說，生成模型需要他人的感覺，也許還有自我的感覺。主體之間的互動是通過毯子在主動推理過程中發生的——不僅僅是機械力——在交互中引入了感知的方面。各種特定種類之間的區別可能特別容易解釋不同種類的活性物質（從最有知覺的到最有知覺的），正如在整個生命科學中不同程度地遇到的那樣。分析越來越多的集成的程度將會很有趣。與各種研究的集體現象（例如模式形成、聚集和相變）相關，有感知的粒子具有代理之間更豐富的相互作用（例如通信）。在機器學習中，相互作用的粒子通常用于比單個粒子更快地實現目標（Borovykh 等人，2021），引入更多有感知（即超越惰性）的粒子也可能導致更豐富的相互作用和更“智能”行為：從生物智能到分布式認知（Levin，2019）。?

第三，從統計的角度來看 ，自由能原理和完全類定理的應用之間存在有趣的相似之處（Brown，1981；Wald，1947）。完整的類定理斷言，對于任何一對行為和偏好，都有一些先驗使行為貝葉斯最優。在自由能原理的背景下，這轉化為存在一些內部動力學的斷言，這些內部動力學編碼了關于外部動力學的先驗信念，從而使自主動力學貝葉斯最優。這種對自主行為的描述是否是對內部動態本身的恰當描述是一個無法回答的問題。這是因為內部狀態在構造上是不可訪問的——它們對于所討論的粒子來說是私有的。這就使得人們陷入了根據感覺和活動軌跡推斷內部動態的游戲，這是對大多數生命科學的公平描述；特別是神經科學：例如（Zeki 和 Shipp，1988）。例如，許多現代神經科學試圖利用神經影像學和電生理學來透視大腦的馬爾可夫毯。或者，通過使用尸檢研究和侵入性程序，突破馬爾可夫毯子來觀察內部狀態。有趣的是，很多計算神經科學可以被定義為尋找最能解釋受試者的選擇和反應的生成模型（Parr et al., 2018）。

最后， 值得注意的是，在對自由能原理的簡要說明中，許多事情尚未得到解決。例如，我們忽略了賦予動力學函數形式的狀態；即定義拉格朗日的運動方程的參數。從流算子的參數相對于狀態緩慢變化的意義上來說，這些參數必然引入時間尺度的分離。有趣的是，這分別引入了快時間尺度和慢時間尺度上的推理和學習之間的區別。在這個分析層面上，存在許多懸而未決的問題（Fields et al., 2021b）。例如，推理如何保證學習？自創生（Maturana 和 Varela，1980）可以用緩慢時間尺度的毯子建造來理解嗎？是否存在從尺度到更保守（和奇怪）機制的自然進展（Jeffery 等人，2019）？顆粒如何粒子行為（Heins et al., 2022；Kuchling et al., 2020；Levin, 2019；Palacios et al., 2020）等等…