當(dāng)某部熱門動(dòng)漫劇集的粉絲想要以各種可能的順序觀看劇集時(shí)，他們提出了一個(gè)讓組合數(shù)學(xué)家困惑多年的問題。

經(jīng)典動(dòng)漫劇集的粉絲們希望知道：

需要多長時(shí)間才能以盡可能高的效率

按所有可能的順序觀看一部14集的動(dòng)漫。

圖源：Yuriko Nakao/Getty Images

點(diǎn)擊zzllrr小樂公眾號(hào)主頁右上角設(shè)為星標(biāo)★數(shù)學(xué)科普不迷路！

作者：Manon Bischoff 編輯：Daisy Yuhas 2025-3-3

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-3-19

數(shù)學(xué)問題的答案可以在意想不到的地方找到，包括互聯(lián)網(wǎng)的黑暗領(lǐng)域。2011年，一位匿名發(fā)帖者在如今臭名昭著、備受爭議的圖片板4chan上提出了一個(gè)關(guān)于經(jīng)典動(dòng)漫劇集《涼宮春日的憂郁》（The Melancholy of Haruhi Suzumiya）的數(shù)學(xué)難題。盡管這個(gè)公告板上充斥著仇恨、暴力和極端的內(nèi)容，但最初的帖子卻為這個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供了解決方案。

這部動(dòng)漫劇集的第一季共有14集，你可以按照自己喜歡的順序觀看。（對于像我一樣不熟悉動(dòng)漫世界的人來說：Netflix上的一部名為《萬花筒》（Kaleidoscope）的8集真人驚悚片也遵循了同樣的原則。）在2011年4chan上關(guān)于該劇集的討論中，有人問他們至少要看多少集才能以所有可能的順序觀看。

事實(shí)上，這個(gè)問題與所謂的超排列（superpermutation）有關(guān)。事實(shí)證明，這個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域存在許多難題：直到今天，數(shù)學(xué)家仍然無法完全回答4chan用戶提出的問題。

但令人驚訝的是，在那次討論中，一位匿名用戶用一種數(shù)學(xué)家以前不知道的方法估算了觀看所有劇集的最低數(shù)量。“我需要在多篇帖子中[詳細(xì)闡述]這一點(diǎn)。請仔細(xì)檢查我可能遺漏的任何漏洞，”這位用戶寫道，他分幾個(gè)步驟解釋了他們是如何得出這個(gè)估計(jì)的。其他用戶隨后也提出了這些論點(diǎn)并進(jìn)行了討論——但在4chan之外，這些都沒有引起任何轟動(dòng)。似乎沒有人注意到。

極度沉迷刷劇

在數(shù)學(xué)中，兩個(gè)對象在重新排列或重新組合時(shí)會(huì)發(fā)生置換。例如，你可以將AB置換為BA。如果一部動(dòng)漫劇集只包含兩部分，你可以先看第一集，然后看第二集（1-2），也可以先看第二集，然后看第一集（2-1）。

如果你想以多種方式觀看一部電視劇（也許是為了弄清楚哪種劇集順序最合理），你需要一個(gè)超排列。這是所有可能排列的序列。想象一下一場馬拉松式的節(jié)目，你先看第一集，然后看第二集，然后看第二集，再看第一集（1-2-2-1）。為了避免連續(xù)兩次觀看第二集，較短的超排列將是1-2-1；你只需要看三集就可以涵蓋所有可能的順序。

如果一部劇集由三集組成，那么找到最短的超排列就會(huì)變得有點(diǎn)棘手。在這種情況下，有 3!=6 個(gè)不同的序列：1-2-3、1-3-2、2-3-1、2-1-3、3-1-2、3-2-1。

幸運(yùn)的是，你不必觀看3×6=18集，但可以找到一個(gè)巧妙的捷徑，在這種情況下：1-2-3-1-2-1-3-2-1。該順序包含數(shù)字1、2和3的所有可能排列，即你只需觀看9集!

數(shù)學(xué)家還計(jì)算了由n=4和n=5集組成的劇集的最短超排列（分別為33集和153集）。然而，除此之外，他們一無所知。n>5的最短超排列尚不清楚。

事實(shí)上，這個(gè)挑戰(zhàn)與算法中最難解決的問題之一有關(guān)：旅行商問題（TSP - Traveling Salesperson Problem，也稱旅行推銷員問題）。在這個(gè)問題中，一個(gè)人想要訪問不同的城市，最后回到家鄉(xiāng)。任務(wù)是找到連接所有城市的最短路線。

最短超排列是這個(gè)問題的一個(gè)變體，其中各個(gè)排列代表不同的城市。在這種情況下，你通過確定排列的重疊來分配城市之間的不同距離。例如，城市 1-2-3 和 2-3-1 有很大的重疊：第一個(gè)排列的最后兩位數(shù)字與第二個(gè)排列的前兩位數(shù)字匹配，因此它們可以組合成 1-2-3-1。

因此，我們可以在這兩個(gè)城市之間分配一個(gè)短距離。另一方面，1-2-3 和 2-1-3 不重疊。（要查看這兩個(gè)序列，你必須查看完整的六個(gè)部分；沒有捷徑可走。）因此，這些城市之間的距離很大。

要在排列中找到最短路線，你需要連接重疊最多的排列。只有一個(gè)困難：沒有已知的算法可以快速解決旅行推銷員問題。如果我們處理的是幾個(gè)城市——或者，在動(dòng)漫劇集中，是幾集——這不是一個(gè)主要缺點(diǎn)。但一旦n變大，計(jì)算機(jī)就會(huì)無法完成任務(wù)，因?yàn)橛?jì)算時(shí)間會(huì)隨著n呈指數(shù)增長。

計(jì)算機(jī)能夠計(jì)算 n=4 和 n=5 的超排列，但無法計(jì)算超過這個(gè)數(shù)字的超排列。盡管可以計(jì)算更大數(shù)字的復(fù)雜超排列，但找到最短的超排列變得更加困難。

因此，專家必須進(jìn)行估算。例如，有一種算法可以幫助估算n個(gè)對象的最短超排列的長度：1!+2!+3!+ ? +n! 使用該算法，如果n=2，則得到長度為 1+2=3 的超排列。對于n=3，結(jié)果長度為 1+2+6=9。對于n=4，結(jié)果為33。對于n=5，結(jié)果為153，這對應(yīng)于每種情況下的最短超排列。

然而，對于較大的n，此算法不再適用：計(jì)算機(jī)已經(jīng)能夠找到比它所推導(dǎo)的更短的超排列。事實(shí)上，公式1!+2!+3!+ ? +n!大大高估了較大的n的最短超排列的長度。盡管該算法僅提供近似答案，但數(shù)學(xué)家將其作為起點(diǎn)，目的是縮小可選范圍以找到更精確的答案。

巧合與重新發(fā)現(xiàn)

2013年，現(xiàn)任新不倫瑞克省蒙特艾利森大學(xué)數(shù)學(xué)教授的納撒尼爾·約翰斯頓（Nathaniel Johnston）瀏覽了《涼宮春日的憂郁》粉絲頁面。約翰斯頓本人并不是動(dòng)漫迷。他是在谷歌搜索一些與超排列相關(guān)的搜索詞后進(jìn)入該網(wǎng)站的。在那里，他偶然發(fā)現(xiàn)了近兩年前在 4chan 上的討論，一名用戶將其復(fù)制到了粉絲網(wǎng)站上。

約翰斯頓沒有費(fèi)心去計(jì)算，只是在他的博客上引用了粉絲的帖子。http://www.njohnston.ca/2013/04/the-minimal-superpermutation-problem/ 這條評(píng)論在幾年內(nèi)也沒有被注意到。

2018年10月，數(shù)學(xué)家羅賓·休斯頓（Robin Houston）偶然看到了同事的博客文章。休斯頓剛剛得知，澳大利亞科幻小說作家格雷格·伊根（Greg Egan）發(fā)現(xiàn)了最短超排列的新最大長度，表示為：

n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)!+n-3

這本身就很奇怪。但當(dāng)休斯頓開始進(jìn)一步了解這個(gè)結(jié)果時(shí)，他意識(shí)到超排列的最小長度已被一位匿名動(dòng)漫粉絲賦予了一個(gè)新值（他當(dāng)時(shí)不知道 4chan 上的起源）。最小長度的公式為：

n!+(n-1)!+(n-2)!+n-3

同年10月23日，休斯頓在Twitter（現(xiàn)為X https://x.com/robinhouston/status/1054637891085918209）上分享了他的發(fā)現(xiàn)。“這真是一個(gè)奇怪的情況。超排列最小長度的最優(yōu)下限是由一位主要關(guān)注動(dòng)漫的維基匿名用戶證明的，https://mathsci.fandom.com/wiki/The_Haruhi_Problem ”他寫道。

休斯頓與他的同事、數(shù)學(xué)家杰伊·潘通（Jay Pantone）和文斯·瓦特（Vince Vatter）一起決定檢查 4chan 用戶的證明，并將其以數(shù)學(xué)方式記錄下來。研究人員于同月將他們的數(shù)學(xué)工作發(fā)布到整數(shù)序列在線百科全書OEIS https://oeis.org/A180632/a180632.pdf ，第一作者被列為“匿名 4chan 發(fā)帖者”。

那么這些公式告訴我們什么呢？如果你想以所有可能的組合觀看一部n集劇集，你必須至少看完n!+(n-1)!+(n-2)!+n-3 集（這是4chan用戶的貢獻(xiàn)），最多看完n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)!+n-3集，這是我們通過 Egan 的工作知道的。

對于8集的連續(xù)劇《萬花筒》，你至少要看46085集，最多要看46205集。對于14集的《涼宮春日的憂郁》，這個(gè)數(shù)字急劇增加：最少 93884313611 集，最多 93924230411 集。

回想一下，這不是一個(gè)完整的解——它只是為超排列的大小設(shè)置了一個(gè)范圍，讓你能夠以任何可能的順序高效地觀看該劇集。

幸運(yùn)的是，Egan 還提供了一個(gè)構(gòu)建相應(yīng)超排列的算法。這讓《春日》（Haruhi）粉絲們能夠找出最佳的劇集觀看順序。但考慮到每集平均長度約為24分鐘，觀看完這個(gè)超排列需要大約400萬年。

參考資料

https://www.scientificamerican.com/article/the-surprisingly-difficult-mathematical-proof-that-anime-fans-helped-solve/

http://www.njohnston.ca/2013/04/the-minimal-superpermutation-problem/

https://x.com/robinhouston/status/1054637891085918209

https://mathsci.fandom.com/wiki/The_Haruhi_Problem

https://oeis.org/A180632/a180632.pdf

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