導語

如果讓一根針在三維空間中旋轉，遍歷所有方向，其掃過區域的最小體積是多少？掛谷猜想看似形式簡單，卻已經困擾了數學家們長達半個世紀之久。如今，紐約大學的王虹與不列顛哥倫比亞大學的Joshua Zahl成功證明三維情形下的掛谷猜想，為一系列相關難題的解決帶來了曙光。

研究領域：掛谷猜想、閔可夫斯基維數、豪斯多夫維數、調和分析、顆粒性特征、傅里葉變換、高維幾何

Joseph Howlett| 作者

耿淅耀

| 譯者

Quantamagazine

如果讓一根針在三維空間中旋轉，遍歷所有方向，其掃過區域的最小體積是多少？丨DVDP for Quanta Magazine

想象一只平放在桌面上的鉛筆，嘗試旋轉它使其指向過所有方向，但盡可能減少掃過的面積。你可能會繞鉛筆的中點旋轉它，掃過的區域是一個圓。但如果能巧妙地旋轉時移動鉛筆，結果會更好。

“這只是一個直線如何相交的問題，”愛丁堡大學的數學家喬納森·希克曼 （Jonathan Hickman） [1]表示，“但其中蘊含著極其豐富的內容——和其他諸多問題有著千絲萬縷的廣泛聯系。”

五十年來，數學家們一直在尋求三維情形下這一問題的最優解：將鉛筆懸在空中，使其指向過所有方向，同時最小化劃過區域的體積。這個看似簡單的問題難倒了不少當代最杰出的數學家，始終是眾多未解難題中的佼佼者。

如今，這場長達五十年的探索似乎已接近尾聲。紐約大學柯朗研究所的王虹 （Hong Wang） [2]與不列顛哥倫比亞大學的約書亞·扎爾 （Joshua Zahl） [3]在預印本平臺Arxiv上發表論文《Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions》[4]，成功證明了3維掛谷猜想——他們界定了這種運動模式的最小體積極限。

“這個成果無需大肆宣揚，”萊斯大學數學家內茨·卡茨 （Nets Katz） [5]評價道，“這可是百年一遇的數學突破啊！”

懸念升級 ：

從二維到三維的問題演變與數學關聯

1917年，掛谷宗一 （Sōichi Kakeya） 提出了這個問題，但假設鉛筆是無限細的。他找到了一種滑動無限細鉛筆的方式，使得掃過的面積比憑直覺做圓周運動掃過的面積更小。

Mark Belan/ Quanta Magazine

掛谷宗一想知道鉛筆究竟能掃過多小的區域。兩年后，俄羅斯數學家阿布拉姆·貝西科維奇 （Abram Besicovitch） 給出了答案：通過一組復雜的窄幅轉向，理論上可以覆蓋零面積。

這大致上為這個問題畫上了句號，直到1971年——當時查爾斯·費弗曼 （Charles Fefferman） [6]正在研究一個看似與旋轉線條無關的課題：傅里葉變換 （Fourier transform） 。這種基礎數學工具能將任意數學函數重新表示為波的組合。在費弗曼的工作中，掛谷問題的變體版本不斷出現。此時鉛筆具有粗細并在三維空間中旋轉。這種情況下，掛谷問題轉化為——當你改變鉛筆的寬度時，它掃過的空間體積會如何變化？

數學家更傾向于用稍有不同但等價的方式重新表述這個問題。與其在空間中移動一支鉛筆，不如同時想象鉛筆軌跡中的每一個位置。這樣你會得到一個由虛擬的、指向四面八方的重疊管狀結構組成的結構，這種結構被稱為卡克亞集 （Kakeya set） 。你可以平移這些管狀結構，但不能旋轉它們。你的目標是構造出重疊程度最高的結構。

紐約大學柯朗研究所的王虹表示，這一證明將為數學開辟新領域。“這個問題必須解決，”她說。丨Rickinasia/Wikimedia Commons

費弗曼發現，即使重疊程度最高的卡克亞集也必須得占據一定空間。這個最小體積取決于管道的粗細。數學家們用一個名為閔可夫斯基維數 （Minkowski dimension） 的數值來量化管子粗細與集合體積的之間的關系。閔可夫斯基維數越小，通過稍稍減細管子就能更多地削減集合的體積。

3維掛谷猜想認為集合的閔可夫斯基維數必須為3。這是一種非常弱的關系——例如，若將管道粗細減半，最多只能移除極小部分體積。

然而，證明這個看似弱的約束條件卻難如登天。

掛谷宗一（Sōichi Kakeya）在1917年提出了日后以他名字命名的問題，當時他31歲。丨東京大學供圖

繩鋸木斷 ：

分步推進的證明策略與顆粒性特征突破

2022年，在現代版本掛谷猜想提出五十周年之際，王虹與扎爾取得了重大進展[7]。他們遵循卡茨 （Katz） 與陶哲軒 （Terence Tao） [8]2014年提出的研究框架，分析了一類棘手的卡克亞集。他們證明這類集合的維數均為3，這個證明適用于閔可夫斯基維數以及一個相近的叫豪斯多夫維數 （Hausdorff dimension） 的概念。排除這一惱人的特殊類別后，他們需要證明所有其他卡克亞集的維數也是3。

他們采用了分步推進的策略：首先研究某個狹窄的維數區間 （如2.5至2.6） ，證明不存在該區間內的卡克亞集。若能對所有區間重復這一過程，即可證明整個猜想。

幸運的是，王虹與扎爾無需從零開始。湯姆·沃爾夫 （Tom Wolff） 在1995年已證明：任何三維卡克亞集的豪斯多夫維數或閔可夫斯基維數都不可能低于2.5。但研究者們需要找到一種方法，證明介于2.5到 （例如） 2.500001之間的維數同樣不可能存在。通過重復這一論證過程，他們可以將維度下限逐步推升至2.500002，并以此類推。每次推進本質上都在證明——在如此微小的增量范圍內，不可能存在滿足條件的卡克亞集。

實際上，他們無需逐一繁瑣地證明這數百萬個增量區間的每一個。他們只需證明第一個增量，同時展示當前邊界能夠推導出下一個稍大的邊界。此外，他們還需要證明這一推導過程無論從哪個起始點開始都成立。通過這種方式，就足以說明邊界可以被逐步推進，最終達到3這個目標值。

與2022年使用卡茨-陶框架不同，這次他們沒有現成的路線圖。于是他們轉向了"顆粒性"這一特殊性質。

2014年，麻省理工學院的拉里·古斯 （Larry Guth） [9]證明，任何關于掛谷猜想的反例都必須具有"顆粒狀"特征。在這種顆粒狀集合中，存在許多微小的三維截面區域，其中大量管狀結構會相互重疊。每個這樣的"顆粒"厚度約為單個管子的直徑，寬度是其幾倍 （但長度遠不及原管子） ，并且有大量管子沿著其縱向貫穿其中。

王虹與扎爾意識到，完全避開復雜的管狀結構，轉而處理這些更簡單的顆粒結構。他們發現，通過這種方式更容易列舉并計算顆粒之間不同重疊方式的數學關系。

約書亞·扎爾（Joshua Zahl），不列顛哥倫比亞大學數學家，新證明的合著者。丨Paul Joseph

即使在所有顆粒都盡可能以最大程度重疊的情況下，研究人員發現，經過任意給定點的顆粒數量也不會過于龐大。從2.5維的下限出發，他們成功證明這些顆粒的重疊程度無法使維度略微突破該界限。隨后，他們從更高維度出發，通過相同的計算步驟將下限進一步提升。這種遞進過程持續進行。

"這就像在完善一臺永動機，充滿了魔幻色彩。"陶哲軒評價道，"他們的研究成果產出遠超過初始投入。"通過這種遞推機制，研究團隊最終將閔可夫斯基維數 （及豪斯多夫維數） 下限推至 3，成功證明了3維掛谷猜想。

逐夢之塔 ：

調和分析領域的里程碑與高維猜想展望

這一猜想的解決對研究傅里葉變換細節的調和分析 （harmonic analysis） 領域具有里程碑意義。

調和分析領域的三座重大猜想[10]的高塔建立在掛谷猜想之上。塔中的每一層都必須足夠穩固，其上的樓層才有機會立穩。如果掛谷猜想被證偽——如果王虹和扎爾真的找到了反例——整座理論之塔都將轟然崩塌。

如今證明成立后，數學家們有望借助掛谷猜想逐層攻克這些更宏大的猜想。“所有數學家曾經夢想解決的問題，現在都變得觸手可及，”古斯表示。

這一進程已悄然啟動。王虹近期合著的另一篇論文將下一層猜想簡化為更強版本的掛谷猜想，為連接兩層理論邁出關鍵一步。

對于這個一直困在二維空間中的數學領域來說，這也是一次維度上的飛躍。“在二維情況下，人們已經深刻理解 （與Kakeya相關的問題） 的運行機制，但我們缺乏研究更高維度的工具，”王虹解釋道，“因此我認為這項突破是必要且必須實現的。”

四維掛谷猜想仍未解決，其上還矗立著一系列四維猜想。古斯表示，雖然未來會遇到新的困難，但他認為從二維到三維的跨越最為艱難，而王虹和扎爾的證明方法很可能可以應用于這一系列猜想，甚至推廣到更高維度。

“當我還是年輕數學家時，我為掛谷問題著迷。它看似如此簡單，充滿幾何美感，其實際難度之高超乎我的預料，”古斯回憶道。多年后，他的博士生王虹同樣被這個數學謎題表面簡單實則深奧的特性所吸引。

“這些具體的幾何對象易于想象，不像其他數學理論那樣令人望而生畏，"王虹說，"我只是想弄明白它為何如此困難。”

如今，得益于王虹與扎爾的努力，這個謎題的答案已前所未有的清晰。“我真心認為，這里正在孕育和涌現的關鍵思想，足以革新整個從此開啟的領域，"希克曼 （Hickman） 說，"這是一個非常、非常激動人心的時刻。”

參考資料：

1.Jonathan Hickman:https://www.maths.ed.ac.uk/~jhickman/

2.Hong Wang：https://sites.google.com/view/hongwang/home

3.Joshua Zahl：https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/

4.論文地址：https://arxiv.org/abs/2502.17655

5.Nets Katz:https://profiles.rice.edu/faculty/nets-katz

6.Charles Fefferman:https://www.math.princeton.edu/people/charles-fefferman

7.2022進展的文章地址：a significant step forward：https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

8.Terence Tao：https://www.math.ucla.edu/~tao/

9.Larry Guth：https://math.mit.edu/directory/profile.html?pid=1461

10.調和分析三大猜想的文章地址：rests atop the Kakeya conjecture:https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

原文地址： https://www.quantamagazine.org/once-in-a-century-proof-settles-maths-kakeya-conjecture-20250314/

人工智能與數學讀書會

數十年來，人工智能的理論發展和技術實踐一直與科學探索相伴而生，尤其在以大模型為代表的人工智能技術應用集中爆發的當下，人工智能正在加速物理、化學、生物等基礎科學的革新，而這些學科也在反過來啟發人工智能技術創新。在此過程中，數學作為兼具理論屬性與工具屬性的重要基礎學科，與人工智能關系甚密，相輔相成。一方面，人工智能在解決數學領域的諸多工程問題、理論問題乃至圣杯難題上屢創記錄。另一方面，數學持續為人工智能構筑理論基石并拓展其未來空間。這兩個關鍵領域的交叉融合，正在揭開下個時代的科學之幕。

為了探索數學與人工智能深度融合的可能性，集智俱樂部聯合同濟大學特聘研究員陳小楊、清華大學交叉信息學院助理教授袁洋、南洋理工大學副教授夏克林三位老師，共同發起“人工智能與數學”讀書會，希望從 AI　for　Math，Math　for　AI 兩個方面深入探討人工智能與數學的密切聯系。讀書會已完結，現在報名可加入社群并解鎖回放視頻權限。

詳情請見：

1.

2.

3.

4.

5.

6.