導語

今天是3月14日，正是全球數學愛好者慶祝的π日！值此π日之際，我們特別分享選自《萬物皆計算》這本書中的關于Pi的這一章，帶您一起探索π的數學之美、文化意義與深層哲學思考。

同時，我們很高興地宣布，正在組織翻譯Stephen Wolfram的經典著作《一種新科學》。這本書探討了簡單規則如何產生復雜行為的深刻洞見，與文章中提到的π的隨機性與計算等價性原理有著密切聯系。歡迎各位加入我們的，一起探討計算、復雜性與宇宙的深層聯系。讓我們在這個特別的π日，共同踏上這段知識探索之旅！

斯蒂芬·沃爾弗拉姆（Stephen Wolfram）

| 作者

劉永鑫、芮蘇英、寇育新、趙麗娜

| 譯者

本周六是“本世紀的 π 日”，即 2015 年 3 月 14 日，這是因為用“月 / 日 / 年”格式顯示的日期“3/14/15”就像是π=3.1415的開頭幾個數字。而這一天的9 時26 分53 秒 589…毫秒則是“超級π 時刻”：

在 Mathematica 和 Wolfram|Alpha 的產品演進過程中，我相信我們公司比任何其他公司展示 π 的次數都要多。所以在本世紀的 π 日， 我們得做一些特別的事。

Wolfram 的 π 日活動圖標

1. 公司里的尷尬事

作為首席執行官，我的主要職責之一就是不斷提出新的想法，同時，我花費了幾十年建立了一個擅長把這些想法變為現實的公司。幾周以前，在一個討論公司活動的會議上有人提到，在美國得克薩斯州奧斯汀市的年度慶祝活動 SXSW 中，有 π 日相關的活動。然后我說 （或者至少我認為我說了） ，“我們應該用一個巨型的 π 來慶祝 π 日”。我并沒有提供更多的想法，但是幾周之后我們開了另一個有關活動安排的會議，其中的一個議題就是 π 日，負責活動議題的人談到在奧斯汀找一個這么大規模的烘焙坊非常困難。“你在說什么？” 我問，然后我意識到，“你搞錯 π 的意思了！”

我猜在日常生活中關于π 的混淆應該非常普遍。蘋果的 Siri 語音轉文字每天發送給 Wolfram|Alpha 很多錯誤的“pie”，我們不得不將其糾正為“pi”。還有樹莓派，它支持Wolfram 語言。此外，對我個人來說還有更多的尷尬，我的個人文件服務器多年以來一直用“pi”命名。在那次會議上的“pi(e)”錯誤之后，我們想到了各種各樣狂野 的點子來慶祝 π 日。我們在 SXSW 區域租了一個小公園，準備制作一場最有趣的“π 倒計時”。我們決定定做大量的“像素”小餅，然 后把它們拼成一個“pie”的形狀，中間再套一個“π”的圖形。我們還會設置一個趕時髦的“π 自拍站”，里面有一個“巨石陣”π，還有一個裝飾著“pi(e)”的 Wolfie 吉祥物，也用于自拍。當然，我們也會用樹莓派來做一些事。

2. 為每個人準備的“一塊”π

我相信在 SXSW 上會有很多關于 π 的好玩的事，同時我們也想把這種樂趣傳遞給世界上的其他人。我們一直在考慮：“人們能用 π做什么呢？”從某種意義上說，你可以用 π 做任何事。就我們目前所知，π 無限的數字序列是完全隨機的，因此任何數字組合都會在 π 的小數部分出現。

讓每個人都能與數學的這“一塊”產生自己的聯系，這個點子怎么樣？π 日是用 π 的前幾個數字作為日期的日子，然而任何日期都會出現在 π 的某處。所以，我們想：可以幫人們找到他們的生日 （或者其他重要的日子） 在 π 中出現的位置，并且用它來定制個性化的 π T 恤和海報。

用 Wolfram 語言可以很容易地找到你的生日在 π 中出現的位置。可以肯定的是，任何“月 / 日 / 年”格式的日期都會出現在 π 前一千萬位的某個位置。我在我的臺式機 （一臺蘋果 Mac Pro） 上用了6.28 （2π ？！） 秒計算出了 π 小數點后一千多萬位。

下面是用 Wolfram 語言編寫的代碼，它計算出結果并且把結果 轉換成字符串 （刪除小數點） ：

現在，很容易就可以找到任意“生日字符串”。舉個例子，我的生日字符串在 π 中第一次出現在是在第 151 653 個數字處：

怎樣展示這些結果比較好？這取決于你有多“π 幸運”。對于那些出生于 1992 年 4 月 15 日（4/15/92）的人來說，他們的生日字符 串出現在第 3 位。 （僅有部分位置的數字對應日期字符串。） 出生于1960 年 11 月 23 日（11/23/60）的人，他們的生日字符串就非常遙遠，出現在第 9 982 546 位。事實上，大部分人的生日在 π 中的位置是相當“遙遠”的 （平均位置是第 306 150 位） 。

我們的藝術總監有一個想法，那就是用一條先向里而后向外的螺旋線來展示這種長數字序列。很快，他就寫出了對應的代碼 （Wolfram 語言最偉大的特點之一就是非工程師也可以用它來寫代碼） 。

數字序列展示方法的設計

接下來就是把這個代碼部署到網站上。有了Wolfram 云 （Wolfram Cloud） ，這基本上就是一行代碼可以搞定的事！所以，現在你就可以去訪問 MyPiDay 網站了……

MyPiDay，一個查找指定日期在 π 中位置的網站

……然后你就可以得到你自己的那“一塊”π ！

查找結果。圖中顯示，1956 年 8 月 29 日（8/29/56）出現在 π 的第 25 781 位

3. π 中的科學

說了這么多 π 的事情，我忍不住要說一些有關 π 的科學。首先， 為什么 π 這么有名呢？因為它是圓的周長與直徑的比值。這意味著 π 將出現在大量的科學公式中，而且遠不止于此。 （例如，大多數人從未聽說過橢圓中 π 的類似物——第二類完全橢圓積分。）

π 還出現在大量數學情境中，包括許多似乎與圓無關的情境，比如負冪的和，或者迭代極限，或者隨機選擇的分數不是最簡分數的概率。

如果僅僅觀察這個數字序列，π 的 3.141 592 6…看起來似乎沒什么特別。但是假設我們隨機構建公式，然后對它們進行傳統的數學運算，比如對數列求和、積分、求極限等，我們會得到許多結果， 比如 0，或者 1/2，或者 √2 。其中很多情況根本沒有封閉解。但是， 如果人們能找到一個確定解的話，我的經驗是，通常情況下結果中會包含 π。

一些其他常數也會在結果中出現，例如自然對數的底 e （2.1718…）、歐拉常數（0.5772…）或者卡塔蘭常數（0.9159…）， 但是 π 出現的頻率要高得多。

或許數學本可以以不同的方式構建，但是至少在我們人類構建的數學體系中，π 是一個可廣泛使用的存在，于是很自然地，我們給它起了一個特別的名字，并且它變得非常有名——現在甚至有一個 日子是用來慶祝它的。

其他常數呢？“生日字符串”在其他常數的某個位置也會出現。就像Wolfram|Alpha 試圖找到數的閉合形式一樣，人們通常會在數字所在的位置和選用哪個常數之間進行權衡。打個比方，我的生日字符 串出現在 π 的第 151 653 位，e 的第 241 683 位， √2的第 45 515 位，ζ (3) 的第 40 979 位，還有斐波那契數列中第 1601 項的第 196 位。

4. π 的隨機性

我們來畫一幅圖，當 π 中的各位數字大于等于 5 時，曲線向上， 反之向下：

它看起來就像是隨意的漫步。實際上，所有針對數字的隨機性進行的統計學測試和密碼學測試 （除了那些只是問“這些是 π 的數字嗎？”之類的測試） 都表明，它們看起來是隨機的。

為什么會這樣？我們有相當簡單的流程用于生成 π 的數字，但是值得注意的是，即使這些流程是簡單的，它們的輸出結果依然復雜到看起來完全隨機。在過去，人們沒有用于思考這種行為的知識背景，但這正是我花費多年時間研究各種系統后，在《一種新科學》中寫下的內容。從某種意義上說，“人們可以在圓周率中找到任何生日”這一事實與我的一般計算等價性原理等概念直接相關。

5. 數字中的 SETI

當然，我們沒有找到 π 數字的規律性，但這并不意味著其規律就不存在。事實上，如果我們進行大規模搜索，我們可能會在 π 數字的很遙遠的位置發現一些奇怪的規律。

這意味著什么？卡爾·薩根的科幻小說《接觸》在書的最后回答了這個問題。在這本書中，對地外智能的搜尋獲得成功，人們與一個星際文明取得了聯系，這個文明創造了一些令人驚嘆的人工制品。書中解釋說，在 π 非常靠后的數字中，他們發現了智能的信息， 它就像一個圓的編碼圖片。

起初人們認為，在 π 的數字中尋找“智能”是荒謬的，畢竟只是一個確定的簡單的算法生成了這些數字。但是如果我的猜想是正確的，我們的整個宇宙或許恰恰也是如此，所以它的歷史的每一個細節原則上都是可以計算的，就像 π 的數字一樣。

現在我們知道，在宇宙中我們自己就是智能的一個例子。SETI 試圖尋找其他的例子，其目標非常明確，即搜索“類人智能”。但是， 正如我的計算等價性原理指出的，我認為很難明確地在“智能的” 和“純計算的”之間畫一條明確的界線。

如果百年來的數學猜想是正確的，即 π 的數字是“正規的” （normal） ，這意味著每一個可能的序列都會在這些數字中出現，包括莎士比亞的所有作品，或者任何其他文明創造的其他人工制品。但是，是否會有其他一些結構，甚至是一些更普通的結構，能證明如智能這樣復雜的問題的產生？

雖然從概念上講這可能很簡單，但想象一個類似人類的智能文明潛伏在 π 的數字中，而不是 SETI 探索的物理世界中，這讓人感到更奇怪。但是，如果我們對智能這一概念進行推廣，情況就不那么清楚了。

當然，如果我們看到來自脈沖星磁層的復雜信號，我們會說這 “只是物理”，而不是“磁流體動力學文明”進化的結果。同樣，如果我們在 π 的數字中看到一些復雜的結構，我們可能會說這“只是數學”，而非某些“數論文明”的成果。

人們可以從 π 的數字序列推廣到任何數學常數的表示，這些數學常數很容易用傳統的數學運算來指定。有時在這些表述中有一些簡單的規律，但往往存在明顯的隨機性。尋找其他數據結構的項目與物理世界中的 SETI 非常相似。 （然而，一個不同之處在于，作為一個研究對象，π 是基于我們物理世界的結構、我們的大腦和我們的數學發展被選擇出來的，而宇宙中可能沒有這樣的選擇，除了我們存在于其中這一事實之外。）

我已經做了一定的探索，尋找表示 π 等數的規律，還沒有發現什么重要的東西。任何規律都必須容易被發現，當然，也有可能需要 SETI 這樣的努力才能揭示這些規律。

眼下，讓我們一起慶祝本世紀的 π 日吧，做些有趣的事情，比如在 π 的數字中找到自己的生日！當然，像我這樣的人還是不禁想知道，到 2115 年的下一個“世紀 π 日”，無論是 SETI 還是“數字中的 SETI”，將取得怎樣的成功……

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《一種新科學》讀書會

《一種新科學》作為Stephen Wolfram的開創性著作，在人工智能蓬勃發展的今天重新煥發生機。該書探討的簡單程序生成復雜性、計算普遍性和涌現行為等核心概念，與現代AI和大語言模型的基本原理高度吻合。最近社區成員韓司陽等老師積極推動《A New Kind of Science》在國內的翻譯出版工作，所以集智俱樂部聯合社區成員韓司陽、章彥博、徐恩嶠、張江一起聯合發起，從9月1日起，每周日上午10:00-12:00開始系列的討論，歡迎大家加入讀書會，做讀書會分享或者認領翻譯任務。

本次讀書會主要是為了聚集更多對這本書和這套理論感興趣的探索者一起深度交流碰撞，并組織有能力的研究者一同將這本20年的經典巨作翻譯成中文版；同時也是想借此機會，能夠深入重讀經典《A New Kind of Science》，挖掘與當前人工智能和大模型研究有著深刻聯系，學習Wolfram的跨學科方法和對自然界模式的研究，為AI算法優化和系統設計提供了新視角。幫助更多的學術研究者和技術應用者從更廣闊的科學哲學角度審視AI技術，深化對AI本質的理解，并可能激發解決當前AI挑戰的創新思路，為探索AI的未來發展方向提供啟示。

詳情請見：

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