導(dǎo)語

本文以范疇論的視角重新審視因果模型，探討了如何將傳統(tǒng)的有向無環(huán)圖表示轉(zhuǎn)化為弦圖表示，并通過對(duì)稱幺半范疇和有限隨機(jī)范疇構(gòu)建了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)框架。這一視角不僅能統(tǒng)一處理經(jīng)典和量子因果系統(tǒng)，還為解決多尺度因果模型的一致性問題提供了形式化工具，也為跨尺度因果推理奠定理論基礎(chǔ)。

為了系統(tǒng)梳理因果涌現(xiàn)最新進(jìn)展，北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院教授、集智俱樂部創(chuàng)始人張江老師領(lǐng)銜發(fā)起，組織對(duì)本話題感興趣的朋友，深入研讀相關(guān)文獻(xiàn)，激發(fā)科研靈感。

讀書會(huì)將從2025年3月16日開始，每周日早9:00-11:00，持續(xù)時(shí)間預(yù)計(jì)10周左右。每周進(jìn)行線上會(huì)議，與主講人等社區(qū)成員當(dāng)面交流，之后可以獲得視頻回放持續(xù)學(xué)習(xí)。誠摯邀請(qǐng)領(lǐng)域內(nèi)研究者、尋求跨領(lǐng)域融合的研究者加入，共同探討。

研究領(lǐng)域：范疇論、因果模型、弦圖、多尺度、Φ抽象、因果一致性

楊明哲| 作者

建立因果模型在許多研究領(lǐng)域非常重要。本篇文章旨在以范疇論的視角來構(gòu)建因果模型[1]，從而可基于此展開各種因果的定量研究，包括多尺度因果模型。

在我們的直覺中，探討因果關(guān)系是問這樣的一個(gè)問題：一個(gè)事件的發(fā)生是否和另外一些事件的發(fā)生有著系統(tǒng)性的關(guān)系。比如，血壓的升高或降低是不是總和飲食習(xí)慣或是否吃藥這些事件有關(guān)。這種把因果建立在事件關(guān)聯(lián)上的觀點(diǎn)最早可追溯至英國經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)家大衛(wèi)·休謨。他認(rèn)為，人們認(rèn)知中的因果其實(shí)就是對(duì)總是一起出現(xiàn)的事件的習(xí)慣性聯(lián)想。在這種以事件為中心 （event-centered） 的視角下，一個(gè)因果系統(tǒng)就是有著固定模式的事件的集合。

除此以外，另外一些哲學(xué)家提出，因果可以被理解成為一種過程 （processes） 或機(jī)制 （mechanisms） 。也就是說，因果是一個(gè)接收特定輸入后產(chǎn)生一個(gè)輸出的機(jī)制[2]。比如說，控制其他條件不變的情況下，飲食習(xí)慣 （輸入） 以一種代謝過程 （機(jī)制） 產(chǎn)生了血壓的結(jié)果 （輸出） 。這種以機(jī)制為中心 （process-centered） 的視角，可以通過范疇論的語言得以規(guī)范化。這便是因果的機(jī)制理論 （Process theory of causality） 。這個(gè)理論最早由Jacobs提出[3]。

從有向無環(huán)圖到弦圖：兩種因果表示的橋梁

為了量化因果，Pearl等人提出[4]，可以用有向無環(huán)圖 （directed acyclic graph，DAG） 來表示因果模型，如下圖所示。

其中，字母表示變量，箭頭表示因果關(guān)系。而在范疇論當(dāng)中，我們用弦圖 （string diagram） 來表示因果模型。此時(shí)，機(jī)制用一個(gè)小矩形表示。比如，輸入X1,X2輸出Y1,Y2的機(jī)制如下圖所表示：

弦圖中，因果順序默認(rèn)是從下往上表示。如果有兩個(gè)機(jī)制串聯(lián)起來，那么可以如下表示：

兩個(gè)不相干的機(jī)制并行存在，可以如下表示：

通過以上介紹，我們可以給出前文展示的DAG所對(duì)應(yīng)的弦圖了。不難看出，DAG中用點(diǎn)來表示變量，而在弦圖中用線來表示。線和箭頭在DAG中表示因果關(guān)系，在弦圖中則用矩形表示。產(chǎn)生A的機(jī)制fA用三角形表示，是因?yàn)锳沒有任何輸入。所以當(dāng)fA被映射到一個(gè)有限隨機(jī)范疇 （FinStoch） 里，代表的就是A的邊緣概率分布 （后文還有解釋） 。

兩張圖還有一個(gè)不同點(diǎn)，對(duì)于叉結(jié)構(gòu)來說，弦圖里會(huì)用一個(gè)小黑點(diǎn)來表示。比如，A同時(shí)因果影響B(tài)和C。這種小黑點(diǎn)被稱為復(fù)制子 （copier） ，其實(shí)就是把某一變量克隆出來一份。

為什么要強(qiáng)調(diào)復(fù)制子？這其實(shí)在經(jīng)典因果關(guān)系中很正常：一個(gè)變量同時(shí)因果影響另外兩個(gè)變量，等價(jià)于先把該變量復(fù)制出來一份，然后這兩份相同的輸入對(duì)應(yīng)兩個(gè)因果過程，其中一個(gè)過程產(chǎn)出變量B，而另一個(gè)過程產(chǎn)出變量C。所以，一因多果的叉結(jié)構(gòu)總包含復(fù)制子這樣的操作。但對(duì)于量子過程就不一樣了。因?yàn)榱孔硬豢蓮?fù)制原理，我們沒有辦法對(duì)一個(gè)量子比特進(jìn)行復(fù)制子的操作。所以我們需要一個(gè)標(biāo)記提醒我們這里暗含著一個(gè)復(fù)制的操作。

弦圖這個(gè)工具對(duì)應(yīng)到范疇論的語言，描述的是對(duì)稱幺半范疇 （symmetric monoidal category） 。不了解范疇論的讀者可以把對(duì)稱幺半范疇想象成用積木搭建起的世界，每塊積木對(duì)應(yīng)一個(gè)機(jī)制。兩塊積木可以左右拼接起來 （機(jī)制并行存在） ，而且拼接的順序可交換。另外，積木還可以上下串聯(lián)起來，也就是機(jī)制之間的復(fù)合。而且復(fù)合和拼接的順序可交換。這個(gè)性質(zhì)的圖形和公式描述如下：

給定一個(gè)DAG，記為G，那么它所對(duì)應(yīng)的范疇可以用SynG來表示[3]。它不僅可以用來表示確定的因果關(guān)系，也可以表示包含隨機(jī)性的因果關(guān)系。下圖就是一個(gè)例子，它把前文中B←A→C更詳細(xì)地展開了：

這里的F是一個(gè)從對(duì)稱幺半范疇映射到有限隨機(jī)范疇的函子，F(xiàn):SynG→ FinStoch。有限隨機(jī)范疇其實(shí)可以簡單理解為是有限大小的概率轉(zhuǎn)移矩陣 （TPM） 。我們熟悉的TPM是行歸一化，[1]中則是把矩陣轉(zhuǎn)置了一下，是列歸一化。用我們熟悉的語言翻譯一下函子F，它其實(shí)對(duì)應(yīng)的是有向無環(huán)圖G和概率空間P的二元組(G,P)。

現(xiàn)在我從左到右來解釋每個(gè)模塊的含義：F(fA)表示A的邊緣概率分布，這里有兩個(gè)事件a1,a2，它們的概率分布滿足歸一化。然后，因?yàn)檫@是一個(gè)叉結(jié)構(gòu)，所以有復(fù)制子操作，F(xiàn)(cpA)。如果它是經(jīng)典系統(tǒng)而非量子系統(tǒng)，那么復(fù)制子所對(duì)應(yīng)的TPM每一列就一定是完全確定的分布。經(jīng)過這個(gè)機(jī)制，便有了兩份a1,a2，它們分別經(jīng)過F(fB),F(fC)。這兩個(gè)TPM便產(chǎn)出了變量B和C。這兩個(gè)過程是并行發(fā)生的，可以拼接起來。

因果模型超越普通相關(guān)關(guān)系的地方便在于它引入了干預(yù)的操作[4]。比如在DAG里，干預(yù)對(duì)應(yīng)圖上的操作是把被干預(yù)變量所有輸入的連邊都擦除掉。那在弦圖中怎么表示干預(yù)呢？如下圖所示，

這便是干預(yù)了變量Y，擦除了原本所有變量X對(duì)Y影響的機(jī)制f。空心圓圈表示拋棄變量 （discard） 。用范疇論語言來說便是，cutY:SynG→SynG。

弦圖看起來比較古怪，但其實(shí)它正好可以用來表示量子計(jì)算的過程[5]。在量子電路中，每一個(gè)量子比特對(duì)應(yīng)一條線，每一次可逆計(jì)算（Ux）和觀測（Px）都對(duì)應(yīng)一個(gè)方塊。只不過通常量子電路圖按操作順序是從左向右排列，按照弦圖則是從下往上。

馬爾可夫條件：何時(shí)因果機(jī)制可分解？

通過上面的介紹，我們已經(jīng)知道了如何用范疇論的弦圖規(guī)范地表示因果模型。截至目前，我們使用的例子都是離散的因果模型，而且它們都滿足馬爾可夫條件。考慮一個(gè)機(jī)制，有一個(gè)輸入和兩個(gè)輸出：

馬爾可夫條件是說，給定輸入X，兩個(gè)輸出彼此獨(dú)立：。也就是說，這張圖總和下面的圖是等價(jià)的：

前文處理B←A→C時(shí)，我們就是這樣表達(dá)的。可問題是，這種等價(jià)關(guān)系總成立嗎？有不符合馬爾可夫條件的因果模型嗎？在完全確定的世界中我們很難想象這樣的例子，而引入隨機(jī)性之后，我們可以構(gòu)建這樣的例子。想象一個(gè)臺(tái)球桌上還剩黑八和白球兩個(gè)球，你想要通過擊打白球來讓黑八落入袋中，同時(shí)要避免白球落入袋里。可是，這兩個(gè)球的位置使得當(dāng)黑八能被擊入袋中時(shí)，白球也一定會(huì)落入袋里。我們把你的擊打動(dòng)作看作是輸入變量，黑八和白球是否落袋是兩個(gè)輸出變量。如果單看擊打到黑八的結(jié)果，它是否落袋的概率為50%，完全隨機(jī)。單看白球的結(jié)果也是如此。但如果把兩個(gè)輸出變量放一起來看，本來有4種結(jié)果，但一球落袋另一球不落袋的情況的概率是0，兩球都落袋或都不落袋的概率分別是50%。這時(shí)，你沒辦法把一個(gè)機(jī)制分成兩個(gè)獨(dú)立的機(jī)制來看。Salmon[6]把這種情況稱為交互分岔 （interactive fork） ：“每個(gè)過程的變化來自與其他變化的交互”。而滿足馬爾可夫條件的情況稱為合取分岔 （conjunctive fork） ：“結(jié)果之間的相關(guān)性不是來自物理上的交互，而是來自特殊的背景條件”。

這里也體現(xiàn)出用范疇論視角重構(gòu)因果模型的好處。在DAG中很難表示交互分岔，除非引入超邊等高階網(wǎng)絡(luò)概念。

Φ抽象：連接不同尺度的因果模型

有時(shí)候，一個(gè)因果模型過于復(fù)雜，我們需要對(duì)其做粗粒化 （coarse-graining） 得到更加簡潔的宏觀因果模型。這里便有一個(gè)因果一致性的問題[7]：我們?nèi)绾伪ＷC微觀和宏觀兩個(gè)因果模型的描述是相匹配的？《 》中曾簡要介紹過因果一致性的相關(guān)研究。

我們?cè)賮砘仡櫼幌履莻€(gè)引發(fā)因果一致性問題的經(jīng)典案例[7，8]。早期研究認(rèn)為飲食通過總膽固醇 （TC） 影響心臟病 （HD） ，但不同研究顯示TC對(duì)HD的作用方向矛盾。后證實(shí)TC包含低密度脂蛋白 （LDL，促進(jìn)HD） 和高密度脂蛋白 （HDL，抑制HD） ，需區(qū)分兩者才能明確因果效應(yīng)。這反映了生物醫(yī)學(xué)中的常見現(xiàn)象：看似單一的物質(zhì)實(shí)為多成分混合體，各成分作用可能相反。這便是一種因果不一致的粗粒化情形。

在定性的層面上，我們?nèi)绻胍寖蓚€(gè)因果模型等價(jià)，要看三個(gè)方面：1.結(jié)構(gòu)。如果有連邊出現(xiàn)在了微觀變量之間，那么宏觀變量間對(duì)應(yīng)的位置上也應(yīng)該有相同方向的連邊；2.概率。對(duì)于兩個(gè)模型來說，分配下去的概率分布應(yīng)該保持一致；3.干預(yù)：兩個(gè)模型上的干預(yù)操作應(yīng)該互相匹配。以前的研究只關(guān)注這里的第二個(gè)層面[7]，比如上面膽固醇的例子。接 下來，我們來看范疇論的語言如何幫助我們規(guī)范粗粒化操作以滿足這些條件。

根據(jù)前文的內(nèi)容，我們可以給出這個(gè)例子的弦圖表示[8]。對(duì)稱幺半范疇的性質(zhì)告訴我們，你可以把產(chǎn)生LDL和HDL的兩個(gè)模塊以及復(fù)制子 （不要落下它） 拼接成為一個(gè)模塊。如前文所述，如果馬爾可夫條件不滿足，這個(gè)過程的逆過程不一定成立。

這樣拼接好后，我們就得到了一個(gè)機(jī)制，輸入飲食習(xí)慣 （diet） ，輸出TC。在下圖[1]中我們可以看到更廣泛的合并案例。其中虛線是微觀上被粗粒化的模塊或線條，虛線外的方框表示粗粒化后得到的新模塊。

這樣得到的新弦圖和之前的弦圖之間的映射是滿足圖同態(tài) （graph homomorphism） 的。圖同態(tài)便是說，原圖中的某一個(gè)點(diǎn)確定唯一地映射到新圖中的某一個(gè)點(diǎn)，同時(shí)原圖中兩個(gè)點(diǎn)之間是怎樣的關(guān)系，在新圖中也一定保持相同的關(guān)系不變 （或者這兩個(gè)點(diǎn)被合并成了一個(gè)點(diǎn)，這是被允許的） 。如果一個(gè)映射是滿足圖同態(tài)的，那么它就滿足了結(jié)構(gòu)上的因果一致性。

進(jìn)一步地，如果我們還要保證概率上的因果一致性，就要在下圖中定義一種可交換性。圖中有兩個(gè)作用在因果模型上的函子FG:SynG→FinStoch;FH:SynH→FinStoch，以及滿足圖同態(tài)的函子Φ:SynG→SynH。如果這里存在一組同態(tài) α： FG→ FHΦ，滿足無論從哪條路徑走，最后得到的Y的邊緣概率分布是一樣的，我們就稱這樣的一組同態(tài)為自然轉(zhuǎn)換 （natural transformation） 。換句話說，此時(shí)這些路徑彼此是可交換的。

當(dāng)同時(shí)有圖同態(tài)和自然轉(zhuǎn)換被滿足時(shí)，我們就說此時(shí)FH是FG的Φ抽象 （Φ-abstraction） 。如果這里的Φ不僅同態(tài)，還同構(gòu) （isomorphisms） ，也就是說，它是一個(gè)可逆的態(tài)射，那么我們就說FH和FG之間是Φ等價(jià)的。Φ等價(jià)是Φ抽象的一種特殊情況。

完全沒有損失的可交換要求有時(shí)太過嚴(yán)苛，很多研究[9]便提出用KL散度的方法來度量它在多大程度上不滿足可交換性。

除了考慮到結(jié)構(gòu)和概率兩個(gè)層面上的一致性，在[8]中，作者證明了，如果FH是FG的Φ抽象，那么在宏觀模型上的任何一個(gè)干預(yù)，都可以在微觀模型上找到一組干預(yù)與之相匹配，即干預(yù)后得到的輸出變量概率分布相同。也就是說，Φ抽象自然保證了干預(yù)層面上的一致性。感興趣的讀者可閱讀參考文獻(xiàn)了解證明過程。

下面是綜合呈現(xiàn)Φ抽象的案例圖示，傳統(tǒng)的DAG，到對(duì)稱幺半范疇下的弦圖，再到有限隨機(jī)范疇，這里的每一個(gè)符號(hào)都在前文介紹過了。讀者如果能讀懂這張圖，便把握了全文所有的要點(diǎn)。要注意的是，從X映射到U，雖然變量個(gè)數(shù)沒變，但狀態(tài)數(shù)變少了，這也是一種粗粒化。

總結(jié)與展望：范疇論視角的優(yōu)勢

本文介紹了范疇論視角下的因果模型，涉及對(duì)稱幺半范疇和有限隨機(jī)范疇兩種范疇。這種范疇論視角率先由Jacobs等人[3]提出，后又有Otsuka等人[1，8]在此基礎(chǔ)上提出Φ抽象，為多尺度因果模型研究打下了范疇論基礎(chǔ)。

如果我們把因果模型看作是一種語言，弦圖所展示的圖結(jié)構(gòu)便是這個(gè)語言的語法，具體的機(jī)制 （轉(zhuǎn)移概率矩陣） 便是其中的語義。相比于傳統(tǒng)的因果圖表達(dá)方式，這種范疇論視角最大的好處便是把復(fù)制子、do干預(yù)這樣的操作設(shè)定為一種語義的對(duì)象，也就是說，賦予它們所對(duì)應(yīng)的概率轉(zhuǎn)移矩陣。在之前的圖結(jié)構(gòu)中，干預(yù)由do算子描述，需要單獨(dú)一套符號(hào)語言去描述什么是干預(yù)。而范疇論視角下，干預(yù)和一般的觀測被統(tǒng)一起來。它們其實(shí)都是一種函子，是對(duì)稱幺半范疇和有限隨機(jī)范疇兩個(gè)世界之間的橋梁。只不過觀測函子讓我們得到某種概率分布，而干預(yù)函子讓我們得到另一個(gè)概率分布。這大大方便了我們?cè)谀承┣闆r下從觀測數(shù)據(jù)中計(jì)算得到干預(yù)分布。

在這個(gè)方向上還有很多工作等待進(jìn)一步研究，比如如何將該框架拓展到連續(xù)系統(tǒng)上？當(dāng)出現(xiàn)自環(huán)，使得一個(gè)因果模型不能被一個(gè)DAG所表示該怎么辦？當(dāng)范疇論的語言被廣泛接受，相信因果科學(xué)領(lǐng)域在應(yīng)用上會(huì)有更多有意思的成果涌現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]Otsuka, J. (2024). Process theory of causality: A category-theoretic perspective.

[2]Cartwright N (2007) Hunting Causes and Using Them. Cambridge University Press

[3]Jacobs B, Kissinger A, Zanasi F (2019) Causal inference by string diagram surgery. Foundations of software science and computation Structures. Springer International Publishing, pp 313–329

[4]Pearl J (2000) Causality: models, reasoning, and inference. Cambridge University Press

[5]Abramsky, S., & Coecke, B. (2007). A categorical semantics of quantum protocols (arXiv:quant-ph/0402130). arXiv.

[6]Salmon WC (1980) Causality: Production and Propagation. In: Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association, Vol. 1980(2):49-69

[7]Rubenstein PK, Weichwald S, Bongers S, Mooij JM, Janzing D, Grosse-Wentrup M, Sch?lkopf B (2017) Causal consistency of structural equation models. In: Proceedings of the 33rd Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence

[8]Otsuka, J., & Saigo, H. (2022). On the Equivalence of Causal Models: A Category-Theoretic Approach. Proceedings of the First Conference on Causal Learning and Reasoning, 634–646.

[9]Rischel EF (2020) Category Theory of causal models. PhD thesis, University of Copenhagen

探秘可逆性視角下的因果涌現(xiàn)

因果涌現(xiàn)讀書會(huì)第六季

在霓虹燈的閃爍、蟻群的精密協(xié)作、人類意識(shí)的誕生中，隱藏著微觀與宏觀之間深刻的因果關(guān)聯(lián)——這些看似簡單的個(gè)體行為，如何跨越尺度，涌現(xiàn)出令人驚嘆的復(fù)雜現(xiàn)象？因果涌現(xiàn)理論為我們揭示了答案：復(fù)雜系統(tǒng)的宏觀特征無法通過微觀元素的簡單疊加解釋，而是源于多尺度動(dòng)態(tài)交互中涌現(xiàn)的因果結(jié)構(gòu)。從奇異值分解（SVD）驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)可逆性分析，到因果抽象與信息分解的量化工具，研究者們正逐步構(gòu)建起一套跨越數(shù)學(xué)、物理與信息科學(xué)的理論框架，試圖解碼復(fù)雜系統(tǒng)的“涌現(xiàn)密碼”。

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范疇論第二季

范疇論是一個(gè)研究結(jié)構(gòu)的理論，提供了一種系統(tǒng)、精確、抽象的跨領(lǐng)域科學(xué)方法論，可直接付諸于各領(lǐng)域考察的問題，尋求跨領(lǐng)域的解決之道。這種數(shù)學(xué)語言與復(fù)雜性科學(xué)有眾多相似之處，加之其本身作為數(shù)學(xué)工具的嚴(yán)密性，后續(xù)可能能為解決復(fù)雜性科學(xué)問題提供一把鑰匙。

為了讓大家了解范疇論這樣一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言，克服傳統(tǒng)學(xué)習(xí)范疇論抽象和對(duì)前置知識(shí)的障礙，集智學(xué)園特邀一位正在嘗試教中學(xué)生范疇論的J-CAT貓圈老師開課，籌劃了“集智范疇論入門系列課程”。第二季課程正式推出，在習(xí)得的范疇論思維方式基礎(chǔ)上，本季課程將站在新的起點(diǎn)上，更多關(guān)注范疇論內(nèi)在的問題，而不用過于關(guān)注具體的問題背景。例如在范疇論中，可以直接抽象地討論一個(gè)作為函子的箭頭如何運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)函子箭頭，這樣需要理解函子范疇和自然變換的概念。通過掌握這些越來越抽象的思維工具，學(xué)員將逐漸感受到范疇論的強(qiáng)大抽象簡化能力，感受到為何不同領(lǐng)域的研究前沿不約而同地應(yīng)用這些工具。

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