摘要

隨機過程邊界泛函（如這些過程的極值、首次達到固定水平的時刻、達到該水平時的過程值、達到極值的時刻、過程高于固定水平的時間以及其他泛函）的潛在應用，被用于描述物理、化學和生物問題。給出了這些泛函的定義，并針對具有指數分布的輸入需求模型給出了特征函數。還考慮了這些限制的一般化。通過諸如具有親和力 A 的單環網絡、非對稱隨機游走、非線性擴散、兩水平模型、布朗運動以及具有可逆目標結合動力學的多個擴散粒子等示例，展示了邊界泛函的潛在用途。

研究領域：隨機過程，邊界泛函，統計物理，首次通過時間，非線性擴散，風險理論，熱力學軌跡

論文題目：Application of boundary functionals of random processes in statistical physics 發表時間：2025年2月12日 論文地址：https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.111.024115 期刊名稱：Physical Review E

在統計物理中，隨機過程的“邊界行為”往往隱藏著關鍵的系統演化信息。從粒子首次到達某個能級的時間，到生物分子結合靶點的停留時長，這些“越界時刻”的數學描述——邊界泛函 （boundary functionals） ——正成為解碼復雜系統動態的新鑰匙。近期Physical Review E的一篇研究，系統探討了邊界泛函在物理、化學和生物問題中的應用潛力，為從風險理論到擴散動力學的多領域研究提供了新視角。

什么是邊界泛函？

邊界泛函是描述隨機過程與特定閾值交互行為的數學工具。例如，可用于描述下列情況：

• 首次通過時間（FPT）：如布朗粒子首次觸及某位置的耗時。

• 極值分布：過程在區間內的最大值/最小值統計特性。

• 停留時間：系統維持在閾值以上的累計時長，如核反應堆材料在臨界溫度以上的持續時間。

研究中，作者通過指數分布需求模型構建了這些泛函的特征函數，并推廣到更一般的限制條件，為物理系統的風險行為建模奠定了基礎。

邊界泛函：從金融風險到物理系統

傳統上，邊界泛函常用于金融風險評估，如保險公司破產概率計算。研究者在本文中將這一數學框架與統計物理結合，提出了兩類核心方法：

1. 指數跳躍模型假設隨機過程的跳躍幅度服從指數分布，如化學反應中的分子碰撞事件，通過求解Lundberg方程的根ρ±(s)，解析獲得FPT、停留時間等泛函的矩生成函數。這種方法成功應用于單循環網絡和不對稱隨機行走的動力學分析。

2. 熱力學軌跡映射將邊界泛函與軌跡熱力學的標度累積生成函數 （SCGF） 關聯，揭示非平衡系統中熵產生與邊界行為的定量關系。例如，在二能級模型中，首次通過時間分布可直接關聯到系統的熵變速率。

圖 1. （a）具有 SCGF 方程（33）的 Lundberg 方程（21）的正根方程（35）。（b）具有 SCGF 方程（33）的 Lundberg 方程（21）的負根方程（35）。（c）具有親和力 A 和五個狀態的單環網絡，N = 5。（d）從（b）圖中處于活躍相的 s 獲得的單位時間動態自由能 θ(s) 的類似物。

物理世界的“越界”案例

1.非線性擴散中的停留時間當擴散系數隨濃度非線性變化時，研究通過隨機停止過程 （randomly stopped process） 量化粒子在閾值以上的駐留概率，其矩生成函數呈現獨特的指數衰減形式。

圖 2. （a）值 EQx (θs, μ)的行為：對于 s = 10，x = 5 時，取決于參數 μ，紅色，約 10?12；對于 s = 1，x = 1 時，取決于參數 μ，黑色，約 10?2。（b）對于 s = 5，μ = 0 時，值 EQx (θs， μ) 對邊界值 x 的依賴性。

2.可逆靶標結合動力學在多粒子擴散系統中，如酶與底物結合，結合事件需要至少K個粒子同時到達靶區。通過拉普拉斯變換與風險理論結合，解析預測了“耐心粒子”觸發反應的統計規律，為生物傳感機制建模提供新工具。

圖 3. (a)，(b) 函數ρ±(s)在參數取值為c = 0.2、λ = 0.819、xm = 0.01、x = 3時的行為；(c) 基于式(68)和式(85)計算的，到達閾值x = 3的平均首次通過時間E[τ+(x),s]對參數s的依賴性解析。

3.布朗運動的極值重構對布朗運動ξ(t)=at+σW(t)，其極大值ξ?(θ?)的分布通過Lévy-Khinchin分解顯式表達，揭示了隨機停止時間θ?與熱力學參數s的深層關聯。

為什么這很重要？

這項研究架起了數學概率論與復雜系統物理的橋梁： 將風險理論的物理化，金融中的“破產時刻”概念遷移到物理系統，如材料失效預測；提供了多尺度統一框架：從分子結合到反應堆安全，不同尺度的“越界行為”可用同一類泛函描述；提出非平衡熱力學新視角：首次通過時間等泛函可作為熱力學力參數，推動非平衡態統計理論發展。 研究者呼吁更多研究關注除FPT外的邊界泛函——例如停留時間與極值的聯合分布，或許能揭示隱藏在隨機漲落中的全新物理規律。當“越界”成為理解復雜系統的關鍵線索，下一次突破可能就藏在某個隨機過程的拐點之中。

彭晨| 編譯

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