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3.8國際勞動婦女節(jié)本周來臨，謹(jǐn)以量子雜志這篇應(yīng)景文章獻(xiàn)給令人尊敬的當(dāng)代女?dāng)?shù)學(xué)家們。

新的證明拓展了已故女性菲爾茲獎得主瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977 - 2017）的研究成果，鞏固了她作為異域數(shù)學(xué)領(lǐng)域先驅(qū)的地位。

供圖：Kristina Armitage|Quanta

原始圖源（從左至右）：歐萊雅女性科學(xué)家基金會、Jan Vondrák、P. Imbert/法國學(xué)院

瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（中）在研究生時期改變了雙曲幾何領(lǐng)域。但她在40歲時就去世了，當(dāng)時她還未回答自己感興趣的許多問題。

數(shù)學(xué)家勞拉·蒙克（Laura Monk，左）和納里尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman，又譯阿南塔拉曼、阿納塔拉曼，右）現(xiàn)在正在繼續(xù)她未竟的事業(yè)。

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-3-3

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-3-4

21世紀(jì)初，哈佛大學(xué)一位年輕的研究生開始繪制一個奇異的數(shù)學(xué)世界——一個充滿幾何直覺所無法解釋的形狀的世界。她的名字叫瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977 - 2017），她后來成為第一位獲得菲爾茲獎的女性，這是數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)。

她最早的作品是研究“雙曲”曲面（hyperbolic surface）的。在這種曲面上，平行線會相互遠(yuǎn)離，而不是保持相同的距離，而且在每一點(diǎn)，曲面都會像馬鞍一樣向兩個相反的方向彎曲。

雖然我們可以想象球面或甜甜圈的表面，但雙曲曲面的幾何特性非常奇怪，以至于無法形象化。但理解它們也很重要，因?yàn)檫@種曲面在數(shù)學(xué)甚至弦理論中無處不在。

米爾扎哈尼是一位頗具影響力的雙曲宇宙制圖師。在讀研究生期間，她開發(fā)了開創(chuàng)性的技術(shù)，使她能夠開始對這些形狀進(jìn)行分類，然后繼續(xù)革新數(shù)學(xué)研究的其他領(lǐng)域。

她希望以后能重新審視她的雙曲領(lǐng)域地圖——填補(bǔ)其細(xì)節(jié)并做出新發(fā)現(xiàn)。但在她這樣做之前，她被診斷出患有乳腺癌。她于2017年去世，年僅40歲。

此后，兩位數(shù)學(xué)家繼續(xù)研究她的工作，并進(jìn)一步加深了對雙曲曲面的理解。在上個月發(fā)表在網(wǎng)上的一篇論文中，法蘭西學(xué)院的納里尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman）和布里斯托爾大學(xué)的勞拉·蒙克（Laura Monk）以米爾扎哈尼的研究為基礎(chǔ)，證明了關(guān)于典型雙曲曲面的廣泛論述。她們證明了，曾經(jīng)被認(rèn)為罕見甚至不可能的曲面實(shí)際上很常見。事實(shí)上，如果你隨機(jī)選擇一個雙曲曲面，它基本上可以保證具有某些關(guān)鍵屬性。

米爾扎哈尼在多個研究領(lǐng)域取得重大突破，成為第一位獲得菲爾茲獎的女性。

圖源：Jan Vondra?k

普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家彼得·薩納克 (Peter Sarnak) 表示：“這是一個里程碑式的成果。未來還會有更多成果。”

這項(xiàng)研究尚未經(jīng)過同行評審，它表明雙曲面比人們想象的還要奇怪和難以理解。它還繼承了米爾扎哈尼的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，重新點(diǎn)燃了她探索這個充滿難以想象形狀的宇宙的夢想。

一份內(nèi)容豐富的論文

米爾扎哈尼在伊朗德黑蘭長大，童年時，她是個狂熱的讀者，希望有一天能寫出自己的書。但她在數(shù)學(xué)方面也很優(yōu)秀，最終在國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（IMO，一項(xiàng)針對高中生的著名競賽）上贏得了兩枚金牌。

米爾扎哈尼在伊朗長大，最初的夢想是成為一名作家，后來才決定成為一名數(shù)學(xué)家。

1999年，從沙里夫理工大學(xué)畢業(yè)后，她前往哈佛大學(xué)讀研究生。在那里，她愛上了雙曲幾何。她是個狂熱的涂鴉愛好者，喜歡嘗試?yán)斫饽切┌炊x無法繪制的形狀的挑戰(zhàn)。

“雙曲曲面有點(diǎn)像一塊拼圖，你可以在局部拼湊起來，但在我們的宇宙中卻永遠(yuǎn)無法完成，”密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)家、米爾扎哈尼的前博士后研究員亞歷克斯·賴特 (Alex Wright) 說道。

這是因?yàn)槠磮D的每一塊都是馬鞍形的。你可以將幾塊拼湊在一起，但永遠(yuǎn)無法完全閉合曲面——至少在我們平坦的三維空間中不行。這使得雙曲曲面特別難以研究。甚至關(guān)于它們的基本問題也懸而未決。

為了掌握雙曲曲面，數(shù)學(xué)家研究了其上的閉環(huán)。這些環(huán)稱為測地線（geodesic），有各種形狀；對于給定的形狀，它們在返回起點(diǎn)時會從一點(diǎn)到另一點(diǎn)劃出最短的路徑。曲面上的孔越多，其測地線就越多樣化和復(fù)雜。通過研究曲面上有多少條給定長度的不同測地線，數(shù)學(xué)家可以開始了解曲面整體的樣子。

測地線如何解釋曲面

為了理解一個曲面，數(shù)學(xué)家研究其上的路徑--稱為測地線--

這些路徑沿著最短的可能軌跡回到起點(diǎn)。

上圖中這兩種形狀都有無限多的測地線，

因此數(shù)學(xué)家們計算的是

不超過給定長度的測地線的數(shù)量。

隨著曲面中孔洞的數(shù)量增加，這個數(shù)量也會增加。

圖源：Mark Belan|Quanta

米爾扎哈尼對這些環(huán)繞曲線開始著迷。在與同事討論時，她不斷提起它們，她平時的克制消失了。她經(jīng)常氣喘吁吁地談?wù)摐y地線和相關(guān)對象，好像它們是故事中的人物。

“我記得她演講時會問這兩個問題：有多少條曲線，它們在哪里？”多倫多大學(xué)的卡斯拉·拉菲（Kasra Rafi）說。

在讀研究生期間，她開發(fā)了一個公式，可以估算出任何雙曲曲面在給定長度內(nèi)有多少條測地線。這個公式不僅讓她能夠描述單個曲面，還使她能夠證明弦理論中一個著名的猜想，并讓她了解可以構(gòu)造哪些類型的雙曲曲面。

完成研究生學(xué)位后，米爾扎哈尼繼續(xù)在幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和動力系統(tǒng)領(lǐng)域取得重大進(jìn)展。但她從未忘記博士論文的主題。

她希望更多地了解她所分類的雙曲動物園里生活著的生物。特別是，她想了解典型的雙曲曲面是什么樣子。數(shù)學(xué)家通常首先研究她們可以構(gòu)造的對象——圖形、結(jié)、數(shù)列。

但她們的構(gòu)造通常“一點(diǎn)也不典型”，索邦大學(xué)的布拉姆·佩特里（Bram Petri）說。“我們傾向于畫出非常特別的東西。”隨機(jī)選擇的典型圖形、結(jié)或數(shù)列看起來會非常不同。

于是米爾扎哈尼開始隨機(jī)挑選雙曲曲面并研究其特性。“她有完美的工具，所以這很自然，”賴特說。

但她在真正開始研究之前就去世了。蒙克說：“她當(dāng)時只是在研制‘機(jī)器’，然后就沒有時間使用它了。”

繼續(xù)追問

蒙克從未想過自己會成為米爾扎哈尼的接班人。事實(shí)上，直到20歲出頭，她都沒有打算從事數(shù)學(xué)研究。她從小就計劃當(dāng)一名老師，當(dāng)時她會輔導(dǎo)同學(xué)，以消除數(shù)學(xué)課上的無聊。“我在學(xué)校時非常痛苦，”她說。“我會通過擔(dān)任助教來讓自己忙碌起來。”

勞拉·蒙克（Laura Monk）自讀研究生以來一直在研究

米爾扎哈尼在去世前未能完成的數(shù)學(xué)理論。

蒙克覺得她通過米爾扎哈尼的證明了解了這位數(shù)學(xué)家。

圖源：歐萊雅女性科學(xué)家基金會

她報讀了巴黎薩克雷大學(xué)的碩士課程，是40人中三名女性之一。臨近畢業(yè)時，她得知其他兩名女性也計劃離開學(xué)術(shù)界。她們的離開讓她懷疑她們的計劃是否反映了“我們自己的個人選擇和愿望”。

她說，“或者我們處在一個非常例外的環(huán)境中，受到的影響比我們意識到的要大。”她覺得自己有責(zé)任為她計劃授課的女孩們樹立一個數(shù)學(xué)界成功女性的榜樣。

于是她決定攻讀博士學(xué)位。“我們至少要有一個人讀這個，”她告訴自己。“否則就太可悲了。”（后來，另一個女生也獲得了博士學(xué)位。）

在一位教授的建議下，蒙克坐火車去見納利尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman），她是一位潛在的導(dǎo)師，和米爾扎哈尼一樣，是多個領(lǐng)域的專家。

事實(shí)上，安娜塔拉曼在米爾扎哈尼的職業(yè)生涯中曾多次見過她——她們年齡相仿，對類似主題感興趣。兩人都對人文學(xué)科充滿熱情：米爾扎哈尼幾乎將自己的研究獻(xiàn)給了文學(xué)，而安娜塔拉曼則接受過古典鋼琴家的培訓(xùn)，并不確定自己會從事音樂還是數(shù)學(xué)。

納里尼·安納塔拉曼在決定成為一名數(shù)學(xué)家之前，

幾乎一直想成為一名古典鋼琴家。

她最近在雙曲幾何領(lǐng)域證明了一項(xiàng)開創(chuàng)性成果。

圖源：Noel Tovia Matoff

2015年，兩位數(shù)學(xué)家都到加州大學(xué)伯克利分校學(xué)習(xí)了一個學(xué)期。米爾扎哈尼的女兒和安納塔拉曼的兒子年齡相仿，兩位數(shù)學(xué)家偶爾會在當(dāng)?shù)氐挠螛穲鲆娒妫诤⒆觽兺嫠５臅r候，她們談?wù)撝瞿赣H的話題。

安娜塔拉曼知道米爾扎哈尼在生命的最后階段開始嘗試隨機(jī)雙曲曲面。她現(xiàn)在希望在此基礎(chǔ)上繼續(xù)努力。

描述雙曲曲面的一種方法是測量其連通性。想象一下你是一只螞蟻，沿著隨機(jī)方向在曲面上行走。如果你走了一會兒，你最終到達(dá)曲面上任何地方的可能性是否相等？

如果它的連通性很好，各個區(qū)域之間有很多可能的路徑，那么答案是肯定的。但如果它的連通性很差——就像一個啞鈴，由兩個大區(qū)域組成，由一座狹窄的橋連接——你可能會花很長時間在一側(cè)徘徊，然后才能找到穿過另一側(cè)的路。

數(shù)學(xué)家使用一個稱為譜間隙（spectral gap）的數(shù)字來測量曲面的連通性。該值越大，曲面的連通性就越強(qiáng)。盡管我們?nèi)匀粺o法想象曲面，但譜間隙提供了一種思考其整體形狀的方法。“這就像是一種量化判斷的方式，‘曲面是什么樣子的？’”拉菲說。

曲面連接

曲面（表面）可以以奇怪的方式彎曲和扭曲。數(shù)學(xué)家通過測量它們的連通性來理解它們。

連通性差的曲面

如果你在曲面上隨意行走，從一片區(qū)域到另一片區(qū)域需要很長時間。

良好連通的曲面

在隨機(jī)行走中，你更有可能快速到達(dá)另一個區(qū)域。

圖源：Mark Belan|Quanta

雖然譜間隙理論上可以是0到1/4之間的任何值，但數(shù)學(xué)家能夠構(gòu)建的大多數(shù)雙曲曲面的譜間隙相對較小。

直到2021年，她們才弄清楚 https://arxiv.org/abs/2107.05292 如何構(gòu)建具有任意數(shù)量孔且具有最大譜間隙的曲面，即最大程度連通的曲面。

但盡管已知的高譜間隙雙曲曲面相對較少，數(shù)學(xué)家們還是懷疑它們不很常見。雙曲曲面的宇宙廣闊無垠，而且大部分尚未被探索。

雖然數(shù)學(xué)家通常無法在這個宇宙中構(gòu)造單個曲面，但她們希望了解典型曲面的一般性質(zhì)。當(dāng)她們將雙曲曲面作為一個整體來看待時，她們預(yù)計大多數(shù)曲面的譜間隙為1/4。

這正是安娜塔拉曼希望分配給她的新研究生的問題。蒙克渴望與一位女性導(dǎo)師密切合作，并為自己設(shè)定了雄心勃勃的目標(biāo)——“如果我要讀博士學(xué)位，我會認(rèn)真去做，”她記得當(dāng)時是這么想的——于是她簽了字。

撰寫續(xù)集

2018年，米爾扎哈尼去世僅一年后，蒙克開始跟隨安娜塔拉曼攻讀研究生學(xué)位。她的第一步是盡可能多地了解米爾扎哈尼在雙曲曲面方面的研究。

眾所周知，如果你能足夠準(zhǔn)確地估計出曲面上閉合測地線的數(shù)量（米爾扎哈尼深入研究過的那些環(huán)狀路徑），你就能計算出曲面的譜間隙。

蒙克和安納塔拉曼需要證明幾乎所有雙曲曲面的譜間隙都是1/4。也就是說，隨著曲面上孔洞數(shù)量的增加，選擇具有最佳譜間隙的曲面的可能性將接近100%。

兩人首先從米爾扎哈尼在攻讀博士學(xué)位期間提出的測地線計數(shù)公式入手。問題是，這個公式低估了測地線的數(shù)量。

它數(shù)出了大部分測地線，但不是全部——它漏掉了更復(fù)雜的測地線，這些測地線在交叉后又回到起點(diǎn)，比如一個圍繞兩個洞的8字形。

米爾扎哈尼花了數(shù)年時間探索奇特彎曲的“雙曲”形狀。

她喜歡在巨大的紙張上涂鴉自己的想法，

盡管這種形狀從定義上來說是無法畫出來的。

圖源：Thomas Lin

但蒙克和安納塔拉曼利用米爾扎哈尼有限的公式找到了一種證明相對較大譜間隙的方法。“這看起來幾乎像是一個奇跡，”安納塔拉曼說。“它如此有效對我來說仍然很神秘。”

如果她和蒙克能改進(jìn)米爾扎哈尼公式，使其也能計算更復(fù)雜的測地線，結(jié)果會怎樣？也許她們的計算結(jié)果足夠精確，可以轉(zhuǎn)化為1/4的譜間隙，這也是她們之前的數(shù)學(xué)家們希望實(shí)現(xiàn)的。

安娜塔拉曼突然想起米爾扎哈尼去世前幾年發(fā)給她的一封電子郵件，郵件中提出了一系列有關(guān)譜間隙和測地線計數(shù)之間關(guān)系的問題。

“當(dāng)時，我真的不知道她為什么要問這些問題，”安娜塔拉曼說。但現(xiàn)在她想知道米爾扎哈尼是否計劃采取類似的方法。

蒙克在研究生院期間曾花了一些時間研究如何將米爾扎哈尼公式擴(kuò)展到更復(fù)雜的測地線。在此期間，她還撰寫了很長很詳細(xì)的米爾扎哈尼在原始論文中未完全解釋的關(guān)鍵概念的描述。

“我覺得她的一些想法只是擺在桌面上，等著別人向社區(qū)解釋，因?yàn)樗龥]有機(jī)會這樣做，”她說。

到2021年，蒙克已經(jīng)弄清楚了如何計算以前無法計算的各種測地線。她和安納塔拉曼知道，再做一些額外的工作，她們可能就能用她們的新公式更好地估計譜間隙。但她們決心實(shí)現(xiàn)完整的1/4目標(biāo)，而不是發(fā)表部分結(jié)果。

然后她們就被困住了。

重溫圣典

有一種特別難纏的測地線總是擋住她們的路。這些測地線會長時間纏繞在曲面的同一區(qū)域，形成盤旋的纏結(jié)。纏結(jié)只出現(xiàn)在少數(shù)難纏的曲面上，但一旦出現(xiàn)，就會成群結(jié)隊(duì)。

如果蒙克和安娜塔拉曼將它們計入總數(shù)，就會打亂她們需要執(zhí)行的計算，將計數(shù)轉(zhuǎn)換為譜間隙——導(dǎo)致輸出小于1/4。

蒙克說，情況看上去毫無希望。

當(dāng)兩個獨(dú)立的團(tuán)隊(duì)在幾個月內(nèi)發(fā)表了論文，https://arxiv.org/abs/2103.07496 證明了譜間隙為3/16時，她的沮喪感更有加深。這個消息并沒有讓安娜塔拉曼感到困擾；她只關(guān)心達(dá)到1/4。

“當(dāng)我開始做某件事時，我有點(diǎn)愛上了一個遙遠(yuǎn)的目標(biāo)，”她說——顯然這是她和米爾扎哈尼共有的一個特點(diǎn)。

但蒙克仍在攻讀博士學(xué)位的最后一年，她需要一個能讓她完成論文的結(jié)果，她想知道她們是否應(yīng)該接受更低的回報。“我有點(diǎn)沮喪，我們沒有想到這樣做，”她說。

亞歷克斯·賴特 (Alex Wright) 是取得3/16結(jié)果的團(tuán)隊(duì)之一，他理解她的觀點(diǎn)。“研究生研究如此雄心勃勃的問題，這很不尋常，”他說。而且似乎沒有人能想出辦法實(shí)現(xiàn)1/4。

但安娜塔拉曼有一個想法：轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)的另一個領(lǐng)域，即圖論（graph theory），來尋找靈感。請記住，安娜塔拉曼和蒙克試圖證明大多數(shù)雙曲曲面都是盡可能連通的。

二十年前，數(shù)學(xué)家喬爾·弗里德曼（Joel Friedman，1949 -）證明了大多數(shù)圖（數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的頂點(diǎn)和邊的集合）都具有這種特性。

喬爾·弗里德曼證明，幾乎所有由點(diǎn)和線組成的網(wǎng)絡(luò)

（稱為圖，graph）都具有某種關(guān)鍵特性。

數(shù)學(xué)家們最近采用了他的成果

來解決雙曲幾何中一個重要的未解問題。

圖源：Joshua Friedman

但弗里德曼的結(jié)論并不容易理解。“這是一個出了名的難解結(jié)果，其證明過程非常冗長，難以簡化，”賴特說。

當(dāng)安娜塔拉曼和蒙克開始她們的項(xiàng)目時，她曾嘗試閱讀弗里德曼的證明。但和許多其他數(shù)學(xué)家一樣，她發(fā)現(xiàn)它難以理解。“當(dāng)時，我真的一點(diǎn)也不明白，”她說。現(xiàn)在她又回到了它，尋找新的線索。

她找到了線索。證明的某些步驟看起來很熟悉，就像她和蒙克試圖處理的雙曲曲面的圖論版本。

事實(shí)上，她意識到，弗里德曼在他的圖中遇到了頂點(diǎn)之間的復(fù)雜路徑，就像她糾結(jié)的測地線一樣，阻礙了他獲得譜間隙的最佳估計。但不知何故，他找到了處理這些路徑的方法，而安娜塔拉曼不太明白他是如何做到的。

2022年5月，她和蒙克組織了一場研討會，并邀請弗里德曼講述他的工作。“她們確實(shí)需要一種深埋在我的證明中的技術(shù)，”他說。

當(dāng)解釋她的數(shù)學(xué)思想時，一向內(nèi)斂的米爾扎哈尼變得生動活潑。

她談?wù)摳鞣N感興趣的事物，就好像它們是故事中的人物一樣。

圖源：Jan Vondra?k

他基本上找到了一種方法來證明他可以從計算中完全刪除有問題路徑的圖。在與弗里德曼交談后，蒙克和安娜塔拉曼意識到她們可以做同樣的事情。

還有很多工作要做：將弗里德曼的方法轉(zhuǎn)化為適用于雙曲曲面的方法會很困難。但她們的疑慮得到了緩解。“這非常令人興奮，”蒙克說。“此時，很明顯我們可以完成。”

不斷傳承的遺產(chǎn)

2023年初，兩位數(shù)學(xué)家撰寫了一篇論文，概述了她們迄今為止所做的工作。在論文中， https://arxiv.org/abs/2304.02678 她們證明了創(chuàng)紀(jì)錄的2/9譜間隙。“這感覺是一個非常好的中間步驟，”蒙克說。

次年，她們改進(jìn)了弗里德曼的方法 https://arxiv.org/abs/2401.01601 ，并制定了計劃，說明如何使用該方法得到1/4 https://arxiv.org/abs/2403.12576 。上個月，她們終于完成了證明，https://arxiv.org/abs/2502.12268 證明隨機(jī)選擇的雙曲曲面很可能具有最大的譜間隙。

這一結(jié)果讓數(shù)學(xué)家們了解到了比以往更多的有關(guān)雙曲曲面的知識。其他研究人員現(xiàn)在希望利用這對搭檔的技術(shù)來解答其他重要問題，包括有關(guān)數(shù)論和動力學(xué)中重要曲面的問題。

巴黎朱西厄數(shù)學(xué)研究所的數(shù)學(xué)家安東·佐里奇（Anton Zorich）說，這項(xiàng)工作“會立即產(chǎn)生大量的相關(guān)結(jié)果”。

這也讓蒙克和安納塔拉曼對米爾扎哈尼的研究有了更深入的了解。盡管蒙克從未看過米爾扎哈尼的任何講座錄音，也從未聽過她的聲音。

她說，她更希望米爾扎哈尼“在我心中保持一個神秘感”，但她覺得自己好像通過米爾扎哈尼的證明認(rèn)識了她。

“當(dāng)你詳細(xì)閱讀某個人的作品時，你最終會理解超越作品內(nèi)容之外的東西，了解她們的思維方式，”蒙克說。

她很榮幸能夠延續(xù)米爾扎哈尼的遺產(chǎn)，而數(shù)學(xué)家們也很高興看到這一遺產(chǎn)接下來會帶來什么。

賴特在談到他的前任導(dǎo)師時說道：“我很傷心她看不到這一點(diǎn)。”

佐里奇表示贊同。“她本應(yīng)該在那里欣賞這一切，”他說。“我相信她會非常高興。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/years-after-the-early-death-of-a-math-genius-her-ideas-gain-new-life-20250303/

https://arxiv.org/abs/2107.05292

https://arxiv.org/abs/2304.02678

https://arxiv.org/abs/2401.01601

https://arxiv.org/abs/2403.12576

https://arxiv.org/abs/2103.07496

https://arxiv.org/abs/2502.12268

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