選自Quanta Magazine

作者：Leila Sloman

編譯：杜偉、陳陳

故事始于 2003 年，一位名叫 Britta Sp?then 的德國研究生首次接觸到了麥凱猜想（McKay conjecture），這是數學群論中最大的未解難題之一。

作為群論的一個著名猜想，麥凱猜想由數學家約翰?麥凱（John McKay）于 1972 年提出，主要涉及有限群的表示論，特別是關于群的不可約特征標的性質。

最開始， Britta Sp?then 的目標并沒有那么大。她希望證明一兩個定理，逐步推進這一猜想的解決，就像她之前許多其他數學家所做的那樣。但多年來，她一次又一次地被麥凱猜想吸引。

像這樣一心一意地追求如此困難的問題可能會傷害她的學術生涯，但 Britta Sp?then 還是把所有的時間都投入其中。之后，她認識了巴黎 Jussieu 數學研究所的數學家 Marc Cabanes，后者受到她的啟發，也開始對麥凱猜想著迷。在一起工作期間，兩人墜入愛河，并最終組建了家庭。

數學中充滿了極其復雜的抽象對象，不可能完全對它們進行研究。不過，數學家發現，通常只需查看此類對象的一小部分即可了解它們更廣泛的屬性。因此，當數學家想要理解一個極其復雜的函數時，他們可能只需要查看它的一小部分可能輸入的行為，就足以說明該函數對所有可能的輸入的作用。

麥凱猜想就是這樣的典型例子，如果你想全面地描述一個群（一個極其難以研究的重要數學實體），你只需要看其中的一小部分就行了。

圖（左）為 Britta Sp?th，（右）為 Marc Cabanes

自 20 世紀 70 年代提出這個猜想后，數十位數學家都曾嘗試進行證明。他們取得了部分進展，并在此過程中學到了很多關于群的知識（群是描述數學系統中各種對稱性的抽象對象）。然而，完整的證明似乎仍然遙不可及。

終于，在 Britta Sp?th 接觸麥凱猜想 20 年后、在她遇到 Marc Cabanes 十多年后，這對夫婦終于完成了證明。當他們兩人宣布成果時，同事們都驚呆了。斯坦福大學的統計學與數學教授 Persi Diaconis 祝賀道，「經過多年的努力鉆研，她做到了，他們終于做到了。」

他們在 2024 年 7 月發表了論文《The McKay Conjecture on character degrees》，文章篇幅有 68 頁。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2410.20392

素數（primes）的力量

麥凱猜想始于對一個奇怪巧合的觀察。

在朋友的眼中，數學家約翰?麥凱是一位「才華橫溢、說話輕聲細語、令人著迷」的人，他以能在意想不到的地方發現數值模式而聞名。這位康考迪亞大學的數學家最著名的可能要屬「怪物月光」猜想，該猜想在 1978 年提出，涉及怪物群（Monster group）和模形式（modular forms）之間的神秘聯系。最終在 1992 年得到了證明，引起了數學界的廣泛關注。

在約翰?麥凱去世幾年前，他還發現了很多其他重要的關聯，其中很多都涉及到了群。群是一組元素以及這些元素相互關聯的規則的結合，它可以被看作是對稱性的集合，即以特定方式保持一個形狀、函數或其他數學對象不變的變換（transformation）。盡管群很抽象，但它們非常有用，并且在數學中發揮了核心作用。

1972 年，約翰?麥凱專注于有限群，即元素數量有限的群。他觀察到，在很多情況下，你可以通過查看一個有限群中的很少部分元素來推斷該群的重要信息。并且，約翰?麥凱特別研究了在原始群內部形成一個特殊、較小群（被稱為 Sylow 正則化子）（normalizer）的元素。

假設有一個包含 72 個元素的群，僅憑這一點不會告訴你太多信息：這樣大小的群能有 50 個（每個都不同）。但是，72 可以寫成素數（2 × 2 × 2 × 3 × 3）的乘積，即 2^3 × 3^2。通常來說，描述群大小所需要的不同素數越多，群就越復雜。你可以在這些素數的基礎上將群分解為更小的子群。

這里，你可以分別得到具有 8 個（2^3）元素和 9 個（3^2）元素的子群。通過研究這些子群，你可以了解更多有關整個群結構的信息，比如群由哪些構建塊組成。

現在，取其中一個子群，并添加一些特定元素，以創建一個特殊的子群 ——Sylow 正則化子。在這個 72 元素群中，你可以為每個「8 元素」和「9 元素」的子群構建對應的不同的 Sylow 正則化子，它們分別成為 2-Sylow 正則化子和 3-Sylow 正則化子。

Sylow 正則化子以及它們所構建的子群，可以告訴數學家們很多關于原始群的信息。然而，約翰?麥凱假設這種聯系比任何人想象中的都要強大，這就不再僅僅是通過 Sylow 正則化子洞察一個有限群整體結構了。他斷言，如果數學家想要計算一個可以幫助他們描述群的關鍵量，則只需查看一組特定 Sylow 正則化子中的一個即可：Sylow 正則化子將由完全相同的數值來表示。

該量用來計算某類「表示」的數量，你可以使用被稱為矩陣的數字數組來重寫群的元素。這樣的計數可能看起來很隨意，但它能讓數學家了解群中的元素如何彼此關聯，并且涉及到了其他重要屬性的計算。

至于為什么約翰?麥凱的量對于有限群及其 Sylow 正則化子來說應該總是相同的，似乎沒有充分的理由來說明。Sylow 正則化子可能只包含更大群中的一小部分元素。與此同時，Sylow 正則化子通常具有不同的結構。

這就是約翰?麥凱的推測，對于所有有限群都是如此。如果真是這樣，那么數學家的生活就會變得輕松多了：Sylow 正則化子比它們的母群更容易處理。這也暗示著存在一個更深的數學真理，一個數學家尚未掌握的真理。

在約翰?麥凱首次觀察到這一巧合的一年后，一位名叫 Marty Isaacs 的數學家證明了該巧合適用于一大類群。但隨后，數學家們陷入了困境。他們能夠證明該巧合適用于某個或另一個特定的群，但還有無數個群需要證明。

因此，證明整個猜想似乎非常困難。事實證明，此問題要想取得重要進展，需要數學家們解決史上最艱巨的數學難題之一。

麥凱猜想的一小步，群論的一大步

對有限群的所有構件進行分類，需要數千個證明，花 100 多年的時間才能完成。但在 2004 年，數學家們終于成功地證明，所有的構建塊都必須屬于三類中的一類，否則就屬于 26 個異常值。

長期以來，數學家們一直認為，一旦完成對有限群的分類，這將有助于簡化諸如麥凱猜想這樣的問題。

然而，這需要有人證明這種策略確實可行。

就在有限群分類正式完成的那一年，Isaacs、Navarro 和 Gunter Malle 找到了重新表述麥凱猜想的正確方法，只需專注于一組較小的群。

對于這個新集合中的每個群，他們都必須展示一些比麥凱猜想提出的更強的東西。

Isaacs、Navarro 和 Malle 證明了，如果這個更強的陳述對這些特定的群成立，那么麥凱猜想對所有有限群都必然成立。

Gabriel Navarro 與兩位同事將群論中一個重大的開放猜想轉化為一個可處理的問題。

問題的突破口在于他們對問題的重構。此后幾年，數學家們利用這一突破解決了麥凱猜想的大部分情況。此外，這一方法還幫助他們簡化了其他涉及通過局部研究整體的問題。丹佛大學的數學家 Mandi Schaeffer Fry 表示，這一方法已成為解決許多猜想的重要藍圖。

然而，對于一類稱為「李型群」的群，新版麥凱猜想仍是一個開放問題。這些群的表示特別難以研究，要證明它們之間的關系滿足 Isaacs、Navarro 和 Malle 提出的條件非常具有挑戰性。但 Malle 的一名研究生 Britta Sp?th 正在研究這一問題。

執著于一件事的 Britta Sp?th

2003 年，Britta Sp?th 來到卡塞爾大學，開始攻讀博士學位。她幾乎是為研究麥凱猜想而生的：甚至在高中時，她就能花費數天甚至數周的時間來鉆研一個問題，她特別喜歡那些考驗她毅力的問題。

Britta Sp?th 投入了大量時間深入研究群表示理論。研究生畢業后，她決定利用自己在這方面的專業知識繼續攻克麥凱猜想。「她有一種瘋狂但又非常出色的直覺，」她的朋友兼合作者 Schaeffer Fry 表示。

幾年后的 2010 年，Britta Sp?th 前往巴黎西岱大學工作，正是在那里她遇到了 Marc Cabanes。Britta Sp?th 經常去他的辦公室請教問題。

之后，Britta Sp?th 和 Marc Cabanes 一起開始著手證明每一個類別中的猜想，并在接下來的十年中報告了多項重大成果。

經過深入研究他們對李型群有了深刻的理解。在研究過程中，他們開始交往，有了兩個孩子，并最終在德國定居。

到 2018 年，他們只剩下一種李型群尚未攻克。一旦完成這一類別的證明，他們就將證明麥凱猜想。

繼續尋找下一個執念

「攻克第四種李型群困難重重，令人意外的挫折也很多」，Britta Sp?th 說。但最終，她和 Marc Cabanes 逐漸證明了這些群的表示數量與它們的 Sylow 正則化子的表示數量相匹配 —— 并且這些表示的匹配方式滿足了必要的規則。終于，最后一個案例完成了。麥凱猜想的正確性也隨之得以自動證明。

2023 年 10 月，在他們對自己的證明結果有了足夠的信心后，他們終于在一個有 100 多名數學家的房間里宣布了這一成果。一年后，他們將證明過程發布到網上，供整個數學界消化。曼徹斯特大學的 Radha Kessar 評價說：這是一個絕對令人驚嘆的成就。

如今，數學家們可以通過單獨研究群的 Sylow 正規化子來研究群的重要性質。

在那之后，他們兩人繼續前行，尋找他們的下一個執念。據 Britta Sp?th 透露，到目前為止，還沒有任何問題像麥凱猜想那樣深深地吸引她。「當你完成了一件大事之后，再找到面對下一件大事的勇氣和熱情就變得很困難了，有時候這真的是一場戰斗。但同時，它也賦予了你每一天的意義?！?/p>

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/