每周Quanta量子雜志都會解釋推動現代研究的最重要想法之一。本周，數學作家約瑟夫·霍利特（Joseph Howlett）討論了所謂的千禧年獎問題，數學中的一些最重要的開放問題。

圖源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志編輯）2025-2-17

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-2-18

幾個世紀以來，數學家們已經將他們的學科游戲化。公共數學競賽曾經是司空見慣的：例如，在1535年，尼科洛·豐塔納·塔爾塔利亞（Niccolò Fontana Tartaglia，1499 - 1557）和安東尼奧·菲奧爾（Antonio Maria del Fiore）交換了30個三次方程 https://www.quantamagazine.org/the-scandalous-history-of-the-cubic-formula-20220630/ ，試圖讓對方陷入困境。 （塔爾塔利亞贏得了找到這種解的一般方法。）

在20世紀，匈牙利數學家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s，1913 - 1996）喜歡提出一些猜想，并對任何能夠證明（或反駁）它們的人 https://www.quantamagazine.org/tag/erdos-conjecture/ 承諾現金獎勵。

甚至在我對純數學有了解很多之前，我還聽說過千禧年獎問題 https://www.claymath.org/millennium-problems/ ，即七個著名的問題，解決它們之一有一百萬美元的獎勵。還有哪些其他學術學科面臨懸賞賞金的公共挑戰(zhàn)呢？

千禧年獎問題由克萊數學研究所 https://www.claymath.org 于2000年建立，目的是資助和普及數學研究。這一消息可以追溯到1900年，當時大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）提出了他希望引導下一世紀數學的23個問題的清單。同樣，千禧年獎問題見證了該領域的現狀，同時又是針對未來幾個世紀的發(fā)展提出的一系列雄心勃勃的挑戰(zhàn)。

在四分之一世紀之后，七個千禧年獎問題中的六個尚未解決 - 所有七個獎項均無人領取。2003年，格里戈里·佩雷爾曼（Grigori Perelman，1966 -）證明了龐加萊（Poincaré，1854 - 1912）猜想 - 從某種意義上說，哪些三維對象與球面等價。

但是，神秘的佩雷爾曼拒絕了這筆獎金，因為他認為他的工作欠了理查德·漢密爾頓（Richard Hamilton，1943 - 2024）早期工作成果的一筆債。他對獎項的拒絕挑戰(zhàn)了對數學的一種非常普遍的體現在諸如千禧年獎之類獎項中的觀點：數學是一種個人主義的事業(yè)，由獨自工作的天才促成。

獎項的另一種批評聲音 - 俄羅斯數學家阿納托利·韋爾希克（Anatoly Vershik，1933 - 2024）聲稱，他們對金錢的關注歪曲了數學，并強化了“數學只由解決具體問題組成的黑客觀念。”他問他的同行：“數學需要如此不雅的興趣嗎？”

話說該獎項無疑提高了人們對開放數學問題和活躍研究領域的認識。這有助于給予數學家方向。當我問一位數學家為什么他們自己的研究很重要時，他們經常會找到一種將其與千禧年獎問題聯系起來的方法，因為他們知道千禧年獎問題的聲望可以在同事和數學迷眼中增強結果的意義。

剩下的六個問題涵蓋了數論、幾何、拓撲、理論計算機科學和數學物理學學科。解決它們中的任何一個都會對數學產生影響，遠大于獎金金額。盡管尚未得到回答，但它們都是穩(wěn)定的新研究的主題，并且正在不斷取得進展。

新增內容和值得注意的內容

在清單上的所有問題中，黎曼假設（RH，Riemann Hypothesis） https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY 可能是最著名的。數學家通常將其視為極其典型根本（prototypical，原型的）的數學難題。它處理數論中的重要函數，該函數編碼了質數（素數）的分布 - 許多數學家最喜歡的癡迷對象。

但是，目前似乎沒有希望能完整證明該猜想，研究人員已經取得了漸進的進展，使他們對質數的世界有了很大的了解。去年最大的數學突破 https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/ 之一使黎曼假設可能的例外數量更加受到嚴格限制。

另一個著名的千禧年獎問題圍繞納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程展開。這些方程描述了流體如何旋轉，從流過溪流和河流的水到圍繞我們并使我們活著的空氣。

在凱文·哈特內特（Kevin Hartnett）的這一出色的闡述性作品中 https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/ ，你可以找到一個信息圖，可以打開方程中每個變量的定義。但是，即使所有這些變量的角色都已充分理解，但解決此方程是絕對的數學噩夢。

數學家想知道這些方程是否在所有情況下都真正起作用，還是有時會崩潰。在2022年，研究人員（在計算機的協助下）證明，特定版本的Navier-Stokes方程更簡單的表弟：Euler歐拉方程有時會破裂（爆破） https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/ 。

最近的其他工作集中于這些解何時反映或不反映可能的物理現實（參閱 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-coax-fluid-equations-into-nonphysical-solutions-20220502/ ）。

我撰寫的上一期數學隨筆重點關注了橢圓曲線（參閱 ），這是數論學家最喜歡的工具。這些曲線上的點以美麗的方式相聯系，由被稱為曲線秩（rank）的數字所刻畫。

BSD猜想（Birch和Swinnerton-Dyer）是說，對于每條橢圓曲線，其秩也與有關曲線的重要函數（稱為L-函數）的行為相關。猜想的靈感來自計算機實驗，這揭示了許多示例曲線的驚人相關性。

為了使問題取得進展，數學家正在探測橢圓曲線和稱為模形式（modular form，參閱 https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/ ）的高度對稱方程之間的深度連接（參閱 https://www.quantamagazine.org/elliptic-curves-yield-their-secrets-in-a-new-number-system-20230706/ ）。

我沒有地方可以介紹名單上的其他猜想，但是喬丹娜·塞佩雷維奇（Jordana Cepelewicz）的Q&A問答和代數幾何學家克萊爾·瓦贊（Claire Voisin，1962 -，參閱 https://www.quantamagazine.org/a-mathematician-on-creativity-art-logic-and-language-20240313/ ）去年提及她在霍奇（Hodge）猜想上的工作。

與粒子物理學標準模型相關的楊-米爾斯問題同樣懸而未決。最后但并非最不重要的一點是，我甚至不需要提及P與NP問題 https://youtu.be/pQsdygaYcE4 ，計算機科學作家本·布魯貝克（Ben Brubaker）在這份2023年度特別報道 https://www.quantamagazine.org/complexity-theorys-50-year-journey-to-the-limits-of-knowledge-20230817/ 中以及去年的新聞通訊 https://www.linkedin.com/pulse/why-computer-scientists-study-hard-problems-quanta-magazine-uphve/ 中都有精彩報道。

網絡上的內容

我對各種脾氣暴躁的人都心懷溫柔，所以我欣賞Vershik對千禧年獎問題的批評 https://www.ams.org/notices/200701/comm-vershik.pdf ，該評論于2007年發(fā)表在美國數學會通告中。

聽到佩雷爾曼對龐加萊猜想的證明是如何奏效的，這很有趣 - 里奇（Ricci）流和手術使解決問題聽起來有點像玩游戲。詹姆斯·伊森伯格 (James Isenberg) 在這段 Numberphile 視頻中出色地解釋了里奇流。https://www.youtube.com/watch?v=hwOCqA9Xw6A

大數學史學家杰里米·格雷（Jeremy Gray）撰寫了一篇關于數學獎項（和競賽）的個人主義傳統(tǒng)的總結。https://www.ams.org/bookstore/pspdf/mprize-prev.pdf

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4866097

https://www.quantamagazine.org/the-scandalous-history-of-the-cubic-formula-20220630/

https://www.quantamagazine.org/tag/erdos-conjecture/

https://www.claymath.org/millennium-problems/

https://www.claymath.org

https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/

https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/

https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-coax-fluid-equations-into-nonphysical-solutions-20220502/

https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curves-yield-their-secrets-in-a-new-number-system-20230706/

https://www.quantamagazine.org/a-mathematician-on-creativity-art-logic-and-language-20240313/

https://youtu.be/pQsdygaYcE4

https://www.quantamagazine.org/complexity-theorys-50-year-journey-to-the-limits-of-knowledge-20230817/

https://www.linkedin.com/pulse/why-computer-scientists-study-hard-problems-quanta-magazine-uphve/

https://www.ams.org/notices/200701/comm-vershik.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=hwOCqA9Xw6A

https://www.ams.org/bookstore/pspdf/mprize-prev.pdf

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