選自Quantamagazine

作者：Joseph Howlett

機器之心編譯

數學世界充滿了無法觸及的角落，那里存在著許許多多無法解決的問題。現在，又一個角落被照亮了。

1900 年，著名數學家大衛?希爾伯特（David Hilbert）公布了一份清單，其中包含 23 個關鍵問題，并希望以此指導下個世紀的數學研究。他的問題不僅為數學領域提供了路線圖，還反映了一個更雄心勃勃的愿景 —— 建立一個堅實的基礎，使得所有數學真理都可以基于此推理出來。

這個愿景很宏大，而其中的一大關鍵是假定數學是「完備的（complete）」。也就是說，所有數學陳述都應該可以被證明為真或假。

1930 年代，庫爾特?哥德爾（Kurt G?del）證明這是不可能的：在任何數學系統中，都有既不能證明也不能證偽的陳述。幾年后，艾倫?圖靈（Alan Turing）等人基于他的工作，表明數學充斥著「不可判定（undecidable）」的陳述 —— 即任何計算機算法都無法解決的問題。

這些結果表明，證明和計算的能力存在一些根本性限制。有些數學根本無法被人知曉。

希爾伯特的夢想破滅了。但它的碎片依舊繼續存在著。他曾提出的那些問題仍會讓人想起他的愿景，使「完備數學」的理念可在更狹窄的語境下生存。

在這些問題中，第十問題是最主要的一個，其與丟番圖方程（又稱不定方程）有關。丟番圖方程是指有整數系數的多項式，例如 x2 + y2 = 5。我們很熟悉這些方程，而它們也是數學領域最核心的研究對象之一。幾千年來，數學家一直在尋找它們的整數解。例如，在這個例子中，一個解是 x = 1，y = 2（因為 12 + 22 = 5）。另一個是 x = 2，y = ?1。

大衛?希爾伯特

x2 + y2 = 3 等許多丟番圖方程卻可能沒有任何整數解。希爾伯特的第十問題是：是否總是可以判斷給定的丟番圖方程是否有整數解。是否存在一種算法可以確定每個方程的解，還是說這個問題是不可判定的？也許不可能為所有數學問題找到一種完備而系統的求解方法 —— 甚至不可能解決希爾伯特的所有 23 個問題 —— 但對于丟番圖方程，可能仍然存在一種求解方法，作為希爾伯特理想的一個微縮版本。烏得勒支大學的 Peter Koymans 說：「這個問題是那個夢想的一個非常自然的版本。」

1970 年，一位名叫 Yuri Matiyasevich 的俄羅斯數學家打破了這個夢想。他的研究表明，并不存在一種可以確定任何給定的丟番圖方程是否有整數解的通用算法—— 希爾伯特第十問題是一個不可判定的問題。你也許能夠構想出一種可以評估大多數方程的算法，但它無法適用于每一個方程。

即使在這種最簡單的數學中，也隱藏著不可知性。

Yuri Matiyasevich，攝于 1969 年

數學家們想檢驗 Matiyasevich 的結論的適用范圍。比如如果允許丟番圖方程有復數解（可以用實部和虛部寫出的數字，并且不限于整數）呢？在這種情況下，每個丟番圖方程都有一個解，而希爾伯特第十問題的答案是肯定的。但是，在解必須是整數的方程和解可以是復數的方程之間，丟番圖方程還存在很廣的范圍。

「對于整數，它是不可求解的，然后當傳遞給更大的數字系統時，可能會突然獲得可解性。」哈佛大學的 Barry Mazur 說。「但這個轉折點在哪里？」

自希爾伯特第十問題被解決以來的 50 年里，數學家們一直在尋找這個轉折點。現在，Koymans 和他的長期合作伙伴、蒙特利爾康考迪亞大學的 Carlo Pagano 以及另一組獨立研究的團隊朝著這一目標邁出了重要一步。

這兩個小組都證明，對于整數之外的大量重要數集，同樣不存在可確定任意給定的丟番圖方程是否有解的通用算法。這兩項工作不僅讓數學家能夠更精確地了解他們能知道什么和不能知道什么，還讓他們對數學中最核心的對象之一有了全新的控制水平。

• 論文標題：Hilbert's tenth problem via additive combinatorics
• 論文地址：https://arxiv.org/abs/2412.01768

• 論文標題：Rank stability in quadratic extensions and Hilbert's tenth problem for the ring of integers of a number field
• 論文地址：https://arxiv.org/abs/2501.18774

從整數開始擴展

這些新證明的核心是希爾伯特第十問題的一種自然擴展。該擴展涉及的丟番圖方程的解屬于一個與整數密切相關的數字系統。

那么，問題來了：是否存在一種算法，可以總是確定給定丟番圖方程的解是否屬于某個整數環？

Carlo Pagano

數學家猜想，對于每一個整數環（即無限多個數字系統），這個問題仍然是不可判定的。這將使該結論遠遠超出希爾伯特第十問題初始的整數范圍。

為了證明這一點，他們希望追隨原始問題的證明腳步 —— 僅涉及整數解的問題。

一般來說，不可判定性證明（確定是否存在可以回答給定問題的通用算法的證明）遵循相同的方法：證明相關問題等價于計算機科學中一個著名的不可判定問題，即停機問題（halting problem）。停機問題問的是：對于一個理想的計算設備（稱為圖靈機），當給定某個輸入時，該設備將永遠運行還是最終會停止？現在人們已經知道，并不存在一個可為每臺圖靈機解答這個問題的算法。

也可以將丟番圖方程視為計算設備。以方程 y = x2 為例。它有無窮多個整數解。只需為 x 代入不同的整數并求解 y，得到的值都屬于一個著名的整數集：完全平方數（the perfect squares）。我們很容易就能想象出一個能執行其等價任務的計算機程序（即圖靈機）：「計算完全平方數的序列」。

其它丟番圖方程也可以編碼成其它類型的計算。

Julia Robinson

為了解決希爾伯特最初的第十問題，數學家們以這個想法為基礎開始了研究。Julia Robinson 等人于 1950 年左右開始研究，最終匯集成了 1970 年 Matiyasevich 的成果。研究結果表明，對于每個圖靈機，都有一個對應的丟番圖方程。「這完全出乎意料，」智利天主教大學的 Hector Pasten 說。「基于整數的丟番圖方程足以定義你能想象到的任何東西。」

此外，數學家們還建立了一種優雅的對應關系：如果圖靈機因給定輸入而停止，其對應的丟番圖方程將有一個整數解。如果圖靈機永遠運行，其對應的丟番圖方程將沒有解。但這意味著希爾伯特第十問題編碼了停機問題：如果一種算法可以根據是否有整數解對丟番圖方程進行分類，那么該算法也可用于根據是否會停機對圖靈機進行分類。

換句話說，希爾伯特第十問題是不可判定的。

數學家們希望采用同樣的方法來證明該問題擴展的整數環版本 —— 但他們遇到了一個障礙。

將研究成果黏合起來

但在 1988 年，紐約大學的一名研究生 Sasha Shlapentokh 開始想辦法解決這個問題。到 2000 年，她和其他一些研究者制定了一個計劃。假設你要為 y = x2 添加一些其它項，從而可迫使 x 再次為整數，即便要使用不同的數字系統。然后，你可以挽救與圖靈機的對應關系了。那所有丟番圖方程都可以這樣做嗎？如果可以，那就意味著希爾伯特問題可以在新的數字系統中編碼停機問題。

多年來，Shlapentokh 等數學家弄清楚了他們必須在各種環的丟番圖方程中添加哪些項，這使他們能夠證明希爾伯特問題在這些設置下仍然無法判定。然后，他們將所有剩余的整數環歸結為一種情況：涉及虛數 i 的環。數學家們意識到，在這種情況下，必須添加的項可以使用一類名為橢圓曲線（elliptic curve）的特殊方程來確定。

但橢圓曲線必須滿足兩個屬性。首先，它需要有無限多個解。其次，如果切換到不同的整數環 —— 如果從數字系統中移除虛數 —— 那么該橢圓曲線的所有解都必須保持相同的底層結構。

事實證明，構建這樣一條適用于所有剩余環的橢圓曲線是一項極其微妙和困難的任務。但 Koymans 和 Pagano—— 從研究生階段就開始就密切合作的橢圓曲線專家 —— 擁有合適的工具集來進行嘗試。

許多個不眠之夜

從本科開始，Koymans 就一直在思考希爾伯特第十問題。在就讀研究生以及在與 Pagano 合作期間，這個問題一直在召喚他。「我每年都會花幾天時間思考這個問題，但總是陷入困境，」Koymans 說。「我嘗試了三種方法，但它們都失敗了。」

2022 年，在加拿大班夫舉行的一次會議上，他和 Pagano 最終聊到了這個問題。他們希望能夠一起構建出解決這個問題所需的特殊橢圓曲線。在完成了其它一些項目后，他們開始了研究。

Peter Koymans

他們從一個簡單的橢圓曲線方程開始，這個方程不滿足任何所需的屬性。他們知道他們可以使用一種名為二次扭曲（quadratic twist，這是他們已經研究了近十年的東西）的成熟技術來調整方程，使其滿足第一個條件。他們只需將方程的一個變量乘以一個特定的數字，他們就會得到一條有無限多個解的新橢圓曲線。

但這給他們留下了一個問題。他們無法保證這條新曲線滿足第二個性質 —— 對于相差一個虛數的環，其解看起來會很相似。數學家們需要更好地控制二次扭曲。

他們陷入困境。「我有一種不好的感覺，」Koymans 說。「我開始懷疑我們遺漏了什么東西。」

然后，在 2024 年夏天，在研究另一個問題時，兩人不得不再次使用二次扭曲。一天晚上，在這項研究過程中，科伊曼斯發現自己躺在床上睡不著，無法停止思考希爾伯特第十問題。

Koymans 意識到，另一項工作給了他們一個重要的提示，即那些有時會出現的奇怪且驚人的數學一致性（mathematical concordance）：如果他們在二次扭曲中使用的數字恰好是三個素數的乘積，則他們就會獲得保證第二個性質所需的控制權。但是，由于他們的橢圓曲線必須精心構建并滿足許多規范，因此對這三個素數的取值有很多額外的限制。Koymans 和 Pagano 能找到可行的素數嗎 —— 不管對于哪個整數環？

幾天后，Pagano 碰巧計劃訪問當時 Koymans 工作的瑞士蘇黎世聯邦理工學院。接下來的一周，他們一起在黑板上努力尋找滿足所有限制的素數。最后，他們發現必須使用四個素數而不是三個素數來構建所需的二次扭曲。這使得他們能夠應用一種來自完全不同的數學領域的方法，即加性組合學（additive combinatorics），以確保每個環都存在正確的素數組合。

這就是最后一部分：他們構建了所需的橢圓曲線。它為他們提供了向丟番圖方程添加項所需的方法，這使他們能夠將圖靈機（以及停機問題）編碼到這些方程中，而不管他們使用什么數字系統。一切都解決了。希爾伯特第十問題對于每個整數環都是不可判定的。

上周四，在 Koymans 和 Pagano 在線發布他們的論文不到兩個月后，結果得到了進一步鞏固。一個由四名數學家組成的獨立團隊宣布了對同一結果的新證明。他們沒有尋找特殊的橢圓曲線，而是依靠一種不同類型的方程來完成同樣的工作。

這兩個團隊都希望利用他們的技術（這些技術使他們對橢圓曲線和相關方程有了前所未有的控制）在其他問題上取得進展。普林斯頓大學數學家、第二個證明的作者之一 Manjul Bhargava 說：「這兩種方法有可能結合起來做更多的事情。」

與此同時，對不可判定性終結以及可判定性開始的位置的探索尚未結束：數學家們正在新的環境中繼續探索希爾伯特第十問題。

蒙特利爾大學的 Andrew Granville 認為，這只是眾多問題中的一個，這些問題「反映了世界哪些部分為真的哲學方面」。

所有知識都有極限。Granville 說：「它提醒我們，有些事情是無法做到的 —— 無論你是誰，無論你有怎樣的身份或才智。」

https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/