本月主題：

1. 古代算術(shù)錯(cuò)誤

2. 翻花繩游戲中的紐結(jié)理論

3. 《科學(xué)美國(guó)人》中的ζ(3)

作者：Tony Phillips（石溪大學(xué)數(shù)學(xué)教授）2025-1-30

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-2-6

1. 古代算術(shù)錯(cuò)誤

Kristina Killgrove的文章《巴比倫泥板保存了學(xué)生4000年前的幾何學(xué)錯(cuò)誤》于12月2日發(fā)表在LiveScience上 https://www.livescience.com/archaeology/babylonian-tablet-preserves-students-4-000-year-old-geometry-mistake 。Killgrove講述了牛津阿什莫林博物館保存的一塊小泥板。這塊泥板于1931年在基什（Kish，今伊拉克）出土，可追溯到古巴比倫時(shí)期（公元前1900年至公元前1600年）。Killgrove告訴我們，這是“那次挖掘中發(fā)現(xiàn)的二十多個(gè)古代巴比倫數(shù)學(xué)作業(yè)之一”。

阿什莫林博物館1931.91號(hào)泥板的照片（直徑3.2英寸）及其謄抄

照片：Zunkir通過(guò)Wikimedia Commons維基共享資源CC BY-SA 4.0

謄抄：Eleanor Robson

解讀這塊泥板上的銘文可以讓我們了解古巴比倫的計(jì)數(shù)系統(tǒng)；特別是，學(xué)生的錯(cuò)誤揭示了該系統(tǒng)的一個(gè)主要缺陷。

當(dāng)時(shí)基什的數(shù)學(xué)愛(ài)好者使用了一種以60為基數(shù)的位值系統(tǒng)（類似于我們的十進(jìn)制，但“數(shù)字”從1到59）。數(shù)字本身是用楔形文字書寫的，采用了一種本質(zhì)上是十進(jìn)制的表示法。

在這位學(xué)生的書寫中，垂直的錐形符號(hào)表示1，對(duì)角線符號(hào)表示10；因此，在泥板的左側(cè)，我們讀到1 52 30。這對(duì)應(yīng)于1×602+52×60+30，即我們十進(jìn)制表示法中的6750，表示三角形的底邊長(zhǎng)度。

同樣，在三角形上方，學(xué)生寫下了3 45，即3×60+45或十進(jìn)制的225；傳統(tǒng)上，這個(gè)數(shù)字表示三角形的高度。三角形內(nèi)的數(shù)字應(yīng)與其面積對(duì)應(yīng)，即底邊長(zhǎng)乘以高度的一半，十進(jìn)制中為6750×225/2=759375，相當(dāng)于3×216000+30×3600+56×60+15；因此，以60為基數(shù)，面積為3 30 56 15。

但學(xué)生在三角形內(nèi)寫下的第二個(gè)“數(shù)字”是8。下一個(gè)數(shù)字大部分被遮擋，最后一個(gè)數(shù)字以5結(jié)尾。這顯然是不正確的（而污跡可能是老師打的紅色叉號(hào)）。在這個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算中，可能出了什么問(wèn)題？

Eleanor Robson是一位研究古巴比倫數(shù)學(xué)的英國(guó)專家，她于2004年在SCIAMVS期刊上發(fā)表了這塊泥板的研究 https://sciamvs.org/files/SCIAMVS_05_003-065_Robson.pdf ；文章中她通過(guò)逆向工程分析了學(xué)生的答案，找出了錯(cuò)誤的來(lái)源。她的猜測(cè)是：古巴比倫人缺乏表示零的符號(hào)。當(dāng)零出現(xiàn)在多位數(shù)字中時(shí)，巴比倫人只是留空。

在Robson的分析中，學(xué)生可能會(huì)將1 52 30分解為1 00 00 + 50 00 + 2 00 + 30，并將這些數(shù)字與3 45分別相乘后相加。這給出了1 52 30×3 45=3 45 00 00+3 7 30 00+7 30 00+1 52 30。但要正確相加，60的相同冪次必須對(duì)齊，因此學(xué)生應(yīng)該在某個(gè)地方寫下如下內(nèi)容：（我用下劃線_表示空白。）

將其除以 2 得到正確答案 3 30 56 15。

在Robson的重建中，學(xué)生將第一個(gè)乘積誤抄為3_45_，并得到了

將其除以2得到3 8 48 45，這與泥板上可讀到的答案一致。

這顯然是一個(gè)非常容易犯的錯(cuò)誤：如果兩個(gè)連續(xù)“數(shù)字”之間的空格稍大些，它可能會(huì)被讀作零。古巴比倫人能使用這種潛在風(fēng)險(xiǎn)的符號(hào)系統(tǒng)長(zhǎng)達(dá)多個(gè)世紀(jì)（直到公元前300年左右）的原因之一可能是他們的基數(shù)較大。在我們當(dāng)今的數(shù)字中，平均每10個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是零，而在以60為基數(shù)的系統(tǒng)中，這一概率僅為60分之一。

2. 翻花繩游戲中的紐結(jié)理論

12月4日發(fā)表在《英國(guó)皇家學(xué)會(huì)界面雜志》Journal of the Royal Society Interface 上的一篇文章使用紐結(jié)理論的符號(hào)和概念對(duì)翻花繩圖案進(jìn)行分類，并研究其地理分布 https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsif.2024.0673 。

翻花繩（string figures，翻線戲，翻繩兒，挑繃子）是一種游戲，涉及用雙手的十根手指編織一個(gè)長(zhǎng)繩圈。根據(jù)作者的說(shuō)法，它們是“全球文化傳統(tǒng)中最常見(jiàn)的娛樂(lè)形式之一”。“Cat’s Cradle”（字面意思，貓的搖籃）是英語(yǔ)國(guó)家中的一種變體。最廣泛的翻花繩圖案之一是“雅各布的梯子”。

翻花繩圖案示例：一個(gè)類似于梯子的翻花繩圖案，帶有多個(gè)橫檔

雅各布的梯子翻花繩圖案出現(xiàn)在六大洲的土著文化中。關(guān)于其構(gòu)造，請(qǐng)參見(jiàn)此視頻 https://www.youtube.com/watch?v=Vd5erYjjEhI&list=PLc7bqVSkVAp6MkSiFzEymh10NN-bY6EXc&index=4 。圖片來(lái)自《皇家學(xué)會(huì)界面雜志》補(bǔ)充表 1，CC BY 4.0許可使用。

翻花繩的復(fù)雜性和特異性使其像語(yǔ)言一樣，成為一種代代相傳的文化標(biāo)志。它們長(zhǎng)期以來(lái)一直吸引著人類學(xué)家的注意——文章中包括阿爾弗雷德·拉塞爾·華萊士（Alfred Russel Wallace）的描述，他在1860年左右在馬來(lái)群島的一個(gè)雨天向一些年輕的達(dá)雅克部落成員展示了“翻花繩”。

（“令我驚訝的是，他們對(duì)此了如指掌，甚至比我懂得更多。”）但要系統(tǒng)地比較來(lái)自遙遠(yuǎn)文化的例子，科學(xué)家需要一種可靠的方法來(lái)編碼翻花繩圖案。直到現(xiàn)在，還沒(méi)有這樣的編碼。

這篇新文章提出了一種解決方案：“高斯碼”，它可以從圖案的二維圖形中計(jì)算出來(lái)。高斯碼用于數(shù)學(xué)中的紐結(jié)研究，但它同樣適用于研究復(fù)雜的無(wú)結(jié)環(huán)，如翻花繩圖案；它最早出現(xiàn)在卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777 - 1855）的遺稿中，可追溯到1840年左右。

卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777 - 1855）

一個(gè)平面投影的環(huán)（無(wú)論是否打結(jié)）的高斯碼記錄如下：選擇一個(gè)起點(diǎn)和沿環(huán)的旅行方向。從起點(diǎn)開(kāi)始沿該方向追蹤環(huán)，并在第一次遇到每個(gè)交叉點(diǎn)時(shí)編號(hào)。完成后，你就可以寫下高斯碼了。為此繼續(xù)進(jìn)行下去，完成一次完整的遍歷。

這將涉及每個(gè)交叉點(diǎn)兩次：一次是在下方穿過(guò)，另一次是在上方穿過(guò)。當(dāng)你沿著環(huán)移動(dòng)時(shí)，記錄遇到的數(shù)字，但如果在該交叉點(diǎn)下方穿過(guò)，則加上負(fù)號(hào)。

對(duì)于一個(gè)有n個(gè)交叉點(diǎn)的圖案，你將得到一個(gè)包含2n個(gè)整數(shù)的字符串，每個(gè)整數(shù)在字符串中出現(xiàn)兩次，一次帶負(fù)號(hào)，一次不帶負(fù)號(hào)。這就是高斯碼。請(qǐng)注意，你記錄的代碼取決于你選擇的起點(diǎn)和方向。對(duì)于一個(gè)有n個(gè)交叉點(diǎn)的圖案，最多可以有2n個(gè)不同的代碼——2種可能的方向乘以n種起點(diǎn)選擇。

示例圖案，從左到右：a. 有三個(gè)交叉點(diǎn)的三葉結(jié)，右上交叉點(diǎn)為上交叉。b. 右上交叉點(diǎn)為下交叉的三葉結(jié)。c. 有四個(gè)交叉點(diǎn)的八字結(jié)。

右手（a）和左手（b）三葉結(jié)以及八字結(jié)（c）的高斯碼。

在所示的起點(diǎn)和方向選擇下，兩個(gè)三葉結(jié)的高斯碼相同：1 -2 3 -1 2 -3。

（一般來(lái)說(shuō)，鏡像圖案具有相同的高斯碼。這對(duì)于研究翻花繩圖案來(lái)說(shuō)不是問(wèn)題，因?yàn)橥粋€(gè)翻花繩圖案可以被編織者看到，也可以被觀眾舉起檢查。）

對(duì)于八字結(jié)，高斯碼為1 -2 3 -1 4 -3 2 -4。

圖源：Tony Phillips

《界面》文章的作者檢查了來(lái)自92個(gè)不同文化群體的826個(gè)翻花繩圖案，并使用高斯碼進(jìn)行比較。但一個(gè)翻花繩圖案可以有多個(gè)高斯碼的事實(shí)帶來(lái)了一個(gè)問(wèn)題。如果兩個(gè)圖案相同但分配了不同的代碼，它們的相似性將被忽略。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，作者為一個(gè)有n個(gè)交叉點(diǎn)的翻花繩圖案分配了所有2n個(gè)可能的代碼。這個(gè)包含2n個(gè)代碼的整數(shù)字符串被稱為圖案的“高斯碼序列”。

“雅各布的梯子”示例

雅各布的梯子，交叉點(diǎn)按順時(shí)針編號(hào)。對(duì)于圖中所示的起點(diǎn)和起始方向，雅各布的梯子的高斯碼為 -1 2 -3 4 5 -6 7 -8 -9 10 -11 -12 13 14 -15 16 -17 18 -4 3 19 -20 -2 1 21 -22 23 24 -25 -26 27 17 -16 -13 12 11 -10 9 8 -7 -14 15 6 -5 -18 -27 26 -19 20 25 -24 -23 22 -21。

圖片來(lái)自上述《界面》文章的補(bǔ)充信息，CC BY 4.0 許可使用

有了一個(gè)明確表示每個(gè)翻花繩圖案的數(shù)值標(biāo)記，作者可以機(jī)械地掃描整個(gè)語(yǔ)料庫(kù)，尋找完全或部分匹配。他們發(fā)現(xiàn)了83類重復(fù)設(shè)計(jì)；826個(gè)圖案中有380個(gè)屬于這些類別之一，其中7個(gè)類別包含10個(gè)或更多個(gè)體圖案。

作者評(píng)論道：“一些翻花繩設(shè)計(jì)的廣泛分布不僅反映了這種實(shí)踐的深厚淵源，還反映了特定設(shè)計(jì)的深厚淵源。”

作者特別關(guān)注了雅各布的梯子，它出現(xiàn)在六大洲的26個(gè)不同文化群體中。他們做出了以下觀察：

雅各布的梯子非常復(fù)雜，比一般的翻花繩圖案復(fù)雜得多；其構(gòu)造以“一個(gè)不尋常的擴(kuò)展動(dòng)作……新手通常覺(jué)得不直觀且難以執(zhí)行”結(jié)束。

大多數(shù)雅各布的梯子都是用完全相同的步驟序列制作的。這與一般的翻花繩圖案不同。特別是，在所有檢查的樣本中，第一個(gè)動(dòng)作對(duì)是用右手先執(zhí)行的。此外，在除一個(gè)樣本外的所有樣本中，該動(dòng)作是用中指完成的，而食指同樣可以完成。

如果該設(shè)計(jì)在多個(gè)地點(diǎn)獨(dú)立演化，人們會(huì)期望出現(xiàn)各種形式——“偽雅各布的梯子”，它們看起來(lái)幾乎相同。語(yǔ)料庫(kù)中包含了一些偽雅各布的梯子，但比獨(dú)立演化預(yù)期的要少得多。

他們得出結(jié)論：“雅各布的梯子在文化中的普遍性、復(fù)雜性和一致性表明了一個(gè)共享且可能非常古老的淵源”，并建議它和其他翻花繩圖案“可能深深編織在人類進(jìn)化的結(jié)構(gòu)中”。

3. 《科學(xué)美國(guó)人》中的ζ(3)

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）證明了驚人的恒等式

1+1/22+1/32+?=π2/6

伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826 - 1866）將其推廣到對(duì)

1+1/2?+1/3?+?

的研究，其中x是任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。黎曼用ζ(x)表示這個(gè)和，定義了“黎曼zeta函數(shù)”。這個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)的核心中占據(jù)了特殊的位置。

它的復(fù)根是黎曼假設(shè)的主題，可能是我們這個(gè)時(shí)代最著名的未解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)值證據(jù)壓倒性地表明該假設(shè)是正確的，但沒(méi)有人能夠證明它。其證明將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，特別是在數(shù)論中，因?yàn)樵摷僭O(shè)與素?cái)?shù)的分布密切相關(guān)。

在黎曼的符號(hào)中，歐拉的恒等式是ζ(2)=π2/6 。歐拉還給出了ζ(4)、ζ(6)、ζ(8) 等類似但更復(fù)雜的公式——即ζ(x)在偶數(shù)x處的值。這些值總是（有理數(shù)）×（π的冪）的形式。由于π是已知的超越數(shù)，這些都是無(wú)理數(shù)。

這就剩下了關(guān)于ζ(x)在奇數(shù)x處的值的問(wèn)題。自?shī)W雷斯姆（Oresme，約1320 - 1382）以來(lái)，人們就知道調(diào)和級(jí)數(shù)1+1/2+1/3+?的和，即ζ(1)，沒(méi)有有限的極限，但ζ(3)呢？該級(jí)數(shù)是收斂的；

除此之外一無(wú)所知，直到1978 年，羅杰·阿佩里（Roger Apéry，1916-1994）宣布他證明了ζ(3)實(shí)際上是無(wú)理數(shù)。Manon Bischoff在《Spektrum der Wissenschaften》上發(fā)表的一篇文章（由《科學(xué)美國(guó)人》于2024年12月19日翻譯并發(fā)表 https://www.spektrum.de/kolumne/die-apery-konstante-bringt-mathematiker-zur-verzweiflung/2242671 ）回顧了阿佩里分享他成就的會(huì)議。其副標(biāo)題稱那次場(chǎng)合是“數(shù)學(xué)史上最奇怪的事件之一”。

Bischoff將阿佩里描述為“一位當(dāng)時(shí)相對(duì)不知名且年過(guò)六旬的法國(guó)數(shù)學(xué)家”。事實(shí)上，阿佩里在非常輝煌的起步之后（他是巴黎高等師范學(xué)院的畢業(yè)生，曾在法國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)Agrégation考試中并列第一名），當(dāng)時(shí)他61歲，在一所省級(jí)大學(xué)研究意大利風(fēng)格的代數(shù)幾何問(wèn)題，這是一個(gè)當(dāng)時(shí)相當(dāng)不流行的領(lǐng)域。（參見(jiàn)MacTutor了解完整的傳記。https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apery/ ）

他的演講對(duì)他討論的情況并沒(méi)有太多幫助。根據(jù)Bischoff的描述，第一個(gè)項(xiàng)目是“以前未知的”級(jí)數(shù)表示ζ(3)。當(dāng)阿佩里被問(wèn)及此事時(shí)，據(jù)說(shuō)他聲稱這樣的公式“在我的花園里生長(zhǎng)”。

那次講座由荷蘭-澳大利亞數(shù)論學(xué)家阿爾弗雷德·范德波爾滕（Alfred van der Poorten，1942 - 2010）參加，他為《數(shù)學(xué)情報(bào)員》Mathematical Intelligencer 寫了一篇詳細(xì)的“非正式報(bào)告” https://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf ：“盡管之前有報(bào)道稱他聲稱有一個(gè)證明，但遭受普遍懷疑。

這次講座傾向于加強(qiáng)這種觀點(diǎn)，甚至到了完全不相信的地步。”但范德波爾滕接著稱，同樣在場(chǎng)的亨利·科恩（Henri Cohen，現(xiàn)為波爾多榮譽(yù)退休教授）理解了要點(diǎn)，并在當(dāng)晚晚些時(shí)候說(shuō)服他“阿佩里教授確實(shí)找到了一個(gè)非常神奇且壯觀的ζ(3)的無(wú)理性證明。”（他還告訴我們，阿佩里的不太可能的級(jí)數(shù)表達(dá)式實(shí)際上“相當(dāng)知名”，并已出現(xiàn)在印刷品中。）

除了對(duì)zeta函數(shù)歷史的簡(jiǎn)要介紹外，Bischoff還提到了它在量子物理學(xué)中非常有趣的幽靈般的顯現(xiàn)，其中這個(gè)常數(shù)扮演了一個(gè)特殊角色。更多細(xì)節(jié)請(qǐng)參見(jiàn)Walter Dittrich（蒂賓根Tübingen）在2019年Universe報(bào)告中的結(jié)尾部分 https://s3.cern.ch/inspire-prod-files-4/4f64f3764c9f5a66adf7ea293e86881a ，他寫道，數(shù)字ζ(3)“對(duì)于在QED（量子電動(dòng)力學(xué)）中進(jìn)行計(jì)算的人們來(lái)說(shuō)具有巨大的價(jià)值，例如電子（和μ子）反常磁矩的二階和三階（在α中）輻射修正，這是物理學(xué)中測(cè)量和計(jì)算最精確的數(shù)字之一。”

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-december-2024/

https://www.livescience.com/archaeology/babylonian-tablet-preserves-students-4-000-year-old-geometry-mistake

https://sciamvs.org/files/SCIAMVS_05_003-065_Robson.pdf

https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsif.2024.0673

https://www.youtube.com/watch?v=Vd5erYjjEhI&list=PLc7bqVSkVAp6MkSiFzEymh10NN-bY6EXc&index=4

https://www.spektrum.de/kolumne/die-apery-konstante-bringt-mathematiker-zur-verzweiflung/2242671

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apery/

https://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf

https://s3.cern.ch/inspire-prod-files-4/4f64f3764c9f5a66adf7ea293e86881a

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