一項(xiàng)新的證明標(biāo)志了在解決掛谷猜想方面取得了重大進(jìn)展，掛谷猜想是一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，但卻是一系列猜想的基礎(chǔ)。

作者：Jordana Cepelewicz（量子雜志數(shù)學(xué)編輯）2023-7-11

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-1-29

1917年，日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了一個(gè)乍看只不過是個(gè)有趣的幾何練習(xí)的問題。將一根無(wú)限細(xì)、一寸長(zhǎng)的針放在平坦的表面上，然后旋轉(zhuǎn)它，使其指向各個(gè)方向。針可以掃過的最小面積是多少？

如果你簡(jiǎn)單地圍繞它的中心旋轉(zhuǎn)它，你就會(huì)得到一個(gè)圓。但可以用創(chuàng)造性的方式來(lái)改變方向，這樣你劃出的地方就可以更小。此后，數(shù)學(xué)家提出了這個(gè)問題的一個(gè)相關(guān)版本，稱為掛谷猜想（Kakeya conjecture）。

在嘗試解決這個(gè)問題的過程中，他們發(fā)現(xiàn)了該猜想與調(diào)和分析 https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/ 、數(shù)論甚至物理學(xué)的驚人聯(lián)系。

“不知何故，這種指向許多不同方向的線條的幾何形狀在很大比例的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中無(wú)處不在。”愛丁堡大學(xué)的喬納森·希克曼（Jonathan Hickman）說(shuō)。

但這也是數(shù)學(xué)家們?nèi)晕赐耆斫獾臇|西。在過去的幾年里，他們?cè)诟?jiǎn)單的設(shè)置中證明了掛谷猜想的變體 https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/ ，但在正常的三維空間中這個(gè)問題仍然沒有得到解決。盡管后來(lái)有許多數(shù)學(xué)成果，但一段時(shí)間以來(lái)，該版本的猜想似乎所有進(jìn)展都停滯了。

現(xiàn)在，可以說(shuō)，兩位數(shù)學(xué)家已經(jīng)取得了重大進(jìn)展。他們的新證明 https://arxiv.org/abs/2210.09581 消除了幾十年來(lái)一直存在的一個(gè)主要障礙——重新燃起了最終出現(xiàn)可能解的希望。

最小的樣子？

掛谷對(duì)平面中每個(gè)方向都包含長(zhǎng)度為1的線段的集合感興趣。這樣的集合有很多例子，最簡(jiǎn)單的是直徑為1的圓盤。掛谷想知道最小的這種集合會(huì)是什么樣子。

他提出了一個(gè)邊稍微凹陷的三角形，稱為三角旋輪線（deltoid，又稱tricuspoid三尖瓣線，Steiner曲線），它的面積是圓盤的一半。然而事實(shí)證明，還可以做得更好。

右側(cè)的三角旋輪線是圓盤大小的一半，并且兩根針都在各個(gè)方向旋轉(zhuǎn)

圖源：Merrill Sherman|Quanta

1919年，就在掛谷提出問題幾年后，俄羅斯數(shù)學(xué)家艾布拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch，1891 - 1970）證明，如果你以一種非常特殊的方式排列你的針，可以構(gòu)造一個(gè)看起來(lái)有刺的集合，它的面積是任意小的。（由于第一次世界大戰(zhàn)和俄國(guó)革命，他的成果在很多年內(nèi)都沒有傳到數(shù)學(xué)界的其他地方。）

要了解其工作原理，請(qǐng)取一個(gè)三角形并沿著底部將其分成更薄的三角形。然后滑動(dòng)這些薄片，使它們盡可能重疊，但突出的方向略有不同。

通過一遍又一遍地重復(fù)這個(gè)過程——將你的三角形細(xì)分成越來(lái)越薄的薄片，并小心地在空間中重新排列它們——可以使你的集合盡可能地小。

在無(wú)限的極限中，你可以獲得一個(gè)在數(shù)學(xué)上沒有面積的集合，但矛盾的是，它仍然可以容納任何指向的針。

“這有點(diǎn)令人驚訝和違反直覺，”加州大學(xué)伯克利分校的張瑞祥說(shuō)。“這是一個(gè)非常病態(tài)的集合。”

該結(jié)果可以推廣到更高的維度：可以構(gòu)建一個(gè)任意小的體積的集合，該集合包含指向n維空間中各個(gè)方向的單位線段。

日本數(shù)學(xué)家Sōichi Kakeya（掛谷宗一）問，指向所有可能的方向時(shí)，針頭可以掃過多大的面積

圖源：東京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究生院

貝西科維奇似乎已經(jīng)完全解決了掛谷的問題。但是幾十年后，數(shù)學(xué)家開始處理另一個(gè)版本的問題，在該問題中，他們以不同的大小概念替換了面積（或在高維情況下的體積）。

要了解這個(gè)問題的重新構(gòu)造，請(qǐng)首先將每條線段放入掛谷集合，然后將其稍微變厚一點(diǎn) —— 就好像你在使用實(shí)際的針，而不是理想化的針頭一樣。在平面上，你的集合將由極其薄的矩形組成。在三維空間中，你將得到極其薄的管狀集合。

這些稍稍厚一點(diǎn)的集合始終具有一定的面積（或體積，但我們?nèi)杂懻摱S情況）。當(dāng)你更改針的寬度時(shí)，該面積將會(huì)改變。在1970年代，數(shù)學(xué)家羅伊·戴維斯（Roy Davies，1927 - 2023，上個(gè)月去世）證明，如果總面積發(fā)生少量變化，則針的寬度必須大幅變化。

例如，如果你希望貝西科維奇集合的厚版本的面積為1/10平方英寸，則針的厚度都必須大約為0.000045英寸，精確地講是e?1?英寸。但是，如果你想使總面積變成1/100平方英寸（小10倍），則針必須為e?1??英寸厚（小數(shù)點(diǎn)之后在到達(dá)其他數(shù)字之前有43個(gè)零）。

普林斯頓大學(xué)的查爾斯·費(fèi)弗曼（Charles Fefferman）說(shuō)：“如果你告訴我你想要的面積有多小，那么我就必須要求得到一根細(xì)得令人難以置信的針。”

數(shù)學(xué)家使用稱為閔可夫斯基（Minkowski）維數(shù)的量來(lái)測(cè)量掛谷集的“大小”，該量與普通維數(shù)（定義為描述一個(gè)空間所需的獨(dú)立方向的數(shù)量）相關(guān)，但并不完全相同。

這種形狀，如果發(fā)展到極端，其面積可以是零，但其內(nèi)部的針頭卻可以指向各個(gè)方向

圖源：Merrill Sherman|Quanta

以下是考慮Minkowski維數(shù)的一種方法：將你的集合用微小的球蓋住它，每個(gè)球的直徑是你偏好的單位的一百萬(wàn)分之一。如果你的集合是一個(gè)長(zhǎng)度為1的線段，則你至少需要100萬(wàn)個(gè)球才能覆蓋它。

如果你的集合是面積為1的正方形，你將需要更多球的個(gè)數(shù)：100萬(wàn)的平方即1萬(wàn)億（trillion）。對(duì)于覆蓋體積為1的球體，這時(shí)所需小球的個(gè)數(shù)約為100萬(wàn)的立方（百億億個(gè)，quintillion），依此類推。

Minkowski維數(shù)是該指數(shù)的值。隨著每個(gè)球的直徑變小，它度量著你需要用來(lái)覆蓋你的集合的球數(shù)增長(zhǎng)速率。線段是1維，正方形是2維，立方體是3維。

這些維度很熟悉。但是使用Minkowski的定義，可以構(gòu)造一個(gè)譬如2.7維的集合。盡管這樣的集合并不能填滿三維空間，但在某種意義上，它比二維表面“更大”。

當(dāng)你用給定直徑的球覆蓋一個(gè)集合時(shí)，你將逼近該集合厚版本的體積。針的大小和集合的體積減小得越慢，覆蓋所需的球數(shù)就越多。

因此，你可以重寫Davies的結(jié)果（斷言平面上的掛谷集面積是緩慢減小的），從而證明該集合必須具有Minkowski維數(shù)2。掛谷猜想將此結(jié)論推廣到更高的維度：掛谷集必須始終具有與所居住空間相同的維數(shù)。

這個(gè)簡(jiǎn)單的命題卻出人意料地難以證明。

猜想之塔

直到費(fèi)弗曼在1971年進(jìn)行了驚人的發(fā)現(xiàn) https://www.jstor.org/stable/1970864?origin=JSTOR-pdf ，掛谷猜想被視為一個(gè)罕見奇聞。

當(dāng)時(shí)他正在研究一個(gè)完全不同的問題。他想了解傅里葉變換（Fourier transform），這是一種強(qiáng)大的工具，可以讓數(shù)學(xué)家通過將函數(shù)寫成正弦波之和來(lái)研究函數(shù)。

想象一個(gè)音符，它由許多重疊的頻率組成。（這就是鋼琴上的中音C聽起來(lái)與小提琴上的中音C不同的原因。）傅里葉變換允許數(shù)學(xué)家計(jì)算特定音符的組成頻率。同樣的原理也適用于像人類語(yǔ)音這樣復(fù)雜的聲音。

數(shù)學(xué)家還想知道，如果只給出無(wú)限多個(gè)組成頻率中的一些頻率，他們是否可以重建原始函數(shù)。他們非常了解如何在一維上做到。

但在更高的維度中，他們可以對(duì)使用哪些頻率和忽略哪些頻率做出不同的選擇。令其同事驚訝的是，費(fèi)弗曼證明，當(dāng)依賴一種特別眾所周知的選擇頻率的方式時(shí)，你可能無(wú)法重建你的函數(shù)。

他的證明取決于通過修改貝西科維奇的掛谷集構(gòu)造一個(gè)函數(shù)。這后來(lái)激發(fā)了數(shù)學(xué)家對(duì)傅立葉變換高維行為的一層層猜想。

如今，該層次結(jié)構(gòu)甚至包括有關(guān)物理學(xué)中重要偏微分方程（例如薛定諤方程）行為的猜想。層次結(jié)構(gòu)中的每一個(gè)猜想都會(huì)自動(dòng)蘊(yùn)含其下面的猜想。

掛谷猜想就位于這座塔的底部。如果它為假，則層次結(jié)構(gòu)中較高的命題也為假。另一方面，證明它是正確的并不會(huì)立即蘊(yùn)含位于它上層的猜想為真，但可能提供了攻克它們的工具和洞察。

“掛谷猜想的驚人之處在于，這不僅是一個(gè)有趣的問題；它是一個(gè)真正的理論瓶頸，”希克曼說(shuō)。“我們不了解偏微分方程和傅立葉分析中的很多這些現(xiàn)象，因?yàn)槲覀儾涣私膺@些掛谷集。”

孵化計(jì)劃

費(fèi)弗曼的證明，以及隨后發(fā)現(xiàn)與數(shù)論、組合和其他領(lǐng)域的聯(lián)系，恢復(fù)了頂級(jí)數(shù)學(xué)家們對(duì)掛谷問題的興趣。

1995年，Thomas Wolff（托馬斯·沃爾夫，1954 - 2000）證明了3維空間中掛谷集的Minkowski維數(shù)必須至少為2.5。事實(shí)證明，這個(gè)下限很難提高。

然后，在1999年，數(shù)學(xué)家Nets Katz（內(nèi)茨·卡茨，1972 -）、Izabella ?aba（伊莎貝拉·拉巴，1966 -）和Terence Tao（陶哲軒，1975 -）成功攻克了它。

他們的新下界是：2.500000001。盡管改進(jìn)很小，但它克服了巨大的理論障礙。他們的論文發(fā)表在該領(lǐng)域最負(fù)盛名的期刊《數(shù)學(xué)年鑒》Annals of Mathematics上。 https://www.jstor.org/stable/2661389

卡茨和陶哲軒后來(lái)希望應(yīng)用該工作中的一些想法，以不同的方式攻克3維掛谷猜想。他們假設(shè)任何反例必須具有三個(gè)特別的性質(zhì)，并且這些特性的共存必然導(dǎo)致矛盾。如果他們能證明這一點(diǎn)，那意味著掛谷猜想在3維上是正確的。

他們沒有一路前進(jìn)，但確實(shí)取得了一些進(jìn)步。特別是，他們（與其他數(shù)學(xué)家一起）證明，任何反例必須具有三個(gè)性質(zhì)中的兩個(gè)。即反例必須是“平坦的”（plany），這意味著每當(dāng)線段在某一點(diǎn)相交時(shí)，這些線段也幾乎位于同一平面。反例也必須是“顆粒狀的”（grainy），即要求交點(diǎn)附近的平面具有類似的朝向。

這就剩下第三個(gè)性質(zhì)了。在“粘性”（sticky）集合中，指向幾乎相同方向的線段也必須在空間中彼此靠近。卡茨和陶哲軒無(wú)法證明所有反例都必須具有粘性。但直觀上，粘性集似乎是強(qiáng)制線段之間大量重疊的最佳方式，從而使集合盡可能小——這正是創(chuàng)建反例所需的。

如果有人能夠證明粘性掛谷集的閔可夫斯基維數(shù)小于3，那么就會(huì)反駁3維掛谷猜想。“聽起來(lái)‘粘性’是最令人擔(dān)憂的情況，”麻省理工學(xué)院的拉里·古斯（Larry Guth，1977 -）說(shuō)。

這一點(diǎn)不再需要擔(dān)心。

粘性點(diǎn)

2014年，也就是卡茨和陶哲軒試圖證明掛谷猜想十多年后，陶哲軒在他的博客上發(fā)布了他們的方法概要 https://terrytao.wordpress.com/2014/05/07/stickiness-graininess-planiness-and-a-sum-product-approach-to-the-kakeya-problem/ ，讓其他數(shù)學(xué)家有機(jī)會(huì)親自嘗試。

2021年，紐約大學(xué)數(shù)學(xué)家王虹和不列顛哥倫比亞大學(xué)的約書亞·扎爾（Joshua Zahl）決定繼續(xù)陶哲軒和卡茨未完成的工作。

約書亞·扎爾 (Joshua Zahl) 和同事王虹使用一種名為“粘性”的數(shù)學(xué)特性來(lái)證明聽起來(lái)自相矛盾的集合不可能存在

圖源：Paul Joseph

他們首先假設(shè)存在一個(gè)閔可夫斯基維數(shù)小于3的粘性反例。他們從之前的工作中知道，這樣的反例必須是平坦的且顆粒狀的。“所以我們正處在陶哲軒和內(nèi)茨·卡茨所考慮的那種世界中，”扎爾說(shuō)。現(xiàn)在他們需要證明平坦、顆粒狀和粘性特性相互抵消并導(dǎo)致矛盾，這意味著這個(gè)反例實(shí)際上不可能存在。

然而，為了解決這個(gè)矛盾，王虹和扎爾將注意力轉(zhuǎn)向了卡茨和陶哲軒沒有預(yù)料到的方向——一個(gè)被稱為投影理論（projection theory）的領(lǐng)域。

他們從更詳細(xì)地分析其粘性反例的結(jié)構(gòu)開始。如果你考慮該集合的理想化版本，則它具有指向各個(gè)方向的無(wú)限線段。但是，在這個(gè)問題中，請(qǐng)記住，你正在處理這些線段的厚版本 —— 一堆針。

這些針中的每一個(gè)都可以包含許多理想化的線段，這意味著你可以用有限數(shù)量的針編碼整個(gè)無(wú)限集。根據(jù)針頭的厚度，厚的集合看起來(lái)可能會(huì)大不相同。

如果這個(gè)集合是粘性的，無(wú)論針頭多么厚，它看起來(lái)都會(huì)或多或少地相同。

王虹和扎爾使用此性質(zhì)證明，隨著針頭變得越來(lái)越薄，集合變得越來(lái)越平坦。扎爾說(shuō)，通過這個(gè)過程，他們可以“提取一個(gè)更具病理性的對(duì)象”，而具有不可能的性質(zhì)。

這就是他們接下來(lái)證明的。他們證明，這個(gè)病態(tài)的對(duì)象必須以兩種方式看待，這兩種方式都會(huì)導(dǎo)致矛盾。

要么你能夠?qū)⑺队暗蕉S空間中，使其在許多方向上變得更小——王虹和她的同事剛剛證明這是不可能的 https://arxiv.org/abs/2209.00348 。

要么第二種情況：集合中的針將根據(jù)一種非常特定的函數(shù)進(jìn)行組織，扎爾和他的合作者最近證明這種函數(shù)不存在 https://arxiv.org/abs/2207.02259 ，因?yàn)檫@會(huì)導(dǎo)致其他類型的投影沒有意義。

王虹和扎爾現(xiàn)在有矛盾 —— 這意味著掛谷猜想沒有粘性反例。（他們不僅對(duì)Minkowski閔可夫斯基維度證明了這一點(diǎn)，而且還對(duì)一個(gè)相關(guān)的所謂Hausdorff豪斯多夫維度作了證明。）“結(jié)果排除了所有類別的反例——即數(shù)學(xué)家認(rèn)為最有可能反駁猜想的完整集合不存在，”扎爾說(shuō)。

不列顛哥倫比亞大學(xué)的Pablo Shmerkin說(shuō)，這項(xiàng)新工作“強(qiáng)烈支持了掛谷猜想是真的”。盡管它僅適用于三維情況，但其某些技術(shù)可能在更高的維度中有用。在花費(fèi)數(shù)年的時(shí)間在其他數(shù)字系統(tǒng)中取得了進(jìn)展后，數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問題的原始實(shí)數(shù)域版本感到興奮。

“他們徹底解決了這種情況，真是太了不起了，”張瑞祥說(shuō)。“在實(shí)數(shù)設(shè)置中，這種情況極其罕見。”如果有人能證明反例一定是粘性的，那么新的結(jié)果將蘊(yùn)含3維的完整猜想成立。立于其上的猜想層次結(jié)構(gòu)將保持安全，基礎(chǔ)穩(wěn)定。

“不知何故，投影理論中的這兩個(gè)不同的問題，從表面上看彼此沒有太大關(guān)系，但卻很好地結(jié)合在一起，準(zhǔn)確地給出了掛谷問題所需要的東西，”扎爾說(shuō)。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

小樂數(shù)學(xué)科普：掛谷猜想專題系列——針尖上的猜想之塔——譯自Quanta Magazine量子雜志

小樂數(shù)學(xué)科普：掛谷猜想專題系列——怎樣移動(dòng)針頭的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)——譯自Quanta Magazine量子雜志

https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/

https://arxiv.org/abs/2210.09581

https://www.jstor.org/stable/1970864?origin=JSTOR-pdf

https://www.jstor.org/stable/2661389

https://terrytao.wordpress.com/2014/05/07/stickiness-graininess-planiness-and-a-sum-product-approach-to-the-kakeya-problem/

https://arxiv.org/abs/2209.00348

https://arxiv.org/abs/2207.02259

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