掛谷猜想（Kakeya conjecture）預測了讓一條線段指向每一個方向至少需要多大的地方。在一種又一種數字系統中，數學家們證明它都是正確的，但有一個重要的例外數系，仍未獲證。

作者：Kevin Hartnett（量子雜志特約作家）2022-7-26

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-1-28

掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）猜想看上去像是一個腦筋急轉彎。將一根針平放在桌子上。你至少需要預留多大的面積才能使它旋轉指向所有可能的方向？

最明顯的可能答案是直徑等于針長的圓。但這顯然是錯誤的。在過去的一個世紀里，努力理解這種錯誤的方式揭示了，這個看似有趣的小問題實際上是一個關于實數本質的深刻而挑釁性的數學問題——那些實數軸上的無限刻度作為該問題首次提出時空間中的坐標。

這已經通過近年來對掛谷猜想取得的最顯著進展變得清晰起來。這些研究成果將原始問題中從數學家們一直受阻的實數領域轉移到幾何和算術世界，在這些世界中，線段由一些更易于處理的替代數字系統定義。

創新精神激發了數學家們新的使命感。

掛谷猜想讓人感覺如此困難，但似乎每過幾年就會出現一個解，”麻省理工學院數學家拉里·古斯（Larry Guth，1977 -）說，他已經研究這個問題超過15年。“它似乎比我所見過的任何其他問題都更有希望。”

緊繃擠壓

現代版本的掛谷猜想與1917年由掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出的原始陳述相去甚遠。他對在二維平面上將給定長度的一維線段旋轉到最終指向所有方向所需的最小面積感到好奇。

一個直徑等于線段長度的圓盤足以讓線段旋轉到所有方向——只需像旋轉撥號盤一樣旋轉線段。但較小的形狀也可以實現。

例如，取一個高等于線段長的等邊三角形。通過執行一系列本質上是（汽車）三點掉頭的操作，你可以移動線段——因為它是一維的，所以面積為零——圍繞三角形移動并實現所需的掃描。能夠實現這種所有指向的一組點被稱為掛谷集（Kakeya集）。

掛谷想了解掛谷集可能的最小面積。1919年，Abram Besicovitch（艾布拉姆·貝西科維奇，1891 - 1970）給出了令人驚訝的答案：它可以無限小。他證明了可以構造出將等邊三角形設計推向極致的掛谷集。你最終會得到一個在所有方向上輻射出的尖刺（spike），而不是三角形的三個角尖。

“在極限情況下，它看起來像一只奇特的刺猬，”普林斯頓大學的教授、這項新證明的作者Zeev Dvir（澤夫·德維爾）說。結果是一個復雜的分形排列，其面積可以任意縮小——這相當于沒有任何面積。

普林斯頓大學數學家和計算機科學家Zeev Dvir與他的學生Manik Dhar 一起證明了某些有限數系的掛谷猜想。

圖源：David Kelly Crow

在掛谷宗一提問兩年后，貝西科維奇的構造就冒出來消除了他的問題。但幾十年后，數學家們設計了一個經過修訂的問題版本，這個版本的證明要復雜得多。

廣泛虛空

貝西科維奇證明了掛谷集可以具有零面積，但除了面積之外，還有其他方式來描述形狀的大小。貝西科維奇設計的集合仍然包含點，而在1970年代，關于這些點如何高效排列的問題重新出現。

這個問題被稱為掛谷猜想（與原始的掛谷問題不同），它預測，如果你有一些小方塊布料，并嘗試將它們放置在掛谷集合上，使得這些方塊完全覆蓋集合，在某種非常精確的意義上，你將需要很多方塊才來完成覆蓋。

集合中的點的排列方式讓它們更容易或更難以被覆蓋的程度，被兩個密切相關的稱為豪斯多夫（Hausdorff）維度和閔可夫斯基（Minkowski）維度的度量所刻畫。這些維度概念為數學家們提供了一個嚴格的框架來探索掛谷集——在貝西科維奇證明僅通過測量面積不足以理解它們的本質屬性之后，仍繼續研究它們的一種方式。

掛谷猜想預測，掛谷集的豪斯多夫維數和閔可夫斯基維數都必須盡可能大。盡管這兩種測度維數的確切定義是技術性的，但猜想背后的直覺相當簡單：要使線條無處不在，你需要很多東西。

“每個方向都有一條線段，想象一下你試圖把它們都擠壓到某個東西里。該怎么壓縮呢？”古斯說。

實數問題

掛谷猜想發生在歐幾里得空間中，其中的點由實數定義——這些數可以有一個無限長的十進制展開，如19.1777…或π。隨著時間的推移，越來越清楚的是，這些實數值坐標是掛谷猜想如此難以解決的一個重要原因。

掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）的罕見照片

圖源：東京大學數學科學研究生院

究竟是實數的什么性質導致了這樣的阻礙并不完全清楚，但有些特征很突出。

首先，實數是連續的，這意味著你無法在任何離散區間內觀察它們而不失去算術運算的能力。（例如，如果你將自己限制在1和2之間的區間內，你就會失去加法，因為該區間內兩個數的和將超出這個區間。）

其次，實數也是不可數的無限多的（uncountably infinite），這意味著無論你如何放大它們，你都會在每一個尺度上看到相同的東西。

“在實數中，有些數可以非常接近于零，但實際上并不為零。這某種意義上是技術關鍵所在，”不列顛哥倫比亞大學的約書亞·扎爾（Joshua Zahl）說。

實數的難度驅動數學家考慮在更小數系中設定的掛谷猜想版本。例如，這些數系可能只有1到5的整數值。雖然這些數系看起來不像實數，但它們具有許多相同的基本算術性質——它們允許加、減、乘、除。

它們也足夠豐富，可以支持使用線性代數技術來定義線條，一旦你有了線條，你就可以詢問一個略微修改過的掛谷猜想：在這些數系中，一個點集的最小大小是多少，使得你可以構造出每個方向的線條？

托馬斯·沃爾夫（Thomas Wolff）在1996年提出了類似的問題 https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.329.7921 。從那時起，數學家們將其視為一個可以讓他們更接近解答掛谷猜想的框架。

“想法是，這個問題可能更容易，也許你應該嘗試開發解決這個問題的技術，用來獲得處理實際歐幾里得情況的想法，”普林斯頓大學的Manik Dhar說，他是兩篇關于掛谷猜想最新論文的作者。

選擇一個數字

為了定義這些小數系之一，首先請你選擇一個數字。比如選擇9，在這種情況下，你的數系包含從1到9的所有整數。或許你可能選擇的是17、25或83。

你的選擇很重要。特別是，這個數（稱為模數 modulus）是否為質數，以及它不是質數的方式，對數系的行為以及可能應用于掛谷猜想的方法都有很大影響。

普林斯頓大學博士生Manik Dhar與他的導師Zeev Dvir一起證明了某些有限數系的掛谷猜想

圖源：David Kelly Crow

2008年，Dvir解決了模素數的有限數系中的掛谷猜想 https://www.cs.princeton.edu/~zdvir/papers/Dvir09.pdf ，這是Wolff在1996年所考慮的特殊情況。這些數系被稱為有限域（finite field），在數學中特別強大，用于解決難題。

Dvir證明了在有限域上，掛谷集必定具有最大的可能維數（這里的維度是以一種在有限設置中有意義的方式重新定義的）。他的證明只有兩頁長，主要依賴于這樣一個事實：當模數是素數時，有限數系內的任何集合都是多項式方程的解（或根）——這意味著集合可以用方程描述，而實數掛谷集則不能。

Dvir的證明代表了掛谷猜想上的第一次重大進展，讓數學家們暫時對未來在歐幾里得掛谷猜想方面的后續進展充滿希望。

然而什么結果都沒發生。“人們都非常激動，而我們都盡力了，但就是不行，”古斯說。

然后，十多年后，Dvir歸來。

素數乘積

2020年11月，Dvir和他的研究生Dhar解決了模不同素數乘積的有限數系中的掛谷猜想，其中模數是任何由不同素數乘積組成的數，如15（即3×5） https://arxiv.org/abs/2011.11225 。這些數系要求Dhar和Dvir超越多項式方法。取而代之的是，他們將問題轉化為關于稱為矩陣（matrix）的數字表格的問題。

在這些矩陣中，列代表點，行代表方向。如果特定點有特定方向的線條，則在矩陣中相應的位置寫1。（否則輸入0。）這樣，矩陣就編碼了一組線條的性質。現在你可以計算該矩陣的性質，以確定該集合的性質。特別是，矩陣的“秩”（rank）與線條集合的大小直接相關。

Dhar和Dvir證明了這些矩陣的秩很高，這意味著線條的集合很大，意味著對于這些特定的數系，掛谷猜想是正確的——任何包含所有方向線條的點的集合都需要很大。

不到一年后，Bodan Arsovski推廣了Dhar和Dvir的結果。2021年8月，他證明了模素數冪的有限數系中的掛谷猜想，其中模數是一個質數的冪，例如9（即32） https://arxiv.org/abs/2108.03750 。

這蘊含了p進數系的掛谷猜想，p進數系（p-adics）是一個無限數系，并且在某種程度上更類似于實數。 https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/

倫敦大學學院數學家Bodan Arsovski的證明蘊含了稱為p-adics（p進）無限數系的掛谷猜想

圖源：Ana Arsovska

在Arsovski的論文 https://doi.org/10.1090/jams/1021 之后，數學家們投入了大量精力，試圖確定他的方法是否可以被修改并應用于實數的情況。

幾個月的努力毫無成效后，很明顯：至少現在，他們做不到。

“實數域和p進域的行為存在一些細微差異，這使得類比有些斷裂，”威斯康星大學麥迪遜分校的博士生Alejo Salvatore說。

自Arsovski的工作以來，又出現了兩個劇情轉折。

去年十月，Dhar證明了掛谷猜想對于任何模數的有限數系都是正確的 https://arxiv.org/abs/2110.14889 。

然后在二月，Salvatore確認了該猜想對于更奇特的數系是正確的，該數系稱為正特征局部域（local fields of positive characteristic，其中有限域增加了一個變量） https://arxiv.org/abs/2202.11344 。

有不同方式來思考這一系列結果。一種方式是，希望勢頭持續：既然數學家已經證明了對一個又一個數系該猜想是正確的，也許下一個就是實數。

但另一種方式是退一步問：既然數學家已經在如此多的其他情況下證明了該猜想，為什么他們還沒有能夠在實數上證明掛谷猜想呢？

至少有一位數學家認為后一種解釋可能是所有解釋中最顯然接近事實的。

“我不再相信掛谷猜想是真的，”古斯說。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.329.7921

https://www.cs.princeton.edu/~zdvir/papers/Dvir09.pdf

https://arxiv.org/abs/2011.11225

https://arxiv.org/abs/2108.03750

https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/

https://doi.org/10.1090/jams/1021

https://arxiv.org/abs/2110.14889

https://arxiv.org/abs/2202.11344

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/

https://www.quantamagazine.org/the-biggest-discoveries-in-math-in-2023-20231222/

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