模形式是數學中最美麗、最神秘的對象之一。它們是什么？

本文所有復變函數圖源：Samuel Jinglian Li

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作者：Jordana Cepelewicz（量子雜志數學編輯）2023-9-21

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-1-24

“數學中有五種基本運算，”據德國數學家馬丁·艾希勒（Martin Eichler，1912 - 1992）曾經說過。“加法、減法、乘法、除法和模形式。”

當然，構成這個冷笑話的原因是，其中一種運算與其他運算有所不同。模形式（modular form）是更加復雜和神秘的函數，學生們通常直到研究生階段才會遇到它們。但“可能沒有哪個數學領域比其應用更少，”德國波恩馬克斯·普朗克數學研究所的數學家Don Zagier（唐·扎吉爾，1951 -）說。每周都有新的論文將它們的應用范圍擴展到數論、幾何、組合學、拓撲學、密碼學以及甚至弦理論。

它們通常被描述為滿足如此引人注目且復雜的對稱性以至于似乎不可能存在的函數。與這些對稱性相關的性質使模形式具有巨大的力量。這就是它們在1994年費馬大定理里程碑式證明中成為關鍵角色的原因。這也是它們在最近關于球體堆積的研究中占據核心地位的原因。現在，它們對于被稱為朗蘭茲綱領的“數學大統一理論”（參閱 ）的持續發展至關重要。

但什么是模形式呢？

無限對稱性

為了理解模形式，首先思考更熟悉的對稱性是有幫助的。

一般來說，當一個形狀經過某種變換后保持不變時，我們稱它具有對稱性。

例如：反射（reflection）、旋轉（rotation）、平移（translation）

圖源：Merrill Sherman|Quanta

一個函數也可以表現出對稱性。考慮由方程 f(x)=x2 定義的拋物線。它滿足一種對稱性：可以沿y軸反射。例如，f(3)=f(?3)=9 。更一般地，如果你將任何輸入x 改成 ?x ，那么函數x2輸出的值相同。

無窮多個函數滿足這種對稱性。這里只列出了幾個：

f(x)=x2

f(x)=|x|

f(x)=cos x

圖源：Merrill Sherman|Quanta

最后這個例子是三角函數中的余弦函數。它具有反射對稱性，但還有其他對稱性。如果你將x以2π的整數倍進行平移，函數總是返回相同的值——這意味著有無限多種變換可以使函數保持不變。

圖源：Merrill Sherman|Quanta

這種額外的對稱性使得像余弦（cosine）這樣的函數變得極其有用。“基礎物理學的很大一部分都是從理解三角函數的全面影響開始的，”弗吉尼亞大學的數學家Ken Ono說。

“模形式有點像三角函數，但更有力更極端，”他補充道。它們滿足無限多個“隱藏”的對稱性。

復數宇宙

函數在以實數（real number，可以表示為傳統十進制小數的數值）定義時所能做到的很有限。因此，數學家們經常轉向復數（complex number，可以將其視為一些實數對）。任何復數都可以用兩個值來描述——一個“實”（real）部分和一個“虛”（imaginary）部分，后者是實數乘以-1 的平方根（數學家將其寫作i）。

任何復數都可以表示為二維平面上的一個點。

它們可被視為一些實數對，通常用兩種方式來表示：笛卡爾平面坐標（Cartesian）、極坐標（polar）。

圖源：Merrill Sherman|Quanta

復（變）函數的可視化很困難，因此數學家們經常借用顏色。例如，你可以將復平面著色，使其看起來像彩虹輪。每個點的顏色對應于其在極坐標中的角度。正中心直接向右的點（即角度為0度），呈現紅色。在90度的點（即直向上），被著色為明亮的綠色。以此類推。最后，等高線標記大小或幅度的變化，就像地形圖上一樣。

復變函數 f(z)=z 被描繪成彩虹輪的彩色

它可以作為參考來展示其他函數

你現在可以用這個作為參考圖來表示復變函數。平面上一個點的位置代表輸入，你根據參考圖為該點分配顏色。例如，考慮函數 f(z)=z2。當z=1+i時，f(z)=2i ，因為(1+i)2=2i。由于2i在參考圖上被涂成亮綠色，在你的新圖上，你將把點1+i涂成亮綠色。

這個復函數 f(z)=z2 的圖像通過使用參考圖像 f(z) = z 選擇的顏色來顯示輸出

該圖用完顏色兩次，因為復數平方會加倍其角度。它還有更多的等高線，因為輸出的增長速度更快。

更普遍地，當你將任何點沿中心（或原點）翻轉時，圖形看起來是相同的。

這是復值函數的一種對稱性。模形式展現出令人眼花繚亂的這種對稱性。但理解那些顏色和等高線所代表的實際函數可能很困難。

基本域

為了做到這一點，嘗試簡化我們看待這些復變函數的方式很有幫助。

由于模形式對稱性，你只需基于位于稱為基本域（fundamental domain）的平面區域的一小部分輸入即可計算整個函數。這個區域看起來像是從水平軸向上延伸的一條帶狀區域，其底部被切去一個半圓形孔。

如果你知道函數在那里有怎樣的行為，你將知道它在其他地方會怎么樣。

怎樣做：

特殊變換將復平面上的一小部分，稱為基本域，復制到無限多個其他區域。由于模形式是用這些變換定義的，如果你知道它在基本域中的行為，你就可以輕松地推斷出它在其他任何地方的行為。

兩種變換將基本域復制到左右兩側，以及沿水平軸的一系列不斷縮小的半圓。這些復制填充了整個復平面的上半部分。

模形式以一種非常特殊的方式將副本相互關聯。這就是它的對稱性進入圖景所在。

如果你可以通過第一種變換（通過向左或向右移動一個單位）從一個副本中的一個點移動到另一個副本中的點，那么模形式會給這兩個點賦相同的值。就像余弦函數的值以2π的區間重復一樣，模形式以一個單位的區間為周期。

同時，你可以通過第二種變換類型從一份副本中的一個點移到另一份中的一個點——通過在以原點為中心、半徑為1的圓的邊界上反射。在這種情況下，模形式并不一定將這些點賦相同的值。然而，這兩個點的值以規律的方式相互關聯，這也產生了對稱性。

你可以通過無限多種方式組合這些變換，這為你提供了無限多個模形式必須滿足的對稱條件。

“這聽起來不一定很有趣，”達特茅斯學院的數學家約翰·沃伊特（John Voight）說。“我的意思是，把上半平面切割并給各個地方標上數字——誰在乎呢？”

“但是它們非常基礎，”他補充道。而且事必有因。

受控空間

在1920年代和30年代，德國數學家埃里希·赫克（Erich Hecke，1887 - 1947）圍繞模形式發展了一種更深入的理論。關鍵的是，他意識到它們存在于某些空間中——具有特定維度和其他性質的空間。他找到了如何具體描述這些空間的方法，并利用它們將不同的模形式聯系起來。

這一認識推動了20世紀和21世紀大量數學的發展。

要理解這一點，首先考慮一個古老的問題：有多少種方法可以將一個給定的整數表示為四個平方數的和？例如，只有一種方法可以表示零，而表示1有八種方法，表示2有24種方法，表示3有32種方法。為了研究這個數列——1，8，24，32等等——數學家將其編碼在一個無限和中，稱為生成函數（generating function）：

1+8q+24q2+32q3+24q?+48q?+…

沒有必然的方法來確定，比如說 q1?? 的系數應該是多少——這正是他們試圖解決的問題。但是通過將數列轉換為生成函數，數學家可以應用微積分和其他領域的工具來推斷有關它的信息。例如，他們或許能夠找到一種方法來近似任何系數的值。

但是結果表明，如果生成函數是一種模形式，你可以做得更好：你可以得到每個系數的精確公式。

“如果你知道它是一個模形式，那么你就知道了一切，”德國達姆施塔特工業大學的Jan Bruinier說。

這是因為模形式的無窮多種對稱性不僅看起來很美——“它們非常具有約束力，”范德堡大學的Larry Rolen說，它們可以變成“一種自動證明事物之間同余（congruence）和恒等（identity）的工具。”

數學家和物理學家經常將感興趣的問題編碼在生成函數中。他們可能想要計算特殊曲線上的點數，或者某些物理系統中的狀態數。“如果我們幸運的話，那它就是一個模形式，”德國比勒費爾德大學的數學家克勞迪婭·阿爾費斯-紐曼（Claudia Alfes-Neumann）說。這可能是非常難以證明的，但如果你能證明，那么“模形式理論非常豐富，它為你提供了大量研究這些[級數]系數的可能性。”

積木

任何模形式看起來都非常復雜。其中一些最簡單的——它們被用作其他模形式的構建塊——被稱為艾森斯坦級數（Eisenstein series）。

你可以將Eisenstein級數視為函數的無限和。為了確定這些函數中的每一個，使用無限二維網格上的點：

艾森斯坦級數是最簡單的模形式（它仍然很復雜）。它被定義為更簡單的函數的無限和。從一個無限的網格開始（去掉原點）。在每個網格點(m，n)處定義一個函數f(z)=(m+nz)?? 。網格上四個點的函數是這樣的。

• 在點(0,1)處，f(z)=z??

• 在點(1,1)處，f(z)=(1+z)??

• 在點(1,-1)處，f(z)=(1-z)??

• 在點(1,0)處，f(z)=1

為了得到一個權重為4的艾森斯坦級數，將網格上每一點的函數加在一起。

圖源：Merrill Sherman|Quanta

當你將關聯于原點附近四個點的函數相加時，可以看到如何開始出現獨特的對稱性。

上述四個簡單函數之和，顯示在復平面的上半部分

如果你將網格的無限多個函數的完全和相加，你將得到一個被認為是寫下來最簡單的模形式的愛森斯坦級數。這些模式反映了該形式的定義對稱性——左右無限重復，并且在接近水平軸的地方以更復雜的方式變換。

完全Eisenstein級數是無限多個函數的和

游戲繼續

模形式的研究導致了數學上的大量成果。例如，最近關于球體堆積（sphere packing）的研究，烏克蘭數學家瑪麗娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska，1984 -）去年因此獲得了菲爾茲獎（參閱 ），這項研究使用了模形式。“當我看到這一點時，我相當驚訝，”布魯尼耶（Bruinier）說。“但不知何故它奏效了。”

模形式最終被證明與一個稱為“魔群”（monster group， https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/ ）的重要代數對象相關聯。它們被用來構建稱為擴展圖（expander graph， https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-that-expander-graphs-synchronize-20230724/ ）的特殊網絡，這些網絡出現在計算機科學、通信理論和其他應用中。它們使得研究弦理論和量子物理中粒子相互作用的潛在模型成為可能。

模形式的應用

模形式在數學中以令人驚訝的方式出現。它們在數論、幾何學、組合學、拓撲學、密碼學甚至弦理論方面都取得了重要的成果。

費馬大定理（費馬最后定理FLT）

FLT是說，當n>2時，不存在非零整數a、b、c，滿足此方程：a?+b?=c?

通過使用模形式獲得矛盾，從而證明FLT是正確的：

假設當n>2時確實存在一個解，然后使用該解構造一個橢圓曲線。

Andrew Wiles（安德魯·懷爾斯，1954 -）證明，這樣的曲線總是可以與模形式相關聯。

但在這種情況下，模形式并不可能存在，這意味著沒有解，即FLT必須為真。

弦理論與量子物理

數學家和物理學家已經使用模形式來研究被稱為共形場理論的粒子相互作用模型，并發現新的模型。

球體堆積

堆積n維球體的最優（最密集）方式是什么？在二維和三維中，答案是這樣的：

在大多數更高維度中，我們不知道答案。但在8維和24維中，我們知道答案--在這兩種情況下，模形式提供了答案。

有限群與“魔群月光”（Monstrous moonshine）

一個稱為j-不變的模形式可以寫成:

q?1 + 744 + 196884q + 21493760q2 + ?

它的每個系數都編碼關于“魔群”（monster group）性質的信息，這是一個由超過10?3個元素組成的重要且龐大的代數對象。

除了這些之外，模形式還被用于:

發展朗蘭茲綱領，一個連接幾何和數論的中心研究領域。

深入研究諸如格（lattice）和橢圓曲線等數學對象，這些對象出現在密碼學、糾錯碼和其他應用中。

證明組合恒等式，例如將整數寫為平方和（例如，5=22+12）的方法數。

構建重要類型的網絡，稱為擴展圖（expander graph），這些網絡出現在計算機科學、通信理論和其他領域。

幫助證明關于L-函數（著名的黎曼ζ函數的推廣）的結果。

解釋為什么e^{π√163}幾乎是一個整數。

也許最著名的是，1994年費馬大定理的證明依賴于模形式。這個定理被廣泛認為是數論中最重要的問題之一，它表明不存在三個非零整數a、b和c滿足方程 a?+b?=c?，其中n是一個大于2的整數。數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles，1953 -）通過假設相反的情況——即方程存在解——然后使用模形式來證明這樣的假設必然導致矛盾，從而證明了該定理的真實性。

首先，他使用他假設的解構造了一個稱為橢圓曲線（elliptic curve）的數學對象。然后，他證明了你可以始終將一個唯一的模形式與這樣的曲線相關聯。然而，模形式理論指出，在這種情況下，這樣的模形式不可能存在。“這太完美了，不可能是真的，”沃伊特說。這意味著，反過來，假設的解不可能存在——從而證實了費馬大定理。

這樣做不僅解決了這個長達幾個世紀的難題；還加深了對橢圓曲線的理解，橢圓曲線直接研究可能比較困難（在密碼學和糾錯碼中起著重要作用）。

該證明還照亮了幾何與數論之間的橋梁。這座橋梁后來被擴展為朗蘭茲綱領（Langlands program，參閱 ），這是兩個領域之間更廣泛的聯系——也是當代數學中一項主要研究工作的主題。模形式也在其他領域得到了推廣，它們潛在的應用剛剛開始被認識到。

它們在數學和物理學中到處出現，有時相當神秘。“我查閱了一篇關于黑洞的論文，”多倫多大學的Steve Kudla說，“我發現了一些我認識的模形式，但我不知道為什么它們會在那里。”

“不知何故，”他補充道，“模形式刻畫了世界上一些最基本的對稱性。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/

小樂數學科普：苦覓已久的數學證明解開了更多神秘的“模形式”——譯自Quanta Magazine

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-that-expander-graphs-synchronize-20230724/

https://samuelj.li/complex-function-plotter/

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