《量子雜志》每周都會解釋推動現代研究的最重要思想之一。本周，數學特約撰稿人Joseph Howlett分析了數學家最喜歡的標本之一：橢圓曲線。

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-1-21

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-1-23

當我問數學家為什么關心某個問題時，他們經常回答說，這個問題的難度剛剛好。有些數學問題他們已經完全理解了幾個世紀，而有些問題他們甚至不知道如何開始回答。數學家更喜歡在這兩者之間尋找問題來解答。

橢圓曲線恰好在于這兩者之間。它們由形式為 y2 = x3 + Ax + B 的簡單方程定義，其中 A 和 B 是有理數（可以寫成分數的數字）。正是 x3 使橢圓曲線成為現代研究的完美目標：數學家幾乎已經征服了 x2的方程，而 x? 的方程仍然在很大程度上難以捉摸。

橢圓曲線的方程式可能看起來并不特別，但它的簡單性掩蓋了其艱難而深遠的奧秘。只要學習橢圓曲線的基礎知識，你就能穿越數學世界的幾個領域，并觸及一些最大的未解問題。

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橢圓曲線具有豐富的底層結構 https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-reveals-rational-points-on-curves-20210722/ 。每條曲線的解（繪制曲線時構成曲線的點集）形成所謂的群 https://www.quantamagazine.org/groups-underpin-modern-math-heres-how-they-work-20240906/ ，這意味著方程的解根據一組具體的規則相互關聯。這也使橢圓曲線具有各種有趣的數學特性。

數學家試圖通過研究橢圓曲線的“秩”（rank）來理解其結構。“秩”這個數字本質上衡量了一條曲線有多少個獨立的解族。大多數橢圓曲線的秩為 0 或 1（每種情況大約為一半 https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-infinite-curves-come-in-two-types-20181107/ ）。但在極少數情況下，橢圓曲線的秩可能更高。數學家一直在嘗試構造這樣的曲線—— 目前的記錄是去年剛剛發現的一條秩為 29 的橢圓曲線 https://www.quantamagazine.org/new-elliptic-curve-breaks-18-year-old-record-20241111/ 。關于秩是否能達到最高上限，仍存在爭議 https://www.quantamagazine.org/without-a-proof-mathematicians-wonder-how-much-evidence-is-enough-20181031/ 。

由于朗蘭茲綱領的存在，橢圓曲線已成為通往遙遠數學領域的大門。正如我在之前的新聞通訊中所解釋的那樣 https://www.linkedin.com/pulse/grand-unified-theory-mathematics-quanta-magazine-wgv7e/ ，這個數學的“大統一理論”涉及建立不同子領域對象之間的對應關系 （參閱 ）。

這種對應關系最引人注目的例子是，每條橢圓曲線都可以與一個唯一的模形式（一種特殊的函數 https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/ ）相關聯。這種聯系最終使安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles，1953 -）在1994年證明了費馬大定理 https://youtu.be/_bJeKUosqoY ，這是數論中的一個重要命題。從那時起，橢圓曲線在朗蘭茲綱領中發揮著更大的作用。https://www.quantamagazine.org/elliptic-curves-yield-their-secrets-in-a-new-number-system-20230706/

費馬大定理并不是唯一一個與橢圓曲線有關的大問題。事實上，它們也有實際應用——特別是在現代密碼學中。最廣泛使用的加密類型之一就是基于橢圓曲線的底層結構。密碼學家也一直在轉向橢圓曲線，試圖規避實現高級量子計算之后可能出現的加密末日。https://www.quantamagazine.org/post-quantum-cryptography-scheme-is-cracked-on-a-laptop-20220824/

數學家們仍在探索與這些方程相關的新謎團。去年，量子雜志報道了數學家們在分析橢圓曲線及其性質的龐大數據庫時偶然發現的奇怪數值模式。他們后來將這些模式稱為“椋鳥群飛”（murmuration）——因為它們在繪圖時與成群的椋鳥形成的弧形相似 https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/ （參閱 ） 。

橢圓曲線是一個簡單的方程，但意義深遠，它占據了數學大廈的中心大廳，門和通道連接到最遠的角落。對于想要了解現代數學的讀者來說，這是一個完美的入門方式。

網絡上的資料

LMFDB（L-functions and modular forms database，L-函數和模形式數據庫）合作組織維護著一個龐大的橢圓曲線數據庫。點擊此處可隨意獲取一個 https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/random ，以及得到你可能想知道的所有信息。研究人員于2022年在此數據庫中首次發現了“椋鳥群飛”。

退休程序員邁克爾·德里斯科爾（Michael Driscoll）對橢圓曲線的群結構及其在密碼學中的應用進行了出色的可視化。https://curves.xargs.org

克羅地亞薩格勒布大學的數學家Andrej Dujella在他的網站上記錄了高秩橢圓曲線的歷史記錄。https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html 看看這些年來取得的進展，你就能自己判斷這個記錄是否會永遠保持下去。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4865954

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-reveals-rational-points-on-curves-20210722/

https://www.quantamagazine.org/groups-underpin-modern-math-heres-how-they-work-20240906/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-infinite-curves-come-in-two-types-20181107/

https://www.quantamagazine.org/new-elliptic-curve-breaks-18-year-old-record-20241111/

https://www.quantamagazine.org/without-a-proof-mathematicians-wonder-how-much-evidence-is-enough-20181031/

https://www.linkedin.com/pulse/grand-unified-theory-mathematics-quanta-magazine-wgv7e/

https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/

https://youtu.be/_bJeKUosqoY

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curves-yield-their-secrets-in-a-new-number-system-20230706/

https://www.quantamagazine.org/post-quantum-cryptography-scheme-is-cracked-on-a-laptop-20220824/

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/

https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/random

https://curves.xargs.org

https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html

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