作者：James Propp（馬薩諸塞大學洛厄爾分校）2025-1-17

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-1-21

有一個非常漂亮的思想實驗，有時被認為是德謨克利特（Democritus，公元前460 - 370）的作品，盡管它實際上是原子假說1后來的推廣者所提出的，是這樣講的：假設我們用世界上最鋒利的刀將一塊奶酪切成兩半，讓一大塊變成兩小塊。如果奶酪是由原子組成的，那么一些原子最終會落入一半奶酪，其余的原子最終會落入另一半。但是，如果奶酪是連續(xù)的物質，并且奶酪塊類似于歐幾里得幾何中的線段，那么與刀刃精確對齊的點會發(fā)生什么情況呢？它們會復制嗎？它們會消失嗎？刀是否會以某種方式滑到刀刃點的一側或另一側？這些選項似乎都不令人滿意，但如果我們要切斷真正連續(xù)的東西，我們還有哪些其他選項呢？

在某些方面，滑刀選項（奶酪塊的對稱性被打破）對我來說似乎是最令人不滿意的。它表明你永遠無法真正將某個東西切成兩等份，不是因為人類儀器的不精確，而是因為空間本質上有些奇怪——這種奇怪的影響就是，骨感的一維空間，連歐幾里得都發(fā)現(xiàn)沒有足夠有趣的東西可講。然而奇怪的是，寓言中的第三種選擇，即刀必須向左或向右滑動，在一個半世紀前得到了某種證明，當時德國數(shù)學家理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831 - 1916）開始深入思考實數(shù)是什么。

切割數(shù)軸

“你如何定義‘真實’？”——墨菲斯，《黑客帝國》

理查德·戴德金是卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777 - 1855）的最后一位博士生，高斯被許多人視為十九世紀最偉大的數(shù)學家。在我的文章《當5不是素數(shù)時》中我們認識了戴德金。

1854年獲得資格后，他在哥廷根講授概率和幾何，之后他作為教師的聲譽日益提高，使他能夠在蘇黎世理工學院任職。在理工學院，他開始教授微積分課程，并開始重新考慮該學科的基礎和實數(shù)的本質。盡管他直到1872年才發(fā)表論文《連續(xù)性與無理數(shù)》，但他的思想在1858年底就完全形成。

在小學里，我們被教導要把數(shù)字描繪成一條直線，這種形象變得如此根深蒂固，以至于我們很容易忘記數(shù)字和點之間的對應關系也曾經(jīng)是新鮮事物。2我們學習將整數(shù)、負數(shù)和分數(shù)繪制為數(shù)軸上的各個點。當數(shù)a小于數(shù)b時，數(shù)軸上a對應的點位于b對應的點的左側。

在初中或高中，我們學習新類型的數(shù)字：不能寫成分數(shù)的無理數(shù)（irrational number）。有理數(shù)和無理數(shù)合在一起就構成了實數(shù)（real number）。我們還從繪制單個點超越到繪制點集；例如，我們被教導將滿足 0 ≤ x ≤ 1 的數(shù)字x的集合表示為數(shù)軸上長度為1的線段，并將滿足 0 < x < 1 的數(shù)字x的集合表示為長度為1的略有不同的線段，兩個線段之間的區(qū)別在于前者包含其兩個端點，而后者都不包含兩個端點。我們將前一組數(shù)字稱為端點為0和1的閉區(qū)間（closed interval），將后一組數(shù)字稱為端點為0和1的開區(qū)間。為了表示這兩個區(qū)間之間的微小差異，我們被教導將它們分別繪制為下圖：

閉區(qū)間[0,1]和開區(qū)間(0,1)

這些空心和實心的圓圈并不意味著按字面意思理解；畢竟，區(qū)間的端點是點，而不是圓。我們還被教導用 [0,1] 表示閉區(qū)間，用 (0,1) 表示開區(qū)間。就此而言，我們還可以討論半開、半閉區(qū)間 [0,1) 和 (0,1]，其中每個區(qū)間都包含其端點之一，但不包含另一個端點。

整條實數(shù)軸可以寫成 (?∞,+∞)，其中 ?∞ 和 +∞ 不應被理解為端點，而是表示該集合永遠持續(xù)下去的指示符——在?∞的情況下向左永遠持續(xù)下去，在+∞的情況下向右永遠持續(xù)下去。例如，整條實數(shù)軸可以分為負數(shù)集，記作(?∞, 0)，和非負數(shù)集，記作[0, +∞)。這些集合分別是開射線和閉射線，其中如果一條射線包含其端點，則稱該射線為閉（合）的（closed）；如果省略其端點，則稱該射線為開（放）的（open）。每個實數(shù)都屬于這兩個集合之一。請注意，[0,∞) 有一個最左邊的元素，即0，但 (?∞, 0)沒有最右邊的元素；例如，如果a是(?∞, 0)的元素，則a/2 是 (?∞, 0)中比a更靠右的另一個元素。

0左邊沒有最右邊的數(shù)字

你還可以將 (?∞, +∞) 分割為閉射線 (?∞, 0] 和開射線 (0, +∞)。現(xiàn)在左側的射線是閉合的，并且有一個最右邊的元素，而右側的射線是開放的，并且沒有最左邊的元素。

當我追隨戴德金的腳步，為真正想要理解事物的學生教授微積分課程時，我喜歡首先要求學生思考可以將數(shù)軸分成兩個非空部分A和B ，使得每個數(shù)字都屬于兩個部分之一，并且A中的每個數(shù)字都小于B中的每個數(shù)字。

經(jīng)過一番探索后，學生們得出結論，對于每個實數(shù)c，他們有兩種方法將 (?∞, +∞) 分成所需類型的兩部分：一種是A=(?∞, c) 且B=[c, +∞) 以及A=(?∞, c] 且B=(c , +∞) ，如下所示。

每個實數(shù)給出了兩種分割實數(shù)軸的方法

小于c的數(shù)字分配給A，大于c的數(shù)字分配給B，并且c本身可以分配給任一集合。一種情況下，A有最大元素，而B沒有最小元素；在另一種情況下，則相反。

但在找到這些分割實軸的方法后，學生們陷入了困境。他們試圖找到更多的方法將實數(shù)軸分成左集和右集，但他們發(fā)現(xiàn)的每一種新方法，結果都是他們已經(jīng)找到的方法的偽裝版本。經(jīng)過一分鐘左右的停滯后，學生們發(fā)現(xiàn)很容易接受可能沒有更多的方法可以做到這一點，而我的建議“我們?yōu)槭裁床唤邮芩鳛橐粋€假設呢？”很容易得到認可。

學生們沒有意識到這一點，但他們剛剛吞下一顆紅色藥丸（《黑客帝國》電影中做選擇的劇情，譯者注），這將使他們接受無理數(shù)的存在以及未來幾周內(nèi)0.999…等于1的事實。

掉進兔子洞

“此后，就沒有回頭路了。” ——墨菲斯，《黑客帝國》

紅色藥丸是戴德金的完備性公理，他作了如下表述：“如果直線上的所有點都分為兩類，并且第一類的每個點都位于第二類每個點的左側，則有且只有一個點將所有點分為兩類，將直線分成兩部分。”

對于這樣一種平庸的斷言似乎不值得大張旗鼓的潛在批評，戴德金諷刺地說道：“如果每個人都發(fā)現(xiàn)上述原則如此明顯，并且與他自己對直線的想法如出一轍，我很高興；因為我完全無法舉出任何證據(jù)來證明它的正確性，沒人能辦到。”

請注意最后五個字，戴德金實際上是在說“我無法證明這一點，但你也不能。”為什么戴德金如此確信他無法從更基本的幾何原理推導出完備性公理并不是因為他自己不夠聰明？這是因為歐幾里得公理與尺規(guī)作圖（直尺和圓規(guī)）的構造方法密切相關，而到1858年，人們已經(jīng)知道這種方法不足以滿足幾何的需要。例如，皮埃爾·旺策爾（Pierre Wantzel，1814 - 1848）在1837年證明，給定長度為1的線段，無法使用直尺和圓規(guī)構造出長度為2的立方根的線段。因此，無法使用歐幾里得公理證明存在兩條線段，使得較長線段的長度除以較短線段的長度等于2的立方根。3或者簡單地說，你不能使用歐幾里得公理證明2的立方根存在。另一方面，正如我將在下面粗略論證的那樣，一旦你接受戴德金公理，你就可以證明2的立方根存在。因此戴德金可以肯定地知道他的斷言并不是歐幾里得幾何公理的隱藏結果。

當然，數(shù)學家們從未認真懷疑過，在某種意義上，2的立方根是否存在，即使他們爭論它是否值得被稱為數(shù)字。直觀上似乎很清楚，如果數(shù)字x = 5/4 滿足x3 < 2，而數(shù)字x = 4/3 滿足x3 > 2，那么 5/4 和 4/3 之間的某個數(shù)字或類似數(shù)字的東西肯定應該恰好滿足x3 = 2。事實上，一個著名的十九世紀定理“中值定理”（Intermediate Value Theorem）使這種推理受到尊重。它斷言，由于不間斷的曲線y = x3從直線y = 2 下方開始，然后沿著曲線從左向右移動到直線y = 2 上方，因此必然存在一個與曲線相交的交叉點。它具有視覺意義。

曲線可以從直線下方到直線上方而不與直線相交嗎？

但為什么中值定理是正確的呢？怎樣才能證明這一點呢？就像戴德金完備公理一樣，它不能從歐幾里得公理推導出來。事實上，中值定理在邏輯上與戴德金完備性公理等價。每一個都可以從另一個推導出來。?

有些數(shù)系不滿足中值定理，如果你為這樣的數(shù)系畫一條數(shù)軸，它也不會滿足戴德金完備公理。這些就是本文標題中的“贗品”（假冒者）。戴德金完備性是實數(shù)系統(tǒng)與它的眾多“冒名頂替者”的區(qū)別特征。

數(shù)學家研究的最簡單的“假冒者”是二進有理數(shù)集（set of dyadic rationals）：可以寫成 1/2 的某個冪的倍數(shù)的數(shù)字。如果你想象一把尺子被分成英寸、半英寸、四分之一英寸、八分之一英寸和十六分之一英寸，并想象執(zhí)行無窮多的平分過程，你會得到二進有理數(shù)。這不是一個糟糕的數(shù)字系統(tǒng)，它有一個關鍵屬性可以將其與超級“假冒”數(shù)字系統(tǒng)（例如 1/1000000 的倍數(shù)集）區(qū)分開來：對于任意兩個不同的二進有理數(shù)，它們之間都有1個二進有理數(shù) -- 事實上有無限多個。你可以使用二進有理數(shù)盡可能逼近任何數(shù)字。

更廣泛的數(shù)字系統(tǒng)是有限十進制小數(shù)集合，即可以寫成 1/10 的某個冪的倍數(shù)的數(shù)字。同樣，你可以使用它來近似數(shù)字，只要你愿意，只要將運算限制在加法、減法和乘法上，就可以了。這個數(shù)字系統(tǒng)足以滿足許多實際的數(shù)學應用。但嘗試用一個數(shù)字除以另一個數(shù)字，你常常會碰壁；例如，在這個系統(tǒng)中你不能將 1 除以 3。

有理數(shù)系統(tǒng)是實數(shù)系統(tǒng)最簡單的“假冒”版本，可以讓你盡情地進行加、減、乘、除。它適用于很多用途，但不適用于微積分，甚至不適用于代數(shù)。如果僅使用x坐標和y坐標均為有理數(shù)的點繪制前面的曲線y = x3的圖像，你會發(fā)現(xiàn)曲線從y = 2 直線下方到達y = 2 直線上方卻從未真正跨越那條直線！

盡管完備性公理可以被視為關于分割實數(shù)的方式的否定斷言——“除了明顯的已知方法之外，你永遠不會找到任何其他方法將數(shù)軸分割成左部分和右部分”——它可以被用來以證明為真的方式來證明特定數(shù)字的存在；因為，假設將數(shù)軸分割為兩個非空集合A和B，使得A的每個元素都小于B的每個元素，該公理告訴我們必須存在一個數(shù)c，使得c是A的最大元素或B的最小元素。例如，令A為滿足x3 < 2 的所有實數(shù)x的集合，并令B為滿足x3 ≥ 2 的所有實數(shù)x的集合。戴德金公理表示，必須存在一個數(shù)c，使得c為A的最大元素或B的最小元素，由此可以用代數(shù)方式證明c3恰好為2。?

至于為什么戴德金的完備性公理意味著0.999… = 1（我之前寫過有關此等式的文章），完整的解釋需要繞道我們寫 0.999… 時所表達的含義，但這里有一個關于0.999…在任何戴德金完備數(shù)系中都必須等于1的原因的提示。如果 0.999… 和 1.000… 不同，它們之間的差異將是一個無窮小（infinitesimal）正數(shù)，小于所有數(shù)字 1/10、1/100、1/1000 等等。讓我們證明這與戴德金公理矛盾。設A為由所有負數(shù)、數(shù)字零和所有無窮小正數(shù)組成的集合，并設B由其他所有數(shù)組成，即所有不是無窮小的正數(shù)。不難證明，如果x是無窮小正數(shù)，那么較大的數(shù)10x也是無窮小，由此我們可以得出A不包含最大元素的結論。另一方面，不難證明，如果x為一個不是無窮小的正數(shù)，那么較小的數(shù)x/10也不是無窮小正數(shù)。所以B不包含最小元素。評估這種情境，我們發(fā)現(xiàn)我們已將數(shù)字系統(tǒng)分為沒有最右邊元素的左集和沒有最左邊元素的右集。

那留給我們的是什么呢？不屬于戴德金的實數(shù)軸，這是肯定的！

沒有回頭路

“釋放你的思想。” ——墨菲斯，《黑客帝國》

通過接受戴德金的完備性公理，我的微積分學生在不知不覺中跨越了幾個世紀的混亂，得出了連續(xù)統(tǒng)（continuum）的現(xiàn)代概念。是的，我欺騙了他們，但我不會為此道歉。數(shù)學專業(yè)的學生遲早會接觸到實數(shù)完備性公理的某種版本或變體——不過，在大多數(shù)大學里，是晚點而不是早點——通常是在一個名稱有些晦澀的“實分析”（real analysis）課程中。?為什么不向他們展示一個直觀上合理的完備性公理？戴德金的完備性公理是所有邏輯上等效的形式化直覺的最直觀合理的方法，即實數(shù)軸與多種“假冒”數(shù)軸不同，其中沒有漏洞（縫隙）。

我喜歡這樣陳述完備性公理：如果數(shù)軸L是一條實數(shù)軸而不是一條“假”數(shù)軸，那么就無法將L分為兩個非空集合A和B，使得

(1) A和B中沒有共同數(shù)，

(2) A和B一起包含了每個數(shù)字，

(3) A中的每個數(shù)都小于B中的每個數(shù)，

(4) A沒有最大元素，并且

(5) B沒有最小元素。

就是這樣！從這個關于實數(shù)軸的公理，你可以推斷出微積分所需的所有數(shù)字實際上都存在。

除此之外你可能會開始擔心：我們?nèi)绾沃缹崝?shù)軸存在？

當然，我并不是指物理意義上的“存在”。我指的是數(shù)學意義上的存在，盡管“數(shù)學意義上的存在”這個概念是模糊且有爭議的。

你當然可以采用一條“假”數(shù)軸，通過創(chuàng)建新數(shù)字來填補其漏洞，使其不那么假。?假設我們從由有理數(shù)組成的實數(shù)的“假”版本開始，僅此而已。加上所有正有理數(shù)的平方根，你將填補有理數(shù)軸上的一些漏洞，但仍然存在與更復雜的數(shù)字，如√(2+√3) 相關的漏洞。如果你想要一條無洞的數(shù)軸，你就必須把它們連同它們所有的平方根、新產(chǎn)生的和與乘積等等一起放進去。

即使通過將已包含在內(nèi)的數(shù)字的和、差、積、商和平方根放進去的過程，以某種方式進行了無限多個步驟，你也會到達一個休息點，在此沿著這些數(shù)軸無法取得進一步的進展。你只能得到可尺規(guī)作圖構造的實數(shù)集合（set of straightedge-and-compass–constructible real numbers）。你的數(shù)軸仍然會有洞；例如，沒有二的立方根。

所以也許你會更加努力地工作并擴大你的運算范圍以添加新的數(shù)字，這樣你就可以得到立方根和四次根等等。然后在那無限漫長的一天結束時，你已經(jīng)構造了所有代數(shù)實數(shù)（algebraic real number），但你仍然會丟失像π這樣的重要數(shù)字。在數(shù)軸上那個應該出現(xiàn)π的地方會有一個洞；無論如何，這不是一個大洞，但仍然是一個顯示不合格特征的缺陷。當你填滿π洞后，仍然會有一個e洞需要填補，以及還有……

我可以繼續(xù)這個無休止擴大的寓言，但我認為你已經(jīng)看到了故事如何結束，或者更確切地說，它如何未能結束。你永遠無法填補所有這些漏洞。

那么，是什么讓你能夠想象在某個地方存在一個神奇的數(shù)字系統(tǒng)，其漏洞都已被填補呢？

戴德金對此提出了一種答案，即所謂的“戴德金分割”（戴德金切割）。通過這個簡單的裝置，戴德金提供了一種同時創(chuàng)建所有無理數(shù)的方法。這是我下個月要寫的內(nèi)容。

本文是我正在寫的一本書的第四章（“小得看不見的洞”）的補充，書名暫定為《數(shù)字能是什么？：加法和乘法的更進一步、更陌生的冒險》。如果你認為這聽起來很酷并且想幫助我改進這本書，請查看 http://jamespropp.org/readers.pdf 。與往常一樣，請隨時在我網(wǎng)站（Mathematical Enchantments WordPress）上提交對本文的評論！

尾注

我從 https://van.physicals.illinois.edu/ask/listing/24315 了解到這個寓言，它引用了斯科特·阿倫森（Scott Aaronson，1981 -）的《自德謨克利特以來的量子計算》一書中的大量段落，而該書又根據(jù)卡爾·薩根（Carl Sagan，1934 - 1996）的釋義改編了這個寓言。想要深入挖掘的感興趣的讀者應該查看Stackexchange對這個有關刀的故事的討論 https://hsm.stackexchange.com/questions/11600/what-are-the-sources-for-democritus-experiment-of-dividing-a-shell-down-to-its 。

有關這方面的更多信息，請參閱Stackexchange 關于誰發(fā)明了數(shù)軸的討論 https://hsm.stackexchange.com/questions/7071/who-invented-the-number-line 。

事實上，想象希臘人談論用一個長度除以另一個長度有點不合時宜；相反，他們會用長度比來表達。下個月我將更多地談論長度比率，但現(xiàn)在讓我們忽略這個細節(jié)。

要了解有關實數(shù)的各種完備性之間的等價性的更多信息，請參閱我在2012年《美國數(shù)學月刊》上發(fā)表的文章 《逆向實分析》 Real analysis in reverse https://arxiv.org/abs/1204.4483 。

#5.

細節(jié)很亂，但核心思想很簡單。如果c3小于2，則必須有一個數(shù)c'略大于c，且c'3仍小于c 。另一方面，如果c3大于2，則必須有一個數(shù)c'略小于c ，且c'3仍大于c。無論哪種方式，我們都會遇到矛盾。

#6.

在實分析課程中，通常假設最小上界（上確界，least upper bound）性質，這在邏輯上等同于戴德金完備性公理。上確界性質的教學問題是它涉及上面有界的任意實數(shù)集。在考慮上確界性質時，你必須想象一個未知的實數(shù)集S，其中關于S的所有信息是存在某個實數(shù)b，使得S的每個元素都小于或等于b。這樣的集合通常是什么樣子的？我不知道，更重要的是，我的學生也不知道。它可能是分形的，甚至是不可測量的；誰知道？相比之下，想象一種將數(shù)軸分成左集和右集的通用方法要容易得多，或者至少讓自己相信你正在想象。有關通過戴德金完備性公理引入實數(shù)的教學法的更多信息，請參閱我2010年演講《戴德金被遺忘的公理以及為什么我們應該教授它》中的幻燈片 https://faculty.uml.edu/jpropp/dedekind.pdf 。

#7.

如果你真的是有那種擔心的人，你可能會擔心什么使你可以通過指定你希望數(shù)字具有的性質來創(chuàng)建數(shù)字。

參考資料

https://mathenchant.wordpress.com/2025/01/17/the-real-line-versus-the-fakes/

http://jamespropp.org/readers.pdf

https://van.physicals.illinois.edu/ask/listing/24315

https://hsm.stackexchange.com/questions/11600/what-are-the-sources-for-democritus-experiment-of-dividing-a-shell-down-to-its

https://hsm.stackexchange.com/questions/7071/who-invented-the-number-line

https://arxiv.org/abs/1204.4483

https://faculty.uml.edu/jpropp/dedekind.pdf

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