本月主題：

1. 拓撲學和房性心動過速

2. 熱力學線性代數(shù)

作者：Tony Phillips（石溪大學數(shù)學教授）2025-1-16

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-1-18

1. 拓撲學和房性心動過速

據(jù)《循環(huán)：心律失常和電生理學》 Circulation: Arrhythmia and Electrophysiology雜志11月5日發(fā)表的一篇文章 https://www.ahajournals.org/doi/10.1161/CIRCEP.124.013102 ，拓撲結構可以幫助了解心房撲動（一種心臟跳動過快的疾病） https://my.clevelandclinic.org/health/diseases/22885-atrial-flutter ，并有助于矯正手術計劃。

心房撲動（atrial flutter）通常是由稱為大折返性房性心動過速的心臟傳導網(wǎng)絡紊亂引起的。控制心房（心臟的兩個上腔室）收縮的電信號發(fā)生短路，病理性地加速心跳。

為了了解拓撲的作用，我們需要一些有關心臟和心臟傳導網(wǎng)絡的信息。

心臟傳導網(wǎng)絡示意圖

心臟的四個心室分別標記為LA、RA（左心房、右心房；心房Atrium）和 LV、RV（左心室和右心室；心室Ventricle）。

心臟的自主神經(jīng)系統(tǒng)（橙色）由SA（SinoAtrial）竇房結（節(jié)點SA）和AV（AtrioVentricular）房室結（節(jié)點AV）控制。

激活心臟不同區(qū)域的時間（以秒為單位）由綠色箭頭和數(shù)字表示。

圖源：Richard E. Klabunde博士，經(jīng)許可使用 https://cvphysiology.com/arrhythmias/a003

左右兩個心房分別通過靜脈從肺部和身體其他部位接收血液。竇房結SA是起起搏器作用的細胞簇 https://cvphysiology.com/arrhythmias/a002 。

一次循環(huán)中，竇房結啟動一個通過心房傳播的去極化波（depolarization wave），使心房收縮并將血液排入心室。

房室結AV是一段組織，它延遲此信號，讓血液有時間移動，然后通過標記的路徑將其發(fā)送到心室，左右心室收縮并通過動脈將血液分別排出到肺和其他身體部位。

去極化（depolarization）和再極化（repolarization，復極化）的傳播，通過疊加在心臟正面視圖上的顏色顯示。

在每個循環(huán)中，去極化波（紅色）掃過心臟。細胞從靜息電位（未突出顯示）變?yōu)槿O化（藍色），然后再極化（黃色）。

注意SA節(jié)點的啟動和AV節(jié)點的延遲。

圖源：Patrick J. Lynch，醫(yī)學插畫家，根據(jù)CC BY 2.5使用，來自Wikimedia Commons https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basic_representation_of_cardiac_conduction.gif

這種情形可能出現(xiàn)偏差的一種方式是部分去極化波在一個心房周圍再循環(huán)，并導致該心房額外快速收縮。這是折返性房性心動過速（reentrant atrial tachycardia，字面意思是心臟加速）的“折返”，是一種潛在的危險狀況。

主要作者Mattias Duytschaever及其同事在他們的文章中解釋了拓撲分析如何能夠?qū)@種病理學和治愈步驟提供有用的描述。

正如上面的去極化波圖像所示，心臟傳導是一種二維現(xiàn)象。從這個角度來看，心室的功能就像曲面一樣。

例如，左心房作為一個曲面，在拓撲上是一個具有三個孔的二維球面（每個肺靜脈的兩個分支的入口點可能足夠接近，因此，就曲面上的傳導而言，它們構成了一個孔）。

為了研究傳導，左心房是一個有邊界的曲面：一個帶有三個孔的球曲。這些孔對應于右左肺靜脈（RPV、LPV，靜脈PV，Pulmonary Vein）以及將左心房LA與左心室LV分開的二尖瓣MV（Mitral Valve）。

圖源：Tony Phillips

分析的第一步（集中于左心房心動過速）是將傳導模式可視化為相位場，為曲面上的每個點分配0和2π之間的角度，表示在一個周期中該點首次受到去極化波沖擊的時間。

明確地講，如果LAT（Local Activation Time）是該點的局部激活時間，TCL（Tachycardia Cycle Length）是心動過速周期長度，則作者將該點的相位定義為 ? = 2π LAT/TCL 。

接下來，他們將曲面上某個區(qū)域的拓撲電荷TC（Topological Charge）定義為環(huán)繞包圍該區(qū)域的曲線逆時針方向的總相位變化，并將邊界分量的拓撲電荷定義為圍繞該分量逆時針方向的相位變化。

具有拓撲電荷TC(A)=-1,0,+1的區(qū)域A的示例。

我們將每個點與可能相位的圓相關聯(lián)，并通過以適當?shù)慕嵌葹槊總€點在其圓中分配一條線段來描繪相位場。例如，當A邊界上的所有點同時經(jīng)歷去極化時，就會導致拓撲電荷為0：TC(A)=0

圖源：Tony Phillips

存在左心房心動過速意味著去極化波在曲面某處繞圈。這意味著必須有一條曲線圍繞具有拓撲電荷+1或-1的區(qū)域。（曲線內(nèi)的區(qū)域必須包含一個孔或一個不傳導波的點，例如一個疤痕。）

作者應用他們所謂的指標定理來斷言，還必須存在另一個具有相反拓撲電荷的區(qū)域。

• 指標定理。假設有邊界的曲面被曲線分割成區(qū)域 A?, A?, ?, An。如果在整個曲面上定義了相位場，則A?, A?, ?, An的拓撲電荷，加上邊界的拓撲電荷，總和必須為零。

多邊形A?具有頂點x?, x?, x?, x?, x?；相鄰的多邊形A?具有頂點x?, x?, x?, x?。

圖源：Tony Phillips

證明。假設曲面包括相鄰的曲線多邊形A?和A?，如圖所示。A?的拓撲電荷，即圍繞A?邊界的相位場的總旋轉(zhuǎn)，是其沿著x?x?、x?x?等等這些邊始終逆時針移動的旋轉(zhuǎn)之和。類似地，A?的拓撲電荷是沿邊x?x?,x?x?,x?x?,x?x?逆時針移動的旋轉(zhuǎn)之和。

請注意，沿x?x?的旋轉(zhuǎn)是沿x?x?旋轉(zhuǎn)的負值。曲面上的每條邊（包括沿邊界的邊）將對拓撲電荷之和貢獻兩倍，且符號相反。所以總和一定為零。

作者將“臨界邊界”（CB，Critical Boundary）稱為一條曲線，通常是邊界分量，相位場圍繞該曲線具有非零旋轉(zhuǎn)。根據(jù)指標定理，折返性房性心動過速意味著將有兩個CB；在大多數(shù)情況下，通過消融（ablation，破壞它們之間的一條曲面帶）將一個與另一個連接起來可以重建正常的心律。

該文章包含布魯日圣約翰醫(yī)院一項涉及131名患者（其中106名患者患有左心房折返性房性心動過速）的臨床研究結果，該研究為這些患者的診斷和治療提供了信息。

2. “熱力學線性代數(shù)”

一個振蕩彈簧系統(tǒng)可以幫助求解線性方程。這是《自然》新期刊《npj自然伙伴期刊——非傳統(tǒng)計算》npj Unconventional Computing（npj，即Nature Partner Journals）11月5日發(fā)表的一篇文章的結論 https://www.nature.com/articles/s44335-024-00014-0 。

該文章的八位作者認為，線性代數(shù)是許多科學算法的核心，加速其實現(xiàn)將非常有價值。這篇題為“熱力學線性代數(shù)”的新論文提供了“基于經(jīng)典熱力學以物理為基礎的計算范式”。

讓我們看看熱力學范式是如何工作的。我們專注于求解線性方程組的經(jīng)典線性代數(shù)問題。一維情況非常簡單：我們有一個方程ax=b，其解為x=b/a。為了將范式應用于這種情況，我們將構建一個具有勢能函數(shù)U=?ax2-bx的機械系統(tǒng)。

例如，它可能是具有彈簧常數(shù)a的彈簧懸掛在引力場b中的單位質(zhì)量（如下所示）。我們對系統(tǒng)進行初始撞擊，然后等待。該系統(tǒng)沒有阻尼，因此它會永遠彈跳。但系統(tǒng)將演化到平衡狀態(tài)，此時平均構型對應于勢能函數(shù)的最小值，而不管選擇的特定初始條件如何。（這是熱力學最小能量原理。）U的最小值出現(xiàn)在dU/dx = ax-b = 0，即x=b/a處，這是我們代數(shù)問題的解。

該機械系統(tǒng)由懸掛在彈簧常數(shù)a的彈簧上的單位質(zhì)量組成，被重力常數(shù)b的重力場向下吸引。

該系統(tǒng)的勢能函數(shù)U=?ax2-bx繪制在右側。

當系統(tǒng)達到熱力學平衡時，x的測量值將落在以x=b/a為中心的區(qū)間（灰色陰影）內(nèi)。

圖源：Tony Phillips

在實踐中，該范式應用于大型系統(tǒng)。N個未知數(shù)x?,...,x?合并為一個向量 = (x?,...,x?) ，系數(shù)a變?yōu)橄禂?shù)(a_{ij})構成的一個N×N矩陣A，常數(shù)b變?yōu)殚L度N的向量 = (b?,...,b?)，并且ax=b 變?yōu)榫仃嚪匠藺= 。

作者解釋了我們?nèi)绾螌⒂懻撓拗圃赼_{ij}=a_{ji}，即矩陣是對稱的情況。這允許機械實現(xiàn)，其中系數(shù)a_{ij}表示x?和xj處單位質(zhì)量之間的彈簧耦合，而a??是與x?處的質(zhì)量相關的彈簧常數(shù)，向量表示一個n-元組的“重力場”，每個質(zhì)量對應一個重力常數(shù)b?。

該裝置具有勢能函數(shù)

U(x) = ??A - ?

推廣了?ax2-bx ，其中被寫為列向量，而?是其行向量轉(zhuǎn)置；和?類似。就像一維情況一樣，系統(tǒng)被給予初始撞擊，當它達到熱力學平衡時，坐標的平均值（隨時間變化）將給出勢能函數(shù)最小值的位置。

定位這個最小值涉及與給出x=b/a類似的計算，除了偏導數(shù)之外，并且與之前一樣，最小值的坐標(x?,...,x?)正是我們開始使用的線性方程組的解。

作者提供了他們的算法圖。

求解線性方程組的算法圖（以及用于估計逆矩陣的配套算法）。“提取軌跡”（extract trajectory）和“動力學求積分”（integrate dynamics）框代表算法最后的平均過程。

圖源：該開放獲取論文，獲得CC4.0許可

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-november-2024/

https://www.ahajournals.org/doi/10.1161/CIRCEP.124.013102

https://my.clevelandclinic.org/health/diseases/22885-atrial-flutter

https://cvphysiology.com/arrhythmias/a003

https://cvphysiology.com/arrhythmias/a002

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basic_representation_of_cardiac_conduction.gif

https://www.nature.com/articles/s44335-024-00014-0

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