新定義“共同體函數(shù)”

淺談數(shù)學(xué)分類思想

我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，經(jīng)常遇到需要分類的情形，在2022版新課標(biāo)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)表述中，不同學(xué)段都有對(duì)分類的要求，從小學(xué)課堂上“分一分”，到初中課堂上的分類討論，體現(xiàn)了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類思想的重要性。

分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。 分類以比較為基礎(chǔ)，比較是分類的前提，分類是比較的結(jié)果。 分類討論思想，貫穿于整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。

即使在高中學(xué)段，它的重要性仍然不可替代，下面以一道高中自主招生壓軸題為例進(jìn)行說明：

題目

解析：

01

(1)簡單描述為，一個(gè)函數(shù)，在某個(gè)范圍內(nèi)存在最大值和最小值，它們差的一半即為新函數(shù)——共同體函數(shù)。

從圖象上來解讀，一段有限的函數(shù)圖象，分別存在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間距離的一半作為新的函數(shù)——共同體函數(shù)。

①對(duì)于函數(shù)y=4044x，這是一次函數(shù)，圖象是一條直線，當(dāng)t=1時(shí)，自變量的范圍為1/2≤x≤3/2，由一次函數(shù)增減性，當(dāng)x=3/2時(shí)取最大值M=6066，當(dāng)x=1/2時(shí)取最小值N=2022，所以此時(shí)共同體函數(shù)h的值為2022；

②對(duì)于函數(shù)y=kx+b，這仍然是一次函數(shù)，但由于一次項(xiàng)系數(shù)未知，因此增減性不明，所以需要分類討論：

當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=t+1/2時(shí)取最大值M=k(t+1/2)+b，當(dāng)x=t-1/2時(shí)取最小值N=k(t-1/2)+b，于是h=(M-N)/2=k/2；

當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=t-1/2時(shí)取最大值M=k(t-1/2)+b，當(dāng)x=t+1/2時(shí)取最小值N=k(t+1/2)+b，于是h=(M-N)/2=-k/2；

02

(2)現(xiàn)在y=2/x是反比例函數(shù)，并且是第一象限內(nèi)的一支，它的增減性是明確的，即y隨x的增大而減小，此時(shí)需要考慮的是給出的范圍x≥1，由于共同體函數(shù)本身也存在范圍，左邊界t-1/2應(yīng)該在1的右側(cè)，所以應(yīng)該首先明確t的取值范圍，即t-1/2≥1，解得t≥3/2；

當(dāng)x=t-1/2時(shí)取最大值M=2/(t-1/2)，當(dāng)t=t+1/2時(shí)取最小值N=2/(t+1/2)，所以h=(M-N)/2=4/(4t2-1)；

在t≥3/2前提下，h>0，我們利用小學(xué)時(shí)分?jǐn)?shù)大小比較的方法來判斷如何取最值：

分子一定，分母越小，分?jǐn)?shù)越大。

4t2-1如何取最小值？考慮到這是一個(gè)二次多項(xiàng)式，利用二次函數(shù)最值探究方法，當(dāng)t=3/2時(shí)4t2-1取最小值8，所以此時(shí)h=1/2；

03

(3)對(duì)于二次函數(shù)y=-x2+4x+k=-(x-2)2+k+4，增減性更復(fù)雜一些，對(duì)稱軸是x=2，最大值是k+4，根據(jù)對(duì)稱軸兩側(cè)增減性情況不同，所以又需要分類討論：

確定分類依據(jù)前，需要明確的是對(duì)于區(qū)間t-1/2≤x≤t+1/2而言，是否包含對(duì)稱軸x=2，以此為依據(jù)，初分三類：對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)，對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，對(duì)于第二類對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)的情況，最大值可確定，但最小值需要比較兩個(gè)邊界點(diǎn)函數(shù)值大小，因此又細(xì)分為兩類：左邊界值最小、右邊界值最??；

總共4種情形，分別討論如下：

第一種：對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)，如下圖：

此時(shí)t+1/2≤2，解得t≤3/2，M=-(t+1/2-2)2+k+4=-(t-3/2)2+k+4，N=-(t-1/2-2)2+k+4=-(t-5/2)2+k+4；

所以h=1/2(M-N)=2-t，由t的取值范圍可知h≥1/2，當(dāng)t=3/2時(shí)，h取最小值1/2；

第二種：對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)且左邊界點(diǎn)取最小值，如下圖：

此時(shí)區(qū)間中點(diǎn)t在2的左側(cè)，即t≤2，同時(shí)滿足t+1/2>2，所以t的取值范圍是3/2

所以h=1/2(M-N)=1/2(t-5/2)2，對(duì)于函數(shù)h而言，開口向上，對(duì)稱軸是t=5/2，在t的取值范圍內(nèi)，t=2最接近對(duì)稱軸，所以t=2時(shí)，h取最小值1/8；

第三種：對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)且右邊界點(diǎn)取最小值，如下圖:

類似第二種，此時(shí)區(qū)間中點(diǎn)t在2的右側(cè)，即t>2，同時(shí)滿足t-1/2<2，所以t的取值范圍是2

所以h=1/2(M-N)=1/2(t-3/2)2，對(duì)于函數(shù)h而言，開口向上，對(duì)稱軸是t=3/2，在t的取值范圍內(nèi)，t=2最接近對(duì)稱軸，所以t=2時(shí)，h取最小值1/8，但t的取值范圍中并不包含t=2，所以無法取最小值；

第四種：對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，如下圖：

此時(shí)t-1/2≥2，解得t≥5/2，M=-(t-1/2-2)2+k+4=-(t-5/2)2+k+4，N=-(t+1/2-2)2+k+4=-(t-3/2)2+k+4；

所以h=1/2(M-N)=t-2，由t的取值范圍可知h≥1/2，當(dāng)t=5/2時(shí)，h取最小值1/2；

綜上，四種情形討論完畢，對(duì)于函數(shù)h而言，總共有兩個(gè)最小值1/2和1/8，再取其中更小的最值1/8，根據(jù)題意，1/8=k+4，解得k=-31/8.

解題思考

本題難點(diǎn)在于第3問中t的取值范圍如何分段，解法中采用的是四段，分別是t≤3/2，3/2

作為數(shù)學(xué)里重要的分類思想，義務(wù)教育階段采取由淺入深的方式去培養(yǎng)，在小學(xué)低年段課堂上，一般采用“分一分”，并沒有刻意強(qiáng)調(diào)分類依據(jù)，而是讓學(xué)生根據(jù)自已的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)去分，只要合理都值得肯定，在這個(gè)基礎(chǔ)上，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，對(duì)于數(shù)學(xué)比較有了更多方式之后，才開始確定分類依據(jù)，實(shí)現(xiàn)“按要求分類”，在此之后，分類思想才生長得更快，初中學(xué)段，無論是有理數(shù)分類、實(shí)數(shù)分類、線段分類、角分類、三角形分類等，其最底層的經(jīng)驗(yàn)，來自一二年級(jí)時(shí)的“分一分”，通俗點(diǎn)講，學(xué)生先學(xué)會(huì)用經(jīng)驗(yàn)去分，再學(xué)會(huì)有依據(jù)地去分。如果學(xué)生面臨一個(gè)數(shù)學(xué)問題探究時(shí)，沒有想到去分類，說明在前面的學(xué)習(xí)過程中，積累的經(jīng)驗(yàn)不足，這需要我們?cè)谡n堂上充分調(diào)動(dòng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，解決“分不分”的問題；

關(guān)于分類的原則，前面提到的一個(gè)非常重要的原則是不重復(fù)不遺漏，這恰恰在初中學(xué)段，學(xué)生容易犯這種錯(cuò)誤，首先這需要學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯，我們?cè)谡n堂上需要以身示范，用正確的邏輯去教學(xué)，其次需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解更深，直至本質(zhì)，才能準(zhǔn)確進(jìn)行比較，從而解決“分得對(duì)不對(duì)”的問題。