幾何處于數學的核心，可以追溯到數學的最初起源，并一直延續到當今的前沿研究。最近人們認識到，某些類型的幾何比其他類型的幾何更特殊。

作者：Jason D. Lotay（牛津大學數學教授，SLMath訪問教授，2024-12-20）

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-12-29

理解這一點的關鍵是分析（即使用微積分技術）在幾何中發揮的核心作用。更具體地說，使用偏微分方程（例如描述熱量如何在房間內消散的方程，不出所料，被稱為熱方程）來制定許多重要的幾何問題已被證明價值無限。這些偏微分方程通常是二階的：為更好地理解階的概念，舉個例子，加速度通常被視為物體運動的二階量，而速度是一階量。

卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）的纖維化，提供了特殊幾何結構的重要例子

圖源：Vchalup|Adobe Stock

大多數特殊幾何問題都具有這樣的性質：它們涉及一階偏微分方程，而這蘊含著更一般的二階偏微分方程。這既令人驚訝又很強大，它解鎖了新的工具和技術，產生了與其他數學領域（包括與本學期其他課程“曲率新前沿”的密切聯系）以及理論物理學的聯系，并提供了新穎的研究途徑。正是這些特殊的幾何結構和相關的分析構成了本學期“特殊幾何結構和分析”課程的核心研究內容。該課程正在探索的一些關鍵問題包括：

? 某些特殊幾何結構是否存在？我們能確定它們何時存在嗎？

? 我們能理解這種結構的家族嗎？我們能對它們進行分類嗎？

? 我們如何發現它們？我們如何克服試圖發現它們的已知方法中的分析（微積分）障礙？

? 它們的性質是什么？我們能理解這些結構的奇點（singularity，即非光滑部分）嗎？

? 各種類型的特殊幾何結構之間有什么關系？我們能利用這一點加深理解它們的幾何和分析嗎？

特殊和樂（special holonomy）

為了提供特殊幾何結構及其相關分析的第一個具體示例，我們想考慮曲率。如果想說某個平均曲率概念（稱為Ricci curvature，里奇曲率）是常數，這相當于黎曼度量的二階偏微分方程，這是允許我們在光滑物體上定義曲率的對象。可以做到這一點的幾何體稱為愛因斯坦流形，因為這個條件類似于愛因斯坦廣義相對論中引力的真空場方程（我們規定的常數對應于物理學中的宇宙常數）。愛因斯坦流形是數學和物理學中備受關注的迷人對象，但它們非常難找，而且非常神秘。該課程的一個特別令人感興趣的是（宇宙）常數為零的愛因斯坦流形：這些是里奇平坦流形。

正是在這里，特殊的幾何結構進入了故事。當擁有黎曼度量時，我們可以觀察空間的切向量在繞環路（loop，閉圈）進行平行傳輸時如何變換：這些變換形成一個群稱為和樂群（holonomy group）。1950年代，Berger（貝爾熱）對可能的非平凡和樂群進行了分類，在這個列表中，有幾個特殊的和樂群導致里奇平坦度量：它們分為兩個無限族（卡拉比-丘、超凱勒hyperk?hler）以及兩個分別稱為G?和Spin(7)的7維和8維的例外情況。根本之處在于，要找到一個具有特殊和樂群的流形，就等于求解一階偏微分方程，這蘊含了二階里奇平坦條件。事實上，使用特殊和樂是我們知道的產生非平凡緊里奇平坦流形的唯一機制。

上面提到的Berger列表只告訴你特殊的和樂流形可以存在，而不是它們實際上會存在。它們的存在，特別是在緊的情況下，是一系列突破的結果，包括丘成桐對卡拉比猜想的解決（這導致他獲得了菲爾茲獎）和喬伊斯（Joyce）構造第一個緊的G?和Spin(7)流形（通過修改眾所周知的K3曲面的Kummer構造，而那種構造是卡拉比-丘和超凱勒流形最簡單的非平凡例子）。

Kummer K3曲面——一個具有特殊和樂的流形的重要示例

圖源：Claudio Rocchini

該課程的一個關鍵方面是研究特殊和樂流形的幾何和分析，以及相關幾何學。特別令人感興趣的是這些空間的奇點：它們不光滑的地方。這種奇異的特殊和樂空間不僅具有數學意義，而且自然出現在弦理論和M理論的理論物理學背景下。

特殊和樂的另一個令人興奮的方面，也是該課程的主要興趣，是幾何流的使用。幾何流是上述熱方程的非線性類似物：它們是幾何對象的演化方程，尋求找到最優代表作為其最終目標。這將有助于研究特殊和樂空間的存在問題和分類問題。然而，幾何流并不總是以簡單直接的方式工作：它們會遇到奇點。正如上文所述，這些奇點是流動物體不再光滑的地方。在奇點處，尚不清楚如何繼續流動。這些奇點，包括它們如何形成、它們是什么樣子，以及繼續經過或繞過它們的方法，也構成了幾何流研究的一個重要方面。在本課程的這一部分，令人感興趣的幾何流是凱勒-里奇流，以及復幾何中的其他相關流（例如，可以引出卡拉比-丘度量的流）和布萊恩特（Bryant）引入的G?-拉普拉斯流，它尋求具有特殊和樂G?的度量。

校準幾何（calibrated geometry）

與特殊和樂理論緊密相關的是一種特殊類型的子流形理論：研究存在于高維環境空間內的低維對象。子流形的一個例子是赤道，這是位于二維地球表面上的一條線。這種特殊的子流形理論稱為校準幾何，產生出眾多子流形中其體積（或面積）極小的那一個子流形。關鍵的例子是肥皂膜，它極小化其表面積。同樣，校準條件是一階偏微分方程，這蘊含了二階條件是體積的臨界點（稱為極小子流形）。

立方體中的肥皂膜形成一條奇點線。

圖源：Joseolgon

體積極小化意味著校準子流形提供了最優或典范代表的自然例子，這有望解決分類問題。此外，就像曲面上最短的曲線（即測地線geodesic）編碼了該曲面上的幾何的關鍵方面一樣，人們希望研究校準子流形能夠發現周圍特殊和樂空間的微妙新信息，例如不變量。大家還認為校準子流形有助于解釋卡拉比-丘流形的鏡像對稱性這一神秘現象，該現象首先出現在理論物理學中，通過研究校準纖維化，其中纖維被稱為特殊拉格朗日子流形。校準纖維化在其他特殊和樂流形中也發揮著關鍵作用，例如G?和Spin(7)流形，其中校準子流形在G?情況下稱為結合的（associative）和余結合的（coassociative），在Spin(7)情況下稱為凱萊Cayley的。

瞬子沿直線冒泡，產生一個奇異瞬子。

圖源：Daniel Platt

對校準幾何研究的一個基本問題是奇點的存在性。正如肥皂膜中看到的那樣，這些奇點自然發生，也不一定只是孤立的點。對這種幾何現象的分析具有挑戰性，無論是在這個特定主題中還是在特殊幾何結構中，這個問題是本學期課程研究的核心部分。

在復幾何領域之外尋找校準子流形非常困難。一般來說，沒有明確的方法來解決這個問題。然而，對于卡拉比-丘流形中的特殊拉格朗日子流形，還有其他技術。這些包括一種稱為拉格朗日平均曲率流的幾何流。和以前一樣，奇點具有根本性的重要性，但現在，托馬斯-丘Thomas-Yau和喬伊斯Joyce的啟發性猜想提供了額外的見解，這些猜想表明了這些奇點與穩定性條件之間的關系，包括Fukaya（深谷賢治）深谷范疇上所謂的Bridgeland穩定性條件。這產生了微分幾何、幾何分析和辛拓撲之間的迷人聯系。

規范理論（gauge theory）

我們最后討論的特殊幾何結構形成了特殊和樂背景下的另一類重要對象：所謂的瞬子（instanton）。瞬子是規范場論數學領域的一部分，它起源于物理學，特別是電磁學（包括麥克斯韋方程和磁單極子）和粒子物理學（如楊-米爾斯理論）。瞬子，就像校準子流形一樣，是楊-米爾斯能量的極小化。同樣，它們由一階偏微分方程定義，這蘊含了二階條件是楊-米爾斯連接（楊-米爾斯能量的臨界點）。

受Donaldson唐納森在光滑4-流形上瞬子的開創性工作的成功啟發，他因此獲得了菲爾茲獎，唐納森-托馬斯提出了更高維度的規范理論，人們希望能夠使用瞬子來揭示有關特殊和樂空間的新信息，例如通過不變量的潛在構造。這似乎與我們上面關于校準子流形的討論有關：這并非巧合。事實上，瞬子和校準子流形之間的聯系更進一步，它們之間產生了一種對偶形式，這是本學期課程的研究領域之一。這種對偶性通過所謂的冒泡產生，其中瞬子族沿著校準的子流形聚集，在冒泡過程結束時產生具有奇點的瞬子。這些奇點對我們進一步理解更高維度的規范理論構成了重大障礙，而且奇點不是孤立的，而是可以成族地出現，這一事實導致了復雜的分析和豐富的幾何。

總結

幾何學和特殊幾何結構分析有許多關鍵方面，它們在該課程各個主題中反復出現。這些主題以及各種特殊幾何結構之間的聯系將在SLMath的整個秋季學期進行研究。這無疑將為該領域的關鍵問題帶來新的見解，并在未來實現該學科的突破。

參考資料

https://www.slmath.org/newsletter-fall-2024

https://mailchi.mp/slmath/slmath-news-fall-2024

https://people.maths.ox.ac.uk/lotay/

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