微積分是高等數學的基礎，也是一切其它自然科學的基礎科學。微積分學是高等數學中以函數為研究對象，并采用極限作為分析方法來研究函數的微分、積分以及相關理論和應用的數學分支，微積分學由微分學和積分學組成。

微積分的發現者：左為萊布尼茨，德國數學家、哲學家；右為牛頓，英國物理學家、數學家、天文學家、哲學家。

微積分思想的起源可以追溯到古希臘時期和中國戰國時期，如古希臘“窮竭法”和中國“割圓術”（割圓術的方法，詳見本文置頂的評論）。17世紀，牛頓和萊布尼茨分別獨立創建了微分和積分，經過數學家們的不懈努力，微積分最終發展成為一門邏輯嚴密完善的學科。

無限小的dx和dy就是微分

微分的教科書定義是，某個變化量的無窮小變化。在微積分學中，微分表示函數線性化的變化，微分的定義可描述為：當函數自變量只有一個，且在某點的一個鄰域內有定義時，自變量有一個無窮小增量Δx，則稱dy為函數在該點處的一元型微分。

將微分概念換成我們可以理解的語言，就是上面的函數曲線y=f(x)中，將變量x和y無限細分，變量x每增加一小份記作dx，此時dy的變化量就是對dx的微分，上述d就是微分符號，后面分別跟著變量x和y。

我們不僅可以對曲線y=(x)長度求積分，還可以對陰影部分面積求積分，都是求和的過程

積分的教科書定義是“區間內的累計變化量”，即用一個數值來表示一個變量在某一區間內的累積變化量。在數學上，積分可以用于求解曲線下面的面積、定積分可以計算函數在一定區間內的平均值以及反常積分則可以處理無限區間的值。

還是把上述官方用語翻譯成我們能夠理解的描述，如果我們想求得上面曲線y=f(x)的在（a，b）區間內長度，我先將曲線微分，就是分成無數小段的直線，每一段記作dx，然后將無數個小段累加求和，就得到曲線長度：

L=∫dx； x∈{a,b}

這個過程就是積分，其中∫就是積分運算符號。

同理，上圖中曲線y=f(x)和x軸形成的陰影部分，沿x和y軸包含了無數個細化的微分圖形，就像將陰影部分沿著y軸方向切成無數條矩形形狀的細片。我們將這些細片累加求和，得到陰影部分的面積，這個過程也是一個積分，那么陰影部分的面積S為：

S=∫dydx=∫df(x)dx

從上可見，微分是細化函數或圖形，積分就是對微分的求和，二者是可以互相逆運算的。比如x2的微分（準確的說叫求導）結果為2x，那么反過來2x的積分結果為x2 。微積分的計算公式很多，這里就不一一列舉了。

下面以圓和圓球，舉四個實例來描述微積分的運用。

1-圓的周長公式

把圓分成無數個小的三角形是微分，對小三角形的短邊微分求和就是積分，就能計算出圓的周長

在二維幾何平面上，對于以原點為圓心，如圓C半徑為R，在笛卡爾坐標下，整圓角度2π（注意，π在這里是弧度，換算成角度就是180度）。

我們將整圓分成n份，每一份接近一個三角形，其頂角弧度為θ ，當n足夠大時，或者說n趨近于無窮大時，θ足夠小趨近于零，此時：

sin(θ/2)=θ （式1）

那么每個小三角形靠近圓弧的短邊長度，記作da。

根據式1可得：

da=dRsin(θ/2)=dRθ

那么計算圓周長C的積分，即無數個短圓弧累加求和：

于是C=∫dθ =∫Rdθ；

其中θ∈{-π,π}

C=∫Rdθ=[π-(-π)]R=2πR

這就是我們熟悉的圓周長公式：C=2πR

2-圓的面積公式

先微分將圓分成無數個小三角形，然后積分將這些小三角形面積想加，就能得到圓的面積

還是和上面求周長一樣的圖形，圓C的內部圓盤為：

S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2 }

在平面極坐標下，圓盤S可以被分割為無數的 “小扇形 ”，每個小扇形的面積近似等以弧長 da= Rdθ為底，以半徑R為高的三角形面積，則根據三角形公式：

ds =1/2Rda=1/2R*Rdθ

=(R2/2)dθ

這些ds全部加起來，就是對ds積分的過程，于是整圓面積S：

S=∫ds=∫(R2/2)dθ；

其中θ∈{-π,π}

S=∫(R2/2)*Rdθ

=[π-(-π)]R2/2= πR2

這個結果就是全部小扇形的面積之和，即整圓S的面積公式：

S = πR2

3-球的表面積公式

先微分，通過相似三角形求得QP長度；然后QP旋轉一圈求出其表面積；對該表面積積分，就能得到球的表面積

O點為球體中心，過中心O的半徑上點R做一直角三角形⊿QPR，同時半徑交與⊿QPR交于點A，點A在x軸的垂足在點B。

由于⊿AOB和⊿QPR的三條邊互相平行或垂直，根據相似三角形的原理我們可以得出結論，⊿AOB∽⊿QPR，即二者為相似三角形。

令直線QP=ds，當QP這個微元很小時，可以認為直線QP的長度等于點Q、P之間的圓弧長度，直線OA等于球的半徑r。

根據上面相似三角形性質，可得：

AB/OA=PR/QP （式2）

令AB=y，PR=x,

又因OA=r，QP=ds，故式2可以寫作：

yds=rdx (式3)

微元繞x軸旋轉ds，掃出的形狀可以認為是一個圓柱體，其側面積為ds=2πyds

對該微元球積分，即無數個微元累加求和，同時根據式3，所以球體表面積的積分為：

S=∫2πyds=∫2πrdx；

其中x∈{-r,r}

于是可得：

S=2πr[r-(-r)]=4πr2

最終得到半徑為R的圓球的表面積公式為：

S = 4πR2

4-球的體積公式

先微分，將球切成無數個片；再求出每一片的體積；最后將全部片體積相加，就是球的體積

已知球體半徑R，將球就像切西瓜一樣切成一片一片的薄片，設距離球心距離z處的取一個厚度為dz的圓盤，dz足夠小時可將該圓盤認為是一個圓柱體，它的半徑：

Rg=sqrt(R2-z2) (式4)

sqrt為平方根符號

根據圓盤（圓柱體）公式，其體積為：

dv=πRg2dz

代入式4：

dv=π(R2-z2)dz (式5)

累加式5，將無數個圓盤累加求和，就是計算積分，球的體積：

V=∫dv=∫π(R2-z2)dz；

其中z∈{-R,R}

于是：

V=πR2[R-(-R)]-π/3[R^3-(-R)^3]

=4/3πR^3

注：R^3表示R的3次方

最終我們得到半徑為R的圓球體積公式為：

V=4/3πR^3

從以上四個實例中還可得出，圓的面積πR2的求導(類似于微分)結果就是其周長2πR；同樣，對球的體積4/3πR^3的求導結果就是其表面積4πR2。

因此，微分在幾何空間上的意義近似于降維，積分類似于升維：線連成面、面組合成三維即升維；反之就是降維。

不僅理工科必須要學習微積分，文科也要需要應用微積分，比如經濟學和統計學

其實微積分在設計和工程中的實際運用，比上述實例要復雜的多，這些留給不同專業的技術人員去考慮，我們只要知道微積分的原理就足夠了。微積分的在各專業領域應用非常廣泛，它在天文學、力學、數學、物理學、化學、生物學、工程學、醫學、以及社會科學等各個領域都發揮重要作用。

對于微積分我們可以打兩個比方：微分就像是經過流水和風化侵蝕的作用，一塊巨石可以變成無數極細小的沙粒；積分就是經過地質運動和造山運動，無數塊巨石可以磊成一座珠峰。

加烏拉山口有世界上唯一可以觀賞5座8000米級雪峰的觀景平臺，遠處最高的就是珠峰

我們通過對微積分基礎知識的簡單了解，即使工作和生活不運用它，但是至少對個人的邏輯思維能力，也是一種提高。