前言：很多人知道楊振寧的名氣很大，卻不知道他的最大貢獻是什么，往往津津樂道于他的私生活，這是舍本逐末的做法。同時對多數人來說，張量是數學中比較難理解的，而愛因斯坦引力場方程和楊—米爾斯方程就更加難以理解。如果看不懂數學和物理部分，就直接看文中的郵票和后記，你會感興趣的。

廣義相對論中的引力場方程，和量子力學中規范場論的楊—米爾斯方程（楊就是楊振寧），在物理史上都具有劃時代的意義，都是使用數學中的張量來描述的，可以說不懂張量就難以理解相對論和規范場論。

愛因斯坦引力場方程，人類探索宇宙的理論基礎

通過本文我們就最簡單的學習一下張量，以便理解這兩個偉大的方程，為便于理解，我們并不打算使用官方語言來解釋。

楊振寧最偉大的成就，就是這個公式

1-張量是一種數學語言：

簡單的說張量就是一組有序數，是一組有序數的表現方式，或者說是記號。與向量、矩陣一樣，張量也是一種表現方式，其本質就是一組有序的數字。

張量是比向量和矩陣更高級的記號，它向下包含了向量和矩陣，凡是向量和矩陣能表示的，張量都能更簡潔地表示。

1-1.張量的表示方法

比如下面這三個張量

從左至右分別是1、2、3階張量，小數字寫在上面就是上標，寫在下面就是下標

因為輸入法的原因，我們文本中用符號“_”表示張量下標，用符號“^”表示張量上標。那么上面的張量分別寫作——

X_i是一個1階張量，G_uv是一個2階張量，F_uv^a是一個3階張量。上、下標的數量就是張量的階，即出現了幾個上下標張量就是幾階。如果我們不提是幾階張量，就默認是2階。

1-1-1. 零階張量為標量，即沒有方向的量，比如時間t、溫度T。

1-1-2. 一階張量是矢量，比如Xi =[X1,X2……,Xn]就是一組n個元素的數組，i為指標。比如i=1,2,3時，定義向量a即空間矢量OP，數組形式表示的向量a=[x,y,z]，其中的x、y、z叫做元素（或稱為分量），可以理解為向量a在三維坐標系上的投影。

OP即空間矢量（或稱向量），是1階張量

向量a還可以寫成矩陣形式

1階張量用矩陣或數組表示，只有一行或一列

1-1-3. 二階張量可用矩陣表示，比如理論力學中的應力計算中，應力張量表示為σ_ij， i和j兩個下標我們稱之為指標，i=1,2,3，j=1,2,3，可以展開成為3×3=9個元素的矩陣，每個元素是有兩個指標表示的矢量，力學中代表了受力物體不同表面、不同方向的應力。

用2階張量表示的應力

展開成3×3矩陣，形式如下

應力張量展開成矩陣形式

1-1-4. 三階以上的張量也可用矩陣表示，用張量記號的目的無非是書寫簡單、便捷。比如3階張量δ_mnk，就是有m×n×k個元素的矩陣……4階直到n階張量都是一樣的道理。

1-1-5. 對于張量的結構，我們用集郵冊為例，來形象的理解一下。

集郵冊的封面，沒有任何郵票，理解為0階張量，即標量。

集郵冊封面就是0階張量，即標量

翻開集郵冊，沒有分隔槽的頁面是用來存放二到數張小型張或聯票的，理解為1階張量即矢量，排成一行或者一列。

集郵冊內存放小型張的大頁面，就是1階張量，即矢量（或稱向量）

帶分隔槽的頁面，理解為2階張量即矩陣，20張郵票排成了4行5列，其中的i=1,2,3,4表示行，j=1,2,3,4,5表示列，i和j就是指標，每一張郵票就是元素或分量。

集郵冊內存放郵票的頁面，就是2階張量

整本集郵冊，每頁20張郵票，共有30頁，理解為3階張量，這30頁的每一頁就是增加的分量k=1,2,……,30。

整本集郵冊，就是3階張量

如果我們有5本這樣的集郵冊，那么就增加第4個指標m=1,2,3,4,5，這就構成了4階張量。那么我們表示這5本集郵冊的全部信息，書寫就變得簡潔了，用張量Y_mkij表示。Y表示張量代號，索引第m本的第k頁的第i行第j列，就能找到某一張郵票。

5本同樣的集郵冊，就組成了4階張量

1-2. 張量的分類

比如下面運算中這三個張量

從左至右分別是混合張量、逆變張量、協變張量

1階張量g_i的指標i在下方，稱為協變張量。1階張量g^j指標j在上方，稱為逆變張量。2階張量g_i ^j上下都有指標，稱為混合張量。隨著某一個量的變化，隨之一致變化的即為協變，隨之相反變化的即為逆變。

協變和逆變的區別在于是否隨坐標系改變而改變

協變和逆變大家可能覺得不好理解，舉個例子，見上圖。平面斜角坐標系中，x_1和x_2（均為下標）坐標系中，矢量a的分量a^1和a^2向量模值減小，稱之為逆變；增加角度后的x ^1和x^2（均為上標）坐標系中，矢量a的分量a_1和a_2向量模值增加，稱之為協變。

1-3.張量的各類運算結果也用一個張量來表示，主要運算如下。
1-3-1. 張量的加減

加減很簡單，對應的分量加減即可。例如：

張量的加法運算

1-3-2. 張量的點乘

嚴謹的說法叫縮并，點乘是降階的。

如a有4階b有2階， a點乘b得到的就是4-2=2階

如a有2階b有1階， a點乘b得到的就是2-1=1階（矩陣乘向量）

如a有2階b有2階， a點乘b得到的就是2-2=0階（矩陣乘矩陣）

點乘結果的階數就是階數大的減去階數小的，比如C、G兩個張量：

張量的點乘

1-3-3. 并乘/張量積

并乘是升階的，并乘結果的階數就是階數大的加上階數小的。

張量并乘寫法一

并乘除了寫圈圈里面一個叉，還可以什么都不寫，就緊貼著。

張量并乘寫法二

i和j都是自由下標，結果為2階張量，所以這是9個分量。

張量的并乘運算

1-3-4. 張量的叉乘

叉乘是不升不降的。例如向量的叉乘

張量的叉乘

這里e_i代表坐標軸的單位向量，e_ijk叫做置換符號(又叫里奇符號，后面的引力場方程會再次出現以這位數學家命名的張量符號）

張量的置換

1-3-5. 用張量記號簡寫求偏導

張量也可以簡寫求偏導操作，例如：

(??/?x, ??/?y, ??/?z)

就可以簡寫為??/?i，或者?i

注意：張量的乘法運算中，交換順序結果會改變，即AB≠BA。

張量還有很多運算方式，因篇幅限制就不細解了，我們只需知道張量的基本數學概念即可，因為我們的目的是理解后面的物理公式，下面就開始詳解愛因斯坦引力場方程和楊—米爾斯方程。

2-先看廣義相對論的愛因斯坦引力場方程：

愛因斯坦場方程

這是一個二階張量方程，R_uv為里奇曲率張量表示了空間的彎曲狀況；G_uv為愛因斯坦張量；T_uv為能量-動量張量，表示了物質分布和運動狀況；g_uv為里奇度規張量；R為里奇曲率標量，G為萬有引力常數；c為光速；其中u、v= 0,1,2,3，表示四維時空。

2-1.其中能量-動量張量T_uv用4×4矩陣方式展開式如下：

能量-動量2階張量T_uv展開的4×4矩陣方式

其中1、2、3表示X/Y/Z軸組成的三維空間，0表示第四維度的時間。T_00表示能量密度除以光速的平方；T_01/T_02/T_03為動量密度，即相對論的質量；T_10/T_20/T_30在此表示能量；
T_11/T_12/T_13/T_21/T_22/T_23/T_31/T_32/T_33為動量……

2-2.可能大家覺得上述指標u、v很難理解，請見以下詳解：

四維時空是由X/Y/Z軸和時間t軸構成的閔可夫斯基平直坐標系。

四維時空的模擬圖，時間t軸與XYZ軸均成45度

廣義相對論是用黎曼流體幾何描述的，具體到某一點的作用，就需要用該點切空間TxM中的一組切向量u和法向量v來表示。

黎曼流體幾何中任意一點，可以用的切空間TxM、切向量u和法向量v來表示

那么這兩個向量u、v在X/Y/Z軸投影的分量就可以用下圖表示。

指標1、2、3也可以用X、Y、Z 替換，藍色箭頭T理解為時間分量

由此可見，將張量展開成數組或矩陣，就是將作用量從黎曼流體空間轉化成笛卡爾平直空間的過程，這也是張量非常重要一個的幾何意義。

2-3.同上，里奇曲率張量R_uv的展開式，也可以用矩陣方式描述:

里奇曲率2階張量R_uv展開成矩陣

同樣是一個二階張量，它包含了時空曲率的所有信息，是一個在黎曼流形每點的切空間上的對稱雙線性形式。它是黎曼曲率張量的一個縮并，提供了一個數據去描述給定的黎曼度量所決定的體積，究竟偏離了歐幾里得空間多少的程度。

2-4.里奇度規張量g_uv是從黎曼度規張量縮并而來的，是指用來衡量度量空間中距離及角度的二階張量：

g_uv = ?x^α/?x^μ * ?x^β/?x^ν * g_αβ

將平直時空的度規變換到引力場中一般坐標系中，就需要引入度規張量，它是從狹義相對論的閔可夫斯基四維的平直坐標系轉變為黎曼流體幾何坐標系，所需要的一個常量張量，非常復雜，我們簡單的知道這個概念即可。

下面的公式就是著名的場方程

2-5.愛因斯坦場方程的物理意義是：空間物質的能量-動量T_uv = 空間的彎曲狀況R_uv，在任意參考系內，質量都會產生引力，引力會彎曲時空。

舉個例子，太陽和地球下灰色的桌布表示時空，太陽擁有足夠大的質量因此能產生較大的引力，會使時空彎曲。彎曲后的時空，距離太陽越近的地方桌布凹陷的越深，就是時空彎曲程度越大；地球距離太陽較遠，時空彎曲程度較小；而離太陽很遙遠或無窮遠處，時空彎曲程度很小，桌布基本上是平的。愛因斯坦場方程，就是對這個時空彎曲效應的量化描述。

天體的時空彎曲效應就是由場方程來量化的

3- 大名鼎鼎的楊—米爾斯方程形式如下，是以楊振寧和他的學生米爾斯的命名的偉大公式。

楊—米爾斯方程的一般形式

3-1．要理解該方程，需要先簡單了解一下李群：

從代數上定義，李群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。設G是一個拓撲群，同時是一個微分流形，若G作為群的群乘法與逆映射都是光滑的，則G稱為李群。

這樣說大家可能覺得十分抽象，那么從幾何上看，SU(N)作為李群，它不僅僅是矩陣群，它同時也是一個N2-1維的彎曲流形，即一個高維的曲面。

曲面的切空間TΩ0SU(N)，就是李群SU(N)

我們將SU(N)視為高維的曲面，那么對于任意Ω0∈SU(N)，用表示TΩ0SU(N)在處的切空間。在數學上我們稱這個切空間為李代數，它是一個N2-1維的線性空間，其基底是N2-1個線性無關的埃爾米特矩陣，即：

埃爾米特矩陣

在物理中，我們稱這些李代數的基底{τa}是規范場的表示元，原因在于它們確實可以被用來表示規范場[1,2]，是規范場中最基本的物理量，就如同我們中學時所學的向量需要通過坐標系來表達一樣。當N=2的時候，這一組基底在標準模型中取用3 個泡利矩陣表示；當N=3的時候，這一組基底在標準模型中取用8個蓋爾曼矩陣表示。這兩種矩陣是我們討論強、弱相互作用時要使用的，它們如下圖所示：

泡利矩陣是對稱的，蓋爾曼矩陣是非對稱的

對李群這個概念，我們繼續沿用前面章節1-1-5的集郵的比方，李群中的數組就是每個人的多本集郵冊，那么李群就類似于多人組成的集郵協會，是個集合，或群體。

3-2.接下來就講解楊—米爾斯方程，它還可以寫成如下形式：

SU(2)和SU(3)群的楊米爾斯方程形式

那么上述兩個方程，從上到下從左至右，全部數學符號的意義如下：

￡_YM：楊—米爾斯張量而形式的拉格朗日量，是一個2階協變張量，即系統的動能T與勢能V的差值。

張量中的u、v：是指四維時空中的兩個指標u 、v = 1,2,3,4。其中1,2,3分別表示X/Y/Z坐標，4表示時間。

F_uv^a：是一個3階混合張量，表示規范場a中有u、v兩個指標的場強張量F，其中a、b、c的含義和關系見下。

?u和?v：即?ψ/?u和?ψ/?v，表示對四維時空中的u、v兩個指標求偏導，ψ是規范場中的波函數。

張量中a、b、c：符號a是李代數群的指標，表示SU(N)群所對應的規范場數量為N2-1；如SU(2)群弱相互作用對應的3個規范場，a=1,2,3；SU(3)群強相互作用對應的8個規范場，a=1,2,3……,8；指標a決定了指標b、c并構成了李群，它們之間滿足張量計算τ_b τ_c - τ_c τ_b = i f_bc^a τ_a，其中τ_a為李代數的基底（基底可以簡單的理解為矢量在坐標系中轉換的度量衡或轉換單位），i為復數，基底的變化還決定了b、c指標不同的取值范圍。

混合張量f_bc^a：是李代數結構常數，f_bc^a取決于基底τ_a的選擇，從上面a、b、c的張量計算式中就能看出a和b、c變換方向相反，所以構成了f_bc^a形式的混合張量。在非阿貝爾群中，這些常數反映了群元素的乘法不滿足交換律的特性。

符號g：SU(N)群的耦合常數，是粒子通過相互作用轉化過程強度的參數。

混合張量A_u^a、A_v^a、A_u^b、A_v^c：其中的張量指標u、v、a、b、c的定義同上，A為矢勢；前兩個二階混合張量表示粒子在規范場四維時空的矢勢；后兩個混合張量表示李群結構中的矢勢。

玻色子的自旋量子數為整數，而費米子的自旋量子數為半整數

3-3.數學一旦清晰，就能從物理上解釋楊—米爾斯方程：

楊—米爾斯方程從SU(N)規范變換也可以給出拉格朗日作用量—即G_v^a的泛函（泛函是指將函數本身作為一個變量元，形成一個新的函數），那么G_v^a就是規范場：

楊米爾斯方程的規范場變換式

3-3-1.量子力學的框架是：四種基本相互作用都會輻射場粒子，這種在發生相互作用的過程中輻射出來的場粒子就是媒介子，它是玻色子，也是場能量的攜帶者。按照規范場理論，媒介子就是由規范場來刻畫的基本粒子。在電磁相互作用中，媒介子是光子，規范場就是電磁場；在強相互作用中的媒介子有8種膠子，正好由SU(3)群8種規范場來描述，規范場是強核力場；而弱相互作用中的媒介子有3 種，即W+/W-/Z三種玻色子，而SU(2)規范場有3種，規范場是弱核力場。

按照量子電動力學，傳遞電磁力的媒介是光子

媒介子是參與相互作用的一些粒子，它們被認為在相互作用的過程中傳遞相應的相互作用，是兩個費米子發生相互作用的“媒介”。而費米子是構建物質的基本粒子，包括夸克、質子、中子等，由它們組成各種微觀粒子，費米子在規范場中由波函數ψ來刻畫，描述他們的運動方程是狄拉克方程。

按照弱電統一論，傳遞弱核力的是W+、W-和Z三種玻色子，均存在質量

3-3-2.電磁場是U(1)規范場，是可交換的變換群即阿貝爾群。此時楊—米爾斯方程中的耦合常數g為零，那么方程右邊只剩下前面兩項，?_u G_a^v -?_v F_a^u物理意義就是規范場中粒子的拉格朗日作用量（動能-勢能）。我們可以從張量形式的麥克斯韋方程組，推導出楊—米爾斯方程，這個過程非常復雜，此處略。

按照量子色動力學，傳遞強核力的是膠子，在三個夸克之間以光速來回運動

3-3-3.SU(2)和SU(3)為非阿貝爾變換群的規范場。前面描述過，SU(2)群弱相互作用對應的3個規范場，a=1,2,3，對應的是W+、W-和Z三種玻色子形成的3個規范場；SU(3)群強對應相互作用的8種膠子，a=1,2,3……8，形成的8個規范場。

按照規范場論，膠子共有8種，其中每一種代表了一個規范場

比如SU(2)群的強度張量F_a^u（指標a=1,2,3表示三種玻色子的形成規范場；指標u=1,2,3,4表示X/Y/Z軸和時間軸）的矩陣展開為4×3矩陣：

強度張量F_a^u的矩陣展開式

其中每個分量代表了每個規范場在四維時空中的作用量，方程中的另外幾個張量也可以按照此方式展開。指標u、v的含義與前面愛因斯坦場方程第2-2章節的描述形同。

方程最右邊的g f_ij^a A_b^u A_c^v是二次項的規范勢，含義是SU(2)和SU(3)群中不同規范場的相互作用所形成的場勢能，體現了規范場的非線性特征。比如SU(2)群W±玻色子和Z玻色子形成的規范場，因為玻色子質量、速度、動量等不同，形成不同的場勢能，這表明不同玻色子的作用量是不同的。

楊振寧和他的學生米爾斯

3-3-4. 楊—米爾斯方程采用張量和李群的數學方式，描述了規范場場強和能量的轉換數學關系，將U(1)×SU(2)×SU(3)作為規范理論，統一了電磁力、弱力和強力，具有劃時代的意義。

楊—米爾斯規范場理論得到的最重要結果之一是漸近自由，該結果可以通過假設耦合常數g(小非線性)，高能量和應用攝動理論得到。該理論明顯具有普適性，只要規范群有連續的參數，其取值范圍是有限的。關鍵在于適當選擇描述規范對稱性的連續群，以及粒子規范變換的具體形式，即τ_a的選擇。

方程準確的預測了方程中的玻色子種類a，指導弱電統一論和量子色動力學的研究方向，建立了標準模型，迄今為止所有的實驗，都沒有超過標準模型的預測，這的確是一項偉大的成就。

四種作用力有三種被楊-米爾斯規范場論所統一，唯獨萬有引力置身事外

愛因斯坦場方程和楊-米爾斯方程都是非線性的，而且都是將空間流體面，通過張量方式微分到笛卡爾平直空間坐標，對空間-時間-運動-能量來進行量化計算的。

但是兩個方程的張量形式和意義是有區別的：愛因斯坦場方程是將4階的黎曼張量縮并為2階的里奇張量來描述的，方程對應的是廣義相對論的基本原理，即物質告訴時空怎么彎曲，時空告訴物質怎么運動；楊-米爾斯方程則是通過李群代數的2階張量和3階張量二次項來描述的，方程對應的是規范場理論，即粒子的作用在某種規范變換下保持不變，這是一種量子場論。

兩個偉大的方程都是以張量形式表達的

楊-米爾斯方程雖然統一了電磁力、弱核力和強核力，但是無法與引力場方程自洽，最明顯的就是SU(N)群中未包括引力作用，這被少數物理學家夸張的戲稱為“物理學的烏云”。但是這并不妨礙廣義相對論和規范場論在各自的領域各行其道，獲得廣泛認可的同時，并對現代物理起到引路航標的作用。

左為閔可夫斯基，德國數學家，愛因斯坦的老師。右為學生時代的愛因斯坦，萌萌噠。

后記：正文中出現的閔可夫斯基四維時空，是以愛因斯坦的老師閔可夫斯基命名的。愛因斯坦上大學時學習平平還時常逃課，閔可夫斯基不喜歡愛因斯坦，稱他為懶豬。但是愛因斯坦用老師的四維時空理論建立了狹義相對論，并將老師的名字寫進書中，閔可夫斯基也因此名垂青史，這也算是一個趣聞。

人類歷史上最偉大物理學家排名 ：1.牛頓 2.愛因斯坦 3.麥克斯韋 4.楊振寧

目前多數觀點認為，在偉大的物理學家排名中，前四名依次是牛頓、愛因斯坦、麥克斯韋、楊振寧。這四人中，數學最好的是牛頓，因為他是微積分的發明者之一；最差的是愛因斯坦，他的場方程是求助了幾位數學家才完成的。可見數學在物理中的作用是非常巨大的，優秀的物理學家往往是數學家，但是數學家往往較少是物理學家。數學作為最重要的工具，為其它學科提供的幫助，遠比我們想象的要大得多。