本文開場曲——吉格舞曲“愛爾蘭浣女” The Irish Washerwoman

（作者在文中舉例時有用到）

作者：James Propp教授 2024-12-19

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-12-21

有各種各樣的數學運算（操作），其特性是執行兩次運算等于什么都不做。這樣的運算被稱為對合（involution），你可以在數學中隨處找到它們：取一個數的負數，取一個數的倒數，將一個物體旋轉180度1，否定一個命題，取一個集合的補集，我可以繼續舉例······。

當執行 X 兩次相當于什么都不做時，那么執行 X 三次相當于執行 X 一次，執行 X 四次相當于執行 X 兩次，依此類推。在這種情況下，要知道當你多次執行 X 時會發生什么，只需知道你執行 X 的次數n是偶數還是奇數。如果 n 是奇數，則執行 n 次運算與執行一次相同；如果 n 為偶數，則執行 n 次運算與什么都不做相同。（參見我之前的文章“當 1+1 等于 0 時”） 。

試圖對所有這種行為方式的數學運算進行分類，甚至只對重要的數學運算進行分類，將是一項艱巨的任務，而我今天的目標不是進行這樣的綜合調查。但是還有其他一些運算并不完全是對合 – 可以稱它們為“準對合”2– 它們具有做 3 次等于做 1 次、做 4 次等于做 2 次等性質。這些較罕見的運算是我今天的主題。

對于這類運算，如果你想知道當你做一個運算 n 次時會發生什么，按n 是正奇數、正偶數還是零，對應三種情況3。與“0、1、0、1、0、1······”的模2算術不同，控制這些運算的計數類型是“0、1、2、1、2、1、2······”。

下面我給你看三個例子。其中前兩個是技術性的，但第三個很容易理解，值得被更多地了解。如果前兩個看起來太神秘，請隨意跳到第三個。

正交補 Orthocomplementation

我們的第一個例子來自線性代數，但為了方便起見，我將切換到三維幾何，以通常的方式配備 x、y 和 z 坐標。給定此空間中的一組直線的集合 S，設 Perp(S)或者P(S) 為垂直于 S 中每條直線的所有直線的集合。例如，假設 S 由三條在xy-平面上圍出一個三角形的直線組成。然后，P(S) 由平行于 z 軸的所有直線組成，P(P(S)) 由平行于xy-平面的所有直線組成，P(P(P(S))) 由平行于z軸的所有直線組成，依此類推。P(P(S)) 與 S 不同，但 P(P(P(S))) 與 P(S) 相同。

如果我們設 S 是由三條相互垂直的直線組成的集合，就會出現一個更令人費解的例子。那么 P(S) 根本不包含任何直線；也就是說，它是空集，也寫成 { }。那么，在這種情況下，我們應該如何看待 P(P(S)) 呢？也就是說，P({ }) 到底是什么？如果你做了很多數學運算，你就可以猜到會發生什么，因為你以前見過我們數學家這樣做：我們將“我見過愛爾蘭的每一只獨角獸”這樣的斷言視為（空洞的）正確的。（如果你認為我聲稱見過愛爾蘭的所有獨角獸的陳述是錯的，那就請你找出一只我沒見過的；事實上，因為愛爾蘭沒有獨角獸，所以我聲稱見過愛爾蘭所有的獨角獸，肯定是一句正確但空洞的話）

因此，對于平面中的每一條直線 L，L 垂直于 { } 的每一條直線（因為 { } 中沒有一條直線是不垂直于 L 的，事實上，因為 { } 中根本沒有直線），這意味著 P({ }) 是我們空間中所有直線L 的完全集合（全集）。因此我們看到，當 S 由三條相互垂直的直線組成時，P(S) = { } 是不包含任何直線的集合，而P(P(S)) 是包含所有直線的集合，P(P(P(S)))是不包含任何直線的集合，依此類推。同樣，P(P(S)) 與 S 不同，但 P(P(P(S)) 與 P(S) 相同。

這并非巧合：可以證明 P(P(P(S)) 與 P(S) 始終相同。

連續執行兩次 Perp（取垂直線 perpendicular） 是一種數學家所說的 “閉包” （closure operation）的例子。閉包運算是一種具有這種性質的運算（操作）：一個事物的閉包的閉包與這個事物的閉包相同。也就是說，它是執行 “兩次等于一次” 的那種操作?。如果把C(S)定義為 P(P(S))，則 C(C(S)) 為 P(P(P(P(S))))，等于 P(P(S))，即 C(S)；所以 C 是一種閉包操作。

通常，操作 Perp 應用于向量空間（或者更技術上稱為內積空間inner-product space）。你有一些大的向量空間 V 和一些較小的位于 V 內部的向量空間 W 。然后 Perp(W) 是位于V 內部的另一個向量空間，Perp(Perp(W)) 也是如此，依此類推。當 V 是有限維的向量空間時，Perp(Perp(W)) 始終等于 W，但在無限維空間中這不再是正確的。盡管如此，在那些無限維空間中，Perp(Perp(Perp(W))) 始終等于 Perp(W) 仍然是正確的。因此，Perp 是執行“三次等于一次”（thrice-equals-once） 操作的一個示例。Perp(W) 被稱為 W 的“正交補”（orthogonal complement，orthocomplement）——因此作為本節的標題。

直覺主義否定 Intuitionistic Negation

我們本文三個“三次等于一次”的運算（操作）案例中最奇怪的是非經典（更具體地說，構造主義）框架中的邏輯否定。在這里，我使用“構造主義的”（constructivist）這個詞來表示 20 世紀出現的一種邏輯風格，而不是英文同名的教育運動（建構主義）。構造主義（constructivism）類似于另一個叫做 “直覺主義” （intuitionism）的運動，并且確實與之糾纏不清，事實上，我所說的那種邏輯通常被稱為直覺邏輯（intuitionistic logic）。在構造主義的設置中，斷言“非p” 的意思更接近于斷言“我有一個程序，以給定的 p 的證明作為輸入，以 0 = 1 的證明作為輸出”（你可以用任何你喜歡的假命題替換 0 = 1）。在經典邏輯中，“p 或 非p” 是一個老生常談，稱為排除中間定律，但這個定律在直覺邏輯中不再有效。事實上，拒絕排除中間的定律（排中律）是數學直覺主義風格的核心。在這種觀點下，如果你無法證明 p 是真的，也不能證明非 p 是真的，那么你就沒有理由聲稱知道 “p 或 非p” 是真的。因此，如果一個不果斷的哈姆雷特說“明天我要么生存（be），要么毀滅（not be）”，直覺主義者會反駁這個斷言，或者至少反駁哈姆雷特聲稱知道它的理由。

在直覺主義邏輯中，“非非p” 不等同于 p，但盡管如此，p 仍然蘊含著“非非p”，盡管我將用“產生 yield”一詞替換“蘊含 imply”一詞，以阻止您經典地解釋該斷言。讓我們看看為什么 p 會產生“非非p”。用符號表示，p 的直覺主義否定寫為 p ? ⊥，其中 ⊥（將其視為T的顛倒，T表示True真）表示不可能是真的（有時稱為“假” falsehood——可能性為假），p ? q 表示“p 的證明產生 q 的證明”。因此，為了證明 p 產生 “非非p”，我們必須證明 p 的證明會產生 (p ? ⊥) ? ⊥ 的證明。在這里，我們可以使用經典邏輯規則的直覺主義版本，稱為modus ponens（假言推理，分離規則），它斷言如果 p 為真并且 p ? q 為真，則 q 為真，或者等價地說，如果 p 為真，則 (p ? q) ? q 為真。直覺主義版本說“如果你有一個 p 的證明，那么你有一個程序可以將 p ? q 的每個證明都變成 q 的證明。” 將 q 替換為 ⊥，我們得到我們想要的結果。

由于 p 對所有 p 都產生 “非非p”，我們可以用 “非非p” 替換 p 以獲得另一個直覺上有效的斷言：“非p” 產生 “非非非p”。我聲稱相反的含義也成立：即，“非非非p” 產生 “非p”。為了證明它（非正式地），假設我們得到了 “非非非p”。我們必須產生“非p”，也就是說，我們必須產生 p ? ⊥。要做到這一點，只需將 p 視為已知給定條件，看看我們是否可以產生 ⊥。也就是說，我們處于這樣一種情況：我們得到了 “非非非p” 和 p，我們想用這些成分產生 ⊥。但在前面一段中，我們證明了 p 產生 “非非p”，因此我們免費得到了第三種成分，“非非p”，我們的目標是使用 “非非非p”、p 和 “非非p” 來產生 ⊥。我們似乎正在偏離軌道，但我們幾乎完成了。看看這三種成分中的第一種和第三種，即 “非非非p” 和 “非非p”。前者等價于 “非非p” ? ⊥，因此我們可以將其與 “非非p” 相結合得出⊥。因此，我們已經成功地證明了 “非非非p” ? “非p”，即便如果你的大腦和我一樣，你也不太明白這個技巧是如何完成的。

（這個證明讓我想起了小說《好兆頭》Good Omens的開頭，其中三個嬰兒被調換得如此頻繁，以至于我永遠無法理解它！）

無論如何，既然我們已經證明了 “非p” 蘊含著 “非非非p”，反之亦然，我們已經證明了 “非p” 和 “非非非p” 在邏輯上是直覺主義意義的等價物，所以直覺主義否定是“三次等于一次”操作的另一個例子。?

網絡 Networks

我們的最后一個例子來自組合學，更具體地說是圖論，但我會把它表述為人們在社交網絡中相互聯系的方式。想象一個網絡，其中節點對應于人，兩個節點之間的鏈接表明兩個鏈接的人彼此認識。（我將假設如果 A 認識 B ，那么 B 就認識 A 。）然后，對于網絡中的任何一組人員的集合S，我們可以將 K(S) 定義為認識 S 中每個人的一組人員的集合。

很容易將 K(S) 與認識 S 中某個人的那群人的集合混淆，所以讓我舉一個例子來幫助消除混淆。

假設我們的網絡由六個人 a、b、c、d、e 和 f 組成，如上圖所示，當兩個相應的人彼此認識時，兩個節點通過鏈接連接起來。設集合 S 為 {b}，其唯一元素為 b 。那么 K(S) 由 b 認識的每個人組成，所以 K(S) 由 d 和 e 組成。現在，在它們兩個之間，d 和 e 認識 a、b 和 c，但 b 和 c 是 d 和 e 都認識的，所以它們是 K(K(S)) 中僅含有的元素。也就是說，K(K(S)) 是 {b，c}，而不是 {a，b，c}。那么 K(K(K(S))) 呢？你應該檢查它是否為 {d，e} —— 與 K(S) 相同。

我第一次遇到這種 K-運算 時，我還是伯克利的一名數學研究生，當時我正在為我的預考做準備；其中一個練習題要求我們（用圖論術語）證明 K(K(K(S))) 等于 K(S)，而不管網絡的細節如何。我想這個問題一定是某種“栗子”（盡管它長在一棵相當特殊的“樹”上），而且我在職業生涯的后期會遇到它，然而我從來沒有遇到過。大約三十年后，我判斷這樣一個好問題值得廣泛的讀者關注，如果還沒有人寫過關于它的文章，那么這個責任就落在了我身上。因此，我發表了一篇名為“社交網絡中的伽羅瓦連接”（A Galois Connection in the Social Network，《數學雜志》 Mathematics Magazine 85卷，34-36頁 https://faculty.uml.edu/jpropp/galois.pdf ）的文章，描述了這個問題，證明了結果，并將其與一些更高級的數學聯系起來。（上圖改編自該文章）。

斷言 K(K(K(S))) 的每個元素都是 K(S) 的一個元素，反之， K(S) 的每個元素都是 K(K(K(S))) 的一個元素，可以在 S 僅包含一個人的特殊情況下表示為：“認識所有認識所有認識你的人都是你認識的人，而你認識的人都是認識所有認識所有認識你的人。” 按照吉格舞曲“The Irish Washerwoman”的曲調唱出這些詞的練習留給喜歡音樂的讀者。

相同還是不同？

由于這篇文章是關于 “一等于三 ”的情況，所以第1個例子實際上是偽裝的第3個例子，這種說法再合適不過的了。你可以在我的《數學雜志》文章中讀到 K(K(S)) = K(S) 的證明，其中并未假設網絡是有限的。因此，在第一個例子的幾何情況中，想象直線是人，而兩條直線恰好在垂直時是朋友。在此上下文中，K 是 Perp，因此 K(K(K(S))) = K(S) 意味著 Perp(Perp(Perp(S))) = Perp(S)。

第二個例子是否與其他兩個例子相同？我將讓讀者在評論部分澄清這一點，因為我已經晚了兩天發布這篇博客。

同時，讓我承認這篇文章的早期版本包含一個錯誤。在點集拓撲中，有一個操作（運算）稱為取拓撲空間的子集 S 的外部（我們將其寫為 Ext(S)），多年來，我一直認為 Ext(Ext(Ext(S))) 始終等于 Ext(S)。但我最終意識到，這種相等性可能會失敗。幫助我弄清楚這一點的一件事是 Kuratowski 的閉包補問題的證明百科Proof Wiki文章https://proofwiki.org/wiki/Kuratowski%27s_Closure-Complement_Problem 。這種相等有時會失敗，但 Ext(Ext(Ext(Ext(S)))) 等于 Ext(Ext(S)) 始終是正確的。所以 Ext 是我所知道的“1+1+1+1 等于 1+1”（但1+1+1 不等于 1）的唯一例子。

說到網絡資源，你可能已經注意到，多年來我經常向我博客的讀者推薦相關的維基百科頁面。維基媒體基金會（Wikimedia Foundation）在信息生態系統中發揮著至關重要的作用，因此如果您最近沒有這樣做，請在此時支持它！捐款可以免稅，有助于保持互聯網健康。

尾注

#1.在量子物理學中，如果你正在處理那種叫做費米子（fermion）的物體，那么物體繞軸旋轉180度不是對合，而旋轉360度才是！這個話題值得一寫，而且最終會有一篇文章來介紹它，但在那之前，你可以從我過去的文章中學到更多的東西《帶鋸片、臭蟲滅火器、橡皮筋和我》和《漢密爾頓的四元數或三元數的麻煩》（參閱 ）。

#2.據我所知，最接近描述此類操作的技術術語是“三階的冪等”。

#3.在這些設置中，數字 0 的古怪狀態讓我想起了我的離散數學課程中的許多學生在吸收 0 是偶數這一事實時遇到的困難。我在上課的第一周解釋了為什么 0 是偶數，并回到了整個學期如何定義“偶數”和“奇數”的話題，但是，到了考試時，我還是會收到一兩個學生的電子郵件，說“我一直忘記，零是偶數還是奇數？在數學上未經訓練的大腦中，有一些東西抵制將 0 與 2、4、6、8······分類因為 0 似乎與正偶數整數截然不同。我今天談論的運算并不能驗證學生認為 0 可能很奇怪的傾向，但它們確實驗證了學生認為 0 是有所不同的潛在感覺。

#4.閉包操作（運算）的另一個詞是 “二階的冪等”，通常簡稱為冪等（idempotent）。

#5.有關直覺主義三重否定的更多信息，請參閱在Stackexchange網站的討論。 https://math.stackexchange.com/questions/2453533/triple-negation-in-intuitionistic-logic

參考資料

https://mathenchant.wordpress.com/2024/12/19/when-111-equals-1/

https://faculty.uml.edu/jpropp/galois.pdf

https://proofwiki.org/wiki/Kuratowski%27s_Closure-Complement_Problem

https://math.stackexchange.com/questions/2453533/triple-negation-in-intuitionistic-logic

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