幾何和數論方面的里程碑式成果標志著2024年是數學令人興奮的一年，此時AI人工智能的進步正開始改變數學學科的未來。

2024年數學領域的三項最大突破，包括在高維中堆積球體的更好方法、避免形成數字模式的新方法，以及所謂幾何朗蘭茲猜想的800頁證明。

圖源：Richard Borge|Quanta 視頻： https://youtu.be/lwVSeXswWZY

作者：Jordana Cepelewicz 量子雜志數學編輯 2024-12-16

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-12-18

五月，由九名數學家組成的團隊宣布取得重大突破。他們證明了所謂的幾何朗蘭茲猜想——這是建立數學“大統一理論”的更廣泛研究計劃的核心組成部分。這個證明總共有800多頁，標志著30年工作的頂峰，用一位數學家的話說，這是一項“最高成就”。

“這是美麗的數學，”另一個人說。“同類中最好的。”

同類中最好，不僅因為它是一項開創性的數學成果——解決了一個巨大的開放問題，現在有望影響未來數十年的研究——還因為它涉及建立深刻的、意想不到的聯系。通常，當數學家找到方法將看似不相關的想法相互對話，打破不同研究領域之間的障礙時，就會產生最好的結果。幾何朗蘭茲猜想的證明就是這樣的結果。

這并不是2024年唯一的重大進展。事實上，僅在幾何領域就有幾個里程碑式的證明。一些人，正如幾何朗蘭茲案例中，最終解決了幾十年前的猜想。其他人則（對其他命題）提供了令人驚訝的反例。

但這樣的突破通常不會憑空而來。它們是通過數十年的努力、通過漸進步驟的積累而成為可能的。今年，這種風尚也出現了許多令人興奮的結果，特別是在數論方面。其中包括黎曼猜想和abc猜想等著名棘手問題的進展。

這就是在眾多情況下數學進步的運作方式：這兒有一個新想法，那兒有另一個想法，直到以前看起來完全不可能的事情變得不那么不可能。

幾何朗蘭茲猜想被證明

圖源：Nan Cao|Quanta

可以說，2024年的最大成果來自朗蘭茲綱領，這是一個有著50年歷史的雄心勃勃的愿景，如果實現，將連接數學研究的不同領域。它的目標本質上是重新繪制數學地圖——將各個大陸合并成一個統一的盤古大陸。

但證明朗蘭茲綱領的實際結果往往極其困難。這些命題本身非常復雜和技術性很強，更不用說證明它們所需的技術了。

1980年代，一位數學家提出了該綱領關鍵組成部分之一的幾何版本——幾何朗蘭茲猜想，其中涉及稱為“層”（sheaf，或“束”更合適）的深奧數學對象（參閱 ）。該猜想被視為朗蘭茲綱領的核心部分，但幾十年來，沒有人能夠解決它——直到今年。這個證明對于該綱領的其余部分來說是一個巨大的福音，數學家們很高興在接下來的幾年里探索它的后繼成果，他們相信這將產生深遠的影響。正如一位數學家所說，“它將滲透學科之間的所有壁障。”

AI人工智能的作用日益增強

如果以正確的方式看待，橢圓曲線可以像鳥一樣成群。

視頻制作：Paul Chaikin|Quanta

當諸如ChatGPT（一種“大語言模型”）之類的新人工智能系統首次引入時，它們的數學能力只是模因（meme）的東西，而且不是一種好的方式。聊天機器人無法正確做加法，更不用說解決更復雜的應用題了。至于產生成熟的證明——算了吧。當談到數學時，人工智能似乎只會繼續掙扎。

但今年，谷歌DeepMind的新模型將人工智能變成了國際數學奧林匹克競賽的有力競爭者，這是世界上最重要的高中生數學競賽。一月份，該公司發布了AlphaGeometry，這是一個能夠證明幾何問題的模型，幾乎可以與人類金牌得主媲美。（參閱 ）半年內，AlphaGeometry 2可以輕松獲得金牌，并且當與谷歌的大語言模型Gemini集成時，可以很好地證明更普遍的問題，從而在完整的奧林匹克考試中獲得銀牌。DeepMind將這個最新模型稱為AlphaProof。

AlphaProof是一項巨大的成就。它展示了人工智能快速增長的數學能力，并為該技術有一天如何在原創研究中充當數學“副駕駛”帶來了希望。

三月份，量子雜志報道了這種情況是如何發生的。2022年，數學家利用機器學習發現了所謂橢圓曲線的重要方程中的奇怪模式。這些模式美麗得令人吃驚：如果你從正確的角度觀察橢圓曲線的某些數值特性，它們就像鳥兒成群結隊的方式，這種現象被稱為“椋鳥群飛”（murmuration）。此后的幾年里，研究人員一直試圖理解這些數學“椋鳥群飛”現象。（參閱 ）在此過程中，他們在數論的許多不同對象中發現了它們，從而產生了重要的新工作和見解，包括發展出一種新穎的函數。

隨著人工智能方法變得更加復雜，這種故事只會變得更加普遍。我們以前已經看到過——計算機如何逐漸進入數學世界，并為數學家探索開辟新的前景。現在，數學家們正試圖預測人工智能會是什么樣子。

球堆積記錄被打破

更密集的方法來堆積高維球體

視頻制作：Dave Whyte|Quanta

與幾何朗蘭茲猜想不同，球體堆積問題很容易表述：如何排列相同的球體以填充盡可能多的體積而不重疊？在三維空間中，你可以將球體排列成金字塔形的一堆，就像雜貨店里堆放橙子的方式一樣。但在更高維度呢？

直到2016年烏克蘭數學家Maryna Viazovska（瑪麗娜·維亞佐夫斯卡，1984 -）證明特定的晶格對于在8維和24維空間中填充球體是最優的，之前沒人知道任何高于3維的答案。在所有其他維度中，確切的答案仍然未知。

數學家還希望找到一個通用的解——一個公式，提供一種在任意高維度上密集堆積球體的方法，即使這種堆積并不完全最優。4月，量子雜志報道了75年來在該版本球堆積問題上的首次重大進展。該成果提高了以前堆積的效率，同時利用了一種新穎的方法：數學家們沒有像維亞佐夫斯卡那樣以良好、有組織的方式堆積球體，而是使用圖論以非常無序的方式堆積。（參閱 ）

這并不是2024年唯一的堆積結果。兩位數學家——包括托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales，1958 -），他在1990年代證明了在三維空間中堆積球體的最優方法——也證明了關于最糟糕的堆積形狀的命題。（參閱 ）

數學家找到50年前米爾諾猜想的反例

圖源：Alex Eben Meyer|Quanta

證明古老猜想的正確性很重要，但反駁它們也很重要。正如一位數學家告訴量子雜志的那樣，“我們必須保持懷疑，即使是對于直覺上看起來很可能是真的事情。”這種方法帶來了另一個重要的幾何證明：三位數學家找到了米爾諾猜想的反例，米爾諾猜想是一個有50年歷史的問題，涉及物體的整體形狀和放大時的樣子之間的關系。這項工作涉及一種新型結構的開發，揭示了可能形狀的宇宙比數學家想象的還要奇怪——盡管他們一直認為它相當奇怪。（參閱 ）

數論中的重要進展

圖源：Nico Roper|Quanta

解決這些主要的幾何問題就像在數學景觀中豎立高聳的紀念碑。但為未來的紀念碑奠定更好的基礎也至關重要。這正是2024年數論中所發生的情況：數學家在更好地理解該領域一些最重要問題方面取得了至關重要的進展，盡管是漸進的。

例如，兩位數學家證明了黎曼假設可能的例外數量的新估計，這可以說是數學中最大的開放問題。這項工作不僅打破了之前保持了80年的記錄，而且帶來了關于素數分布的新結果。

同樣，三名研究生證明，在集合不可避免地包含均勻間隔分布的數字模式之前，可以更好地估計集合可以達到的最大大小。這項工作探討了數學中的無序如何不可避免地產生秩序，標志著幾十年來“Szemeredi塞梅雷迪問題”的首次進展。（參閱 ）

與此同時，數學家Hector Pasten最近在理解數列2、5、10、17、26等（即n2+1形式的所有數字）的性質方面取得了進展。他的證明使數學家能夠探索加法和乘法運算之間復雜的關系。它還使他能夠證明abc猜想的某些情況的新估計，這是數學中另一個最重要的問題，也是最具爭議的問題之一。（參閱 ）

所有這些數論問題距離解決還有很長的路要走。但隨著一步一步的推進，數學家們開發出了強大的新工具包并闡明了新的觀點。誰能預測2025年及以后會發生什么？

參考資料

https://www.quantamagazine.org/the-year-in-math-20241216/

https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/

https://www.quantamagazine.org/what-are-sheaves-20240719/

https://www.nytimes.com/2024/07/23/technology/ai-chatbots-chatgpt-math.html

https://www.nytimes.com/2024/01/17/science/ai-computers-mathematics-olympiad.html

https://www.nytimes.com/2024/07/25/science/ai-math-alphaproof-deepmind.html

https://www.scientificamerican.com/article/ai-will-become-mathematicians-co-pilot/

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/

https://www.quantamagazine.org/the-quest-to-decode-the-mandelbrot-set-maths-famed-fractal-20240126/

https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/

https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-03/home.html?active=allissues

https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/

https://www.quantamagazine.org/to-pack-spheres-tightly-mathematicians-throw-them-at-random-20240430/

https://www.quantamagazine.org/why-is-this-shape-so-terrible-to-pack-20240628/

https://www.quantamagazine.org/maths-bunkbed-conjecture-has-been-debunked-20241101/

https://www.quantamagazine.org/strangely-curved-shapes-break-50-year-old-geometry-conjecture-20240514/

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/

https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/

https://www.quantamagazine.org/big-advance-on-simple-sounding-math-problem-was-a-century-in-the-making-20241014/

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