《量子雜志》每周都會解釋推動現(xiàn)代研究的最重要思想之一。本周，數(shù)學專欄作家Joseph Howlett詳細介紹了數(shù)學思維的魅力和重要性。

作者：Joseph Howlett（量子雜志數(shù)學專欄作家） 2024-12-16

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2024-12-17

直到一年多前，我還是一名實驗物理學家。我一直都在使用數(shù)學，所以你可能會認為，成為一名數(shù)學記者對我來說是再合適不過了。從很多方面來說，這的確沒錯。但從其他方面來看，我的新知識家園星球感覺就像一個外星世界。

在我以前的生活里，我研究的是物理對象和可測量的現(xiàn)象。數(shù)學是讓我能夠做到這一點的工具。我曾經(jīng)嘲笑過我的理論學家朋友，他們不告訴我他們最近在“研究”什么，而是告訴我他們在“思考”什么。這讓我想起這些朋友整天躺在辦公桌前，頭向后仰，眼睛瞇著看著天花板，心思飄忽不定?，F(xiàn)在，我采訪的每個人都以同樣的方式談?wù)撍麄兊难芯俊?/p>

數(shù)學家關(guān)注的數(shù)學類型與我作為物理學家所使用的工具截然不同。他們的工作深受人類對美和抽象概念的驅(qū)動，并將純邏輯推向極限。實驗和觀察可以幫助指導數(shù)學家的理解，但最終，他們不會接受某些東西在數(shù)學上是正確的，除非他們能提出一個嚴謹?shù)恼撟C來證明它。正如一位數(shù)學家最近向我保證的那樣，“沒有嚴格的證據(jù)表明某人不能活到超過一千歲。這只是一個經(jīng)驗事實?！?/p>

這種對嚴謹性的強調(diào)有時會帶來看似不可能的現(xiàn)象的證明。例如，巴拿赫-塔斯基（Banach-Tarski）悖論說（參閱），你可以把一個球打碎，然后用它制造出兩個與原球一模一樣的球。對我這個物理學家來說，這聽起來像是從無到有創(chuàng)造物質(zhì)，但從數(shù)學上來說，毫無疑問這是正確的——而且也很美妙。

我欣賞這種嚴謹?shù)乃季S方式。我并不懷念物理學的一點是，當你試圖跟上講座或論文時，你經(jīng)常站在不穩(wěn)定的理論基礎(chǔ)上。數(shù)學是如此堅固，如此沒有虛晃的架勢（原文用詞hand-waving，在物理里表示其所描述的論斷沒有嚴格的根據(jù)，譯者注）。在某種程度上，數(shù)學真理是由比我過去整天擰緊的真空法蘭上的鋼螺栓更堅固的東西構(gòu)成的。

數(shù)學思維似乎過于苛刻，但它很重要。作為一門藝術(shù)和一門科學，它展示了人類創(chuàng)造力的力量，同時也揭示了我們周圍世界的奧秘。它甚至有各種各樣的實際應(yīng)用：曾經(jīng)被視為無用的數(shù)學抽象現(xiàn)在在密碼學、化學、工程、機器學習等領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。但從本質(zhì)上講，數(shù)學是關(guān)于探索、發(fā)現(xiàn)、美和理解的。

以下是《Quanta Magazine量子雜志》在2024年講述的一些數(shù)學故事，它們常常挑戰(zhàn)我對數(shù)學的認知，幫助我適應(yīng)了這個新世界。

改變我數(shù)學思維的故事

我對數(shù)學的理解以及數(shù)學從業(yè)者的思維方式很大程度上來自于閱讀量子雜志的解釋和問答。如果你一年前問我如何正確定義2的平方根，我會感到困惑——它是當你將它乘以自身時等于2的數(shù)字！但在閱讀Jordana Cepelewicz的解釋后（參閱），我明白了數(shù)學家需要如何根據(jù)完善的公理和定理來具體定義一切，包括數(shù)字。因此，2的平方根需要更嚴格的定義。

我經(jīng)常聽到伽利略說宇宙“是用數(shù)學語言寫成的”，但直到我讀到克萊爾·瓦贊（Claire Voisin）的這篇問答時（參閱，以及 ），我才意識到不同的數(shù)學語言可以描述同一個宇宙。她解釋了數(shù)學家們?nèi)绾闻υ诓煌臄?shù)學語言（比如代數(shù)語言和幾何語言）之間進行翻譯，以獲得新的見解。物理學家經(jīng)常使用不同的描述來嘗試理解相同的基本現(xiàn)實，他們的想法是，沒有一種描述比另一種更“真實”。我從未想過數(shù)學語言也可以以同樣的方式運作。

在我當物理學家的日子里，我通常被困在三維空間中（不包括時間）。數(shù)學家不受物理現(xiàn)實的限制，可以飛越更高的平面，那里充滿了他們自己無法理解的對象。他們只能通過觀察嵌入其中的更簡單、更低維的形狀來感受這些形狀的邊緣。今年，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了比他們之前認為的更奇怪、更豐富的嵌入，這表明四維世界比他們所知道的還要奇怪。

2024年的一條數(shù)學新聞確實吸引了我的注意，部分原因是我是一個狂熱的觀鳥愛好者，但也因為它表明數(shù)學和其他科學一樣，充滿了偶然的發(fā)現(xiàn)。Lyndie Chiou 今年早些時候報道了一種神秘的數(shù)學模式，稱為“椋鳥群飛”（murmuration，參閱），因其類似于翱翔的椋鳥群中形成的華麗的波浪狀漣漪而得名。這種模式是由一位名叫 Alexey Pozdnyakov 的本科生發(fā)現(xiàn)的，當時他使用一個公共方程式數(shù)據(jù)庫繪制了一張圖，而這在資深數(shù)論學家看來是永遠不會發(fā)生的。他在這張圖中看到的奇怪漣漪遠不僅限于這些方程式，后來被證明在數(shù)論及其他領(lǐng)域無處不在。在我最近參加的石溪大學關(guān)于該主題的研討會上，麻省理工學院的數(shù)論學家 Andrew Sutherland 展示了 Pozdnyakov 的圖，并將其與“他們在培養(yǎng)皿中發(fā)現(xiàn)霉菌以發(fā)現(xiàn)青霉素”進行了類比。

感謝這些故事，我的數(shù)學基礎(chǔ)（某種程度上）穩(wěn)定了下來，我迫不及待地想看看2025年會帶來什么新的突破。

網(wǎng)絡(luò)上

彼得·佩西克（Peter Pesic）撰寫的長篇論文《阿貝爾的證明》（Abel's Proof）讓我明白了現(xiàn)代數(shù)學為何充斥著深奧的抽象概念。它還讓我開始思考不可解性 — — 有些數(shù)學問題，即使是非常簡單的問題，也是可以證明無法證明的。

統(tǒng)計學在我心中占有特殊的地位。它對于我們理解世界至關(guān)重要，但同時也非常復(fù)雜和微妙。我喜歡閱讀由統(tǒng)計學家Andrew Gelman創(chuàng)辦的博客“統(tǒng)計建模、因果推斷和社會科學” ，其中有關(guān)于統(tǒng)計學及其在科學中經(jīng)常被濫用的清晰對話。

在一個實際應(yīng)用并不重要的領(lǐng)域，我對數(shù)學家認為什么是有趣的東西非常感興趣。這讓我找到了維基百科上的“有趣數(shù)字悖論”頁面，這真是令人愉快。（我最喜歡的有趣數(shù)字是142857。）

隨著我撰寫的每一個新故事，我越來越了解數(shù)學家的工作方式。例如，他們的工作日常是什么樣子的？我很高興在數(shù)學家Kimball Martin的主頁上找到這篇“日常生活”帖子。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4865837

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-marvel-at-crazy-cuts-through-four-dimensions-20240422/

https://mp.weixin.qq.com/s/eia9KK4LQnmTnOP7tbtG3w

https://mitpress.mit.edu/9780262661829/abels-proof/

https://statmodeling.stat.columbia.edu

https://en.wikipedia.org/wiki/Interesting_number_paradox

https://en.wikipedia.org/wiki/142857

https://math.ou.edu/~kmartin/aday.html

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