中國古代數學的“神機妙算”：

春晚魔術里的數學密碼

——在中國高等教育學會教育數學專業委員會2024學術年會上的報告

中國科學院院士

中國科學院數學與系統科學研究院研究員

周向宇

今天的講述從春晚的魔術開始。魔術師使用了四張撲克牌，首先將它們疊在一起，然后通過不同方式進行洗牌（這里我進行了簡化），接著他說要將牌對折。對折的意思是為了讓牌更容易撕開，于是他把四張牌對折撕開，變成兩疊牌，再將這兩疊牌重新疊在一起。接下來，魔術師根據觀眾姓名的字數，要求將相應數量的牌從上方移到下方，比如我的名字有三個字，我就需要將上面的三張牌移到下面。

妙用同余，魔術的本質

從魔術開始的那一刻起，當兩疊牌被撕開并重新組合時，事實上就有一個數學規律在起作用。這個魔術的本質是通過撕開撲克牌，找到配對的牌。而這些配對牌的規律是，撕開后任意兩張牌的差值為固定的四張。即使進行變換，將上面的牌移到下面，這一規律依然保持不變，配對的牌之間的差值仍是四張。具體來說，第一張牌和第五張牌，第二張牌和第六張牌，第三張牌和第七張牌，第四張牌和第八張牌，它們之間都是配對的。

這種現象在數學上稱為“同余”。當我們提到這些牌時，它們的數字除以4所得的余數是相同的，這就是同余的概念。用高斯引入的符號來表示，當兩個整數a和b除以m所得的余數相同時，我們稱它們對模m同余，記作a≡b（模m）。

魔術口令的奧秘

接下來，魔術師進行了一步關鍵的操作。他說，男生要扔掉最上面的一張牌，而女生則要扔掉兩張牌。這一步之后，男生的手上還剩下六張牌。隨后，魔術師引出了一個重要環節——“見證奇跡的時刻”，這是七個字。他要求每念一個字，就將最上面的牌放到最下面，直到把“好運牌”留在最下面，而“煩惱牌”則要扔掉。操作流程是：好運牌留在最下面，煩惱牌扔掉，反復操作，直到最后剩下的牌。魔術師聲稱，這最后剩下的一張牌一定會與他之前藏下的那張牌配對，并宣布魔術成功。這背后實際上隱藏著一個數學規律。

為什么他特別強調要念七個字？這是因為背后遵循了同余理論中的規律，七個字的操作確保了最終好運牌一定會留在最后。對于男生來說，由于他手里有六張牌，經過一次操作后，原本倒數第一的牌就會移動到倒數第二。然后，通過反復操作，將煩惱牌扔掉，好運牌留下，最終能確保留下的牌正好是原來的那張第八張牌。對于女生也是類似的情況，只不過她手中有五張牌，經過兩次操作后，剩下的牌會處于中間的位置，確保最終的牌可以配對成功。

這背后的數學原理是，男生的操作實際上遵循了“6的倍數加1次”的規律。也就是說，經過6次操作，牌的順序不會發生變化，而加1次操作就會將倒數第一的牌移動到倒數第二。而對于女生來說，她的操作遵循“5的倍數加2次”的規律。因此，在數學上，這相當于求解一個同余方程組，找到一個數a，使得它既能滿足男生的操作需求（6的倍數加1次），也能滿足女生的操作需求（5的倍數加2次）。通過計算，7正好符合這一條件，因此魔術師使用了“七個字”的口令進行操作，確保了魔術的成功。

源起《孫子算經》，古人的神機妙算

這個魔術實際上對應了中國古代數學中的“物不知數”問題。這一問題在《孫子算經》中有記載，比如“三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二”。這意味著某個未知數n，按3個3個數余2，按5個5個數余3，按7個7個數余2。用現代數學語言可以寫為一組同余方程：

n ≡ 2 (mod 3)

n ≡ 3 (mod 5)

n ≡ 2 (mod 7)

這反映了中國古代對同余思想和理論的早期貢獻。類似的問題還出現在中國古代的推歷方法和《周易》中的“揲蓍法”，這些方法也涉及將事物分成若干組再逐一計數，《孫子算經》中的“物不知數”問題進一步發展成為“神機妙算”，而到南宋時期，秦九韶提出了更加普遍的組余式解法，這一方法后來被稱為中國剩余定理。中國剩余定理的提出在數學史上具有重要意義。

此外，歷史上著名的“韓信點兵”問題也是“物不知數”的另一種形式。韓信并不是直接數士兵，而是通過讓士兵按不同的方式排列，來推算總人數。首先他要求士兵排成三列，這相當于“三三數之”；然后排成五列，即“五五數之”；最后排成七列，即“七七數之”。通過觀察最后一列的士兵數，他可以推算出士兵的總人數。這里的“最后一列”數目實際上就是余數。通過這些余數，韓信能夠推算出整個軍隊的規模。在解決這種問題時，孫子的“神機妙算”方法是找到一個數滿足特定的同余式組，比如對于模3余1的情況，他會在其余數的公倍數中尋找符合條件的數。這個過程涉及將不同模數的余數乘上相應的數來得到解。例如，模5余1時，他在3和7的公倍數中找合適的數，這個數可能是21；在模7余1的情況下，則在3和5的公倍數中尋找解，比如15。然后，結合這些余數，可以得出一個特解，再加上模數的公倍數，即可得出完整的通解。這一解法正是“神機妙算”的核心。

橫貫縱通，繼承與發揚好中國數學

大家在欣賞魔術的神奇時，往往忽略了其背后蘊含的深刻數學原理。事實上，這個魔術背后展現的是中國古代數學中關于同余的思想和理論。我的導師華羅庚先生曾說過：“數學是我國人民所擅長的學科。”他強調數學應“橫貫縱通”，即要從廣度和深度兩個維度去研究數學。他還為青少年編寫了許多通俗易懂的小冊子，如《從孫子的“神機妙算”談起》、《從祖沖之的圓周率談起》和《從楊輝三角談起》。這些書籍都是從中國古代數學的成就出發，展示了中華文化在數學領域的豐厚積淀。

從這些例子中，不難看出，研究數學不僅僅要關注現代的數學知識，更要追溯其歷史淵源，理解其中的來龍去脈、根與本、源與流。只有在理解這些數學思想的歷史背景與發展脈絡后，才能更好地掌握其內涵，并在現代的研究中運用自如。這不僅是對中國古代數學的繼承和發揚，更是對數學精神的深入探索。

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