如果把數學比作“建筑”，我們就像建筑師一樣學習使用既有經驗構造堅實的新結構，從而確保建筑有穩固的地基，并不斷攀登高峰。

如果把數學比作“植物”，我們就像是園丁一樣考察花園的景觀、土壤質量和氣候，從而確保植物有強壯的根基，并且符合預期地生長。

為了幫助讀者從中學的“自然”數學過渡到更加復雜、廣闊的高等數學，數學大師斯圖爾特在《基礎數學講義》中從讀者熟悉的生活經驗出發，一邊構建邏輯聯系，一邊介紹形式化方法，幫助想要進一步深造數學的讀者打磨數學直覺，從而直擊數學問題的要害。

《基礎數學講義：走向真正的數學》

作者：伊恩·斯圖爾特

譯者：姜喆

01

概念的演進改變了數學家的信念

不斷構造更大的數系時，每一個階段都推廣了一些性質，也有一些含義產生了變化。我們在自然數中可以討論質數和因數分解，但是在實數中就不行。正如我們從自然數過渡到負數或者復數時所發現的那樣，曾經堅信的觀點在更一般的結構中未必正確。

概念的推廣固然有其優勢，但是無論對于學生還是數學家來說，含義的變化都讓人暈頭轉向。即便像四元數中交換律失效這樣，只有一個性質發生改變，也會產生無法預見的后果。比如，我們看到了四元數多項式可以有無限多個根，但是無法根據交換律失效一眼看出這個結果。

這些長期的含義變化不僅為讀者帶來了麻煩，也隨著概念的演進改變了數學家的信念。隨著數學的邊界不斷拓展，這種變化不僅存在于過去、發生在當下，也必將持續到未來。

古希臘人開始公式化地表述幾何時，他們認為點、線和面比畫在紙上或者沙地上的圖形有著更深奧、更完美的含義。對于古希臘人來說，點不僅僅是紙上的一個痕跡，它還表示了平面或者空間中的一個唯一的位置。直線不只是沿著直尺畫出的筆跡，它表示的是一條完美的直線，這種柏拉圖式的存在超越了人類物理方法表述的極限。圓也比圓規畫出的曲線更加完美：它是一個沒有大小的點在平面上和圓心保持固定距離移動的軌跡。

同理，我們可以數石頭的個數，并且把它們按一定的規則擺放，來揭示一些理論結構，從而表示整數。比如，如果你有一定數量的石頭，我們有時候可以把它們擺成長方形陣列，有時候卻不行。這就形成了合數和質數的概念，最終引出了質數有無限多個，每個整數都能唯一地表示為質數之積這兩個結果的形式化證明。

古希臘人的數學基于自然現象，但是又有著完美的柏拉圖式性質，無法用物理方法模擬。因為他們的數學源于對自然現象的觀察，所以他們的數學是自然的。但他們又會在想象的世界中尋求完美的理論基礎，讓他們超脫自然的限制。

接著他們開始思考更一般的數。因為他們只能用幾何來思考，所以他們先是把數想象為長度、面積和體積。基于其他領域的經驗（比如弦在長度二分之一、三分之一或者三分之二的地方振動可以產生和弦，而和弦是音樂理論的基礎），他們把這些量和整數之比聯系了起來。但后來他們發現直角邊均為單位長度的直角三角形的斜邊不能這樣表示，因此必須把它也納入數學理論中。

02

從自然數學走向形式化方法

后來的數學家引入新數系，不斷拓展了這些概念。每個數系中引入的新詞匯其實都表現了人們對于新含義的擔憂：正數和負數，有理數和無理數，實數和復數（以及后者的實部和虛部）。加粗的詞都有著負面含義。每次擴張之后，新數系乍一看都更加抽象，和自然現象毫無瓜葛。

但是隨著數學家對新數系的理解加深，他們發現可以把負數理解為擴張后的數軸上的點，把復數理解為平面上的點。與此同時，熟悉的舊概念也變得和新概念一樣撲朔迷離了。等到數學家終于理解了復數之后，他們反而開始思考實數的本質了。

幾何概念依然基于點和線：點位于線上，而線穿過點。即便笛卡兒用一對數(x y ) 把點表示在了平面上，古希臘人對于點和線的看法依然是幾何思維的自然基礎。

牛頓使用古希臘幾何和符號代數構建了他的微積分思想，解釋了重力和天體運動等自然現象。

萊布尼茨思考了無窮小量，并給出了一套強大的符號系統，用來表示微積分。

盡管邏輯基礎飽受質疑，但這一系統還是經受住了時間的考驗。在他們之后的數學巨匠們則各自專注于不同領域。

歐拉利用冪級數和復數來代數式地運用符號，而柯西用幾何方法解釋無窮小量，把它們想象為直線上或者平面上任意小的可變量。歐拉當時發表的很多論文放到今天可能都無法通過，而柯西的無窮小量的概念后來被廣泛批評。

柯西的方法將實分析和復分析中的圖像和符號方法相結合，取得了重大進展，但也招致了大量對其準確含義的批評。

這些批評的核心在于：無窮小量的含義沒有得到完整解釋。他的方法更像是基于一種“它從前沒有自相矛盾，所以現在一定也沒有問題”的盲信。

19 世紀后半葉和20世紀初的時候，發生了從自然數學向形式化方法的轉變。數學家用集合論定義數學實體，并只靠數學證明來推導它們的性質。

據說，戴維·希爾伯特在一堂幾何基礎的講座之后和同事們在柏林火車站休息，他當時說道：“即便用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、直線和平面，幾何理論也必須行得通?！边@句話的意義在于，數學不必只依賴于自然現象。從此我們不再只關注對象是什么，而是關注它們的形式化定義的性質。

于是我們不再認為點標在線上，而是認為實軸是一個由點組成的集合?！白匀弧睌祵W感知到的是點在直線上平滑地移動，而形式數學把數重新解讀為固定的實體，它們構成了實數這一集合。

在這段時期，新的思維方式不僅應用于自然現象，也應用到了用形式化陳述的性質所描述的系統中。當時出現了大量不同的思維方法，各自側重于不同的數學領域。

舉例如下。

●直覺主義：基于人類認知和構造方法的自然數學，其中構造必須由有限的運算序列完成，并且不允許使用反證法。

● 邏輯主義：數學基于形式邏輯，不依賴于任何自然直覺。

●形式主義：數學具有一個形式化的集合論基礎。希爾伯特承認這個基礎可能源于自然的直覺經驗，但是它必須用集合論的定義和形式化證明來系統闡述。

03

掌握兩種互補的思維模式

因為數學家的關注點不同，所以后來數學也發展出了多種多樣的領域。

應用數學家研究實際問題，并且構造數學模型來解決問題。物理學家考察重力或磁力這樣的自然現象，用牛頓力學或者愛因斯坦相對論的四維時空來構造數學模型。他們認為宇宙起源于一次大爆炸，而大爆炸理論本身是一種宇宙擴張的數學模型。他們思考原子的結構，構造亞原子粒子的模型，用復雜的實驗來檢驗模型是否匹配現實世界。氣候學家構建長期天氣變化的數學模型。經濟學家構建經濟增長的數學模型，并基于它做出時而準確時而錯誤的預測。如果模型不足以預測，那么就會尋找預測更精確的模型。

與此同時，純數學家試圖構建精密的理論，讓它在明確的上下文中自洽。數學家從任何吸引他們的現象中汲取靈感，尋找解決問題的規律和聯系。他們有時使用已有的理論解決問題，有時根據經驗來提出新的可能性，有時則思考已有的理論來尋找新的定理，從而給出新的形式化定義并建立新的形式理論。許多數學家會視情況混用這些方法，畢竟每個人對數學研究方法都有自己的偏好。

學生們在學習不同領域時，很可能遇到截然不同的方法。讀者應當冷靜地看待它們，多樣性自有其優勢。數學是艱深的：我們要盡可能地用上所有能想到的方法來思考。你掌握的工具和方法越多，能創造的成果也就越多。

為了幫助讀者從中學的“自然”數學過渡到更加復雜、廣闊的高等數學，本書從讀者熟悉的生活經驗出發，一邊構建邏輯聯系，一邊介紹形式化方法。

在掌握了形式化方法之后，讀者就可以掌握兩種互補的思維模式。這兩種思維模式不是互斥的：讀者只需要選擇在上下文中最有幫助、最有成效的即可。其中一種是從直覺出發，構造形式化結構的自然方法；另一種是利用集合論定義證明這些結構的性質，從而形式化地構造它們的形式化方法。讀者應該根據上下文靈活地選擇合適的方法。

基于熟悉的圖像和符號運算的自然方法更容易被人腦理解，但形式化地證明相關性質可以由形式化定義推導出來也是必要的。你還可能發現從未想過的新可能性。例如，復數把我們熟悉的小數擴展到了一個允許求-1的平方根的系統，而復數到四元數的擴張則得到了一個不滿足乘法交換律、二次方程可以有無限多個根的系統。形式化的方法為這些新概念打好地基提供了所必需的結構。

形式化方法關注從特定假設開始的邏輯推導的準確性，可以用來構造頭腦中聯系知識的基模。賦予這些基模以圖形和符號意義，讓我們能從自然角度理解它們。我們可以證明特定的結構定理來實現這一過程：這些定理證明一個已知的形式化結構有著可以形式推導的性質，這些性質可以把概念表示為圖像或者符號，進而解決問題。

這使得數學能夠用不同的方法發展：可以基于邏輯推導，也可以在形式證明的支持下，用圖像或者符號運算來自然地思考形式系統。

作者：[英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者：姜喆

一版再版，被美國大學廣泛采用的經典參考書

在數學學習的道路上走向“成熟”，彌合中學與大學數學學習的差距

啟發思維，拓展知識，有效引導，知識與方法深度結合

為高中生、低年級本科生和愛好數學的大眾讀者開啟的一場妙趣橫生的數學思維之旅