作者：Benjamin Skuse（HLF海德堡桂冠論壇博客） 2024-10-23

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-10-24

近200年來，納維-斯托克斯（Navier–Stokes）方程一直主導著我們對水和空氣等流體如何流動的理解。如今，它們在科學和社會中無處不在，用于建模天氣、洋流和血流，以及設計飛機、車輛和發電站等一系列應用。這些偏微分方程由法國工程師兼物理學家克洛德·路易斯·納維（Claude-Louis Navier，1785 - 1836）和愛爾蘭物理學家兼數學家喬治·加布里埃爾·斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819 - 1903）于1822年至1850年間研究發現，非常準確地描述了粘性流體的運動。

盡管這些方程獲得了廣泛的成功和使用，但從數學角度來看，這些方程仍然存在一個明顯的缺陷。從三維的光滑初始條件來看，尚不清楚它們是否收斂到合理的解、無意義的解、甚或根本不收斂。它們是否始終遵循現實嗎？納維-斯托克斯方程與真實的物理世界之間是否存在差異？

千禧年獎問題

這個令人頭疼的問題被稱為納維-斯托克斯存在性和光滑性問題，是一個如此重要的挑戰，以至于被認為是克萊數學研究所的千禧年獎問題，即數學中最重要的七個開放問題之一。為其中任何一個問題提供解決方案的數學家將獲得100萬美元。

然而，自千禧年獎問題提出以來，經過近四分之一個世紀的努力，只有一個問題得到了解決：格里戈里·佩雷爾曼（Grigori Perelman，1966 -）在2010年解決的龐加萊猜想（盡管他拒絕了現金獎）。對于其他問題，包括納維-斯托克斯存在性和光滑性問題，業余愛好者和專家定期提出所謂的證明，但到目前為止，每個證明都被證明存在致命錯誤。結果，進展緩慢。

丹尼斯·沙利文（Dennis Sullivan，1941 -，2022年阿貝爾獎得主）于9月24日星期二在第11屆HLF海德堡桂冠論壇上發表題為“三維流體運動和三維保體積映射的長組合”的演講，希望討論這個問題，該問題已成為30多年來的一塊磁石，反復吸引著他的注意力。

丹尼斯·沙利文 (Dennis Sullivan) 在第11屆HLF上發表演講

圖源：HLFF / Kreutzer

“當在我長大的德克薩斯州讀本科時，我暑假在石油行業工作，”他在演講中回憶道?！八麄兪褂眠@種模式來增加石油產量，而且效果非常好?！钡芫靡院?，沙利文發現這些方程的基礎是多么的不穩固，盡管納維-斯托克斯的存在性和光滑性問題已經根據黎曼映射定理在二維上得到了解決，但三維上的問題仍然沒有得到解決：“當我在90年代初聽說這個問題時，我感到非常驚訝……因為缺乏知識?！?/p>

空間與數字

沙利文的背景與納維-斯托克斯問題相去甚遠。他因“在最廣泛意義上對拓撲學，特別是代數、幾何和動力學方面的突破性貢獻”而獲得2022年阿貝爾獎。在非常基礎的層面上，他的工作總是將問題簡化為兩塊基本的積木：空間和數量。用他自己在2022年阿貝爾獎簡短采訪中的話來說：“我總是在任何數學討論中尋找這些元素，空間方面是什么，以及數字定量方面是什么？”

這種方法在他職業生涯早期研究“割補理論”（surgery theory，也可直譯為“外科手術理論”，是拓撲學中的形象化術語，譯者注）時就開始發揮作用?！案钛a理論”應用幾何拓撲技術以“受控”方式從另一個有限維流形產生出一個有限維流形。流形（manifold）是一種處處都相同的形狀；沒有終點、邊緣點、交叉點或分支點。

例如，對于由一維字符串組成的形狀，字母“o”是流形，但“a”和“z”不是。對于由二維薄片制成的形狀，球面（sphere）和環面（torus）是流形，但正方形（square）不是。對于五維及以上的流形，“割補理論”在更高、更抽象的層面上發揮作用。沙利文的輸入有助于全面了解五維及更多維度的流形以及它們的行為方式。

后來，他對各種主題做出了重要貢獻，尤其是與他的數學家同事和妻子莫伊拉·查斯（Moira Chas，1965 -）一起參加了第11屆海德堡桂冠論壇并做出了貢獻，他們在1990年代末共同開發了弦拓撲領域。弦拓撲（string topology）可以定義為一個流形的自由閉路空間同調（即從圓到流形的所有映射的空間）上的一組特定運算。這個領域不僅從數學角度來看很有趣，而且還被應用于推進物理學中的拓撲量子場論。

沙利文和妻子查斯在第11屆HLF跳舞

圖源：HLFF / Kreutzer

一切都從歐拉開始

鑒于他最重要的貢獻與流體流動無關，更不用說具體的納維-斯托克斯方程了，沙利文想要明智地解決這個問題，首先要問：是什么使得解決這個問題如此困難？為什么建?；▓@軟管中水流的方程比理解愛因斯坦的場方程要困難得多？

為了理解為什么納維-斯托克斯存在性和光滑性問題如此難以解決，沙利文轉向了相關的歐拉方程。250多年前，瑞士的大數學家萊昂哈德·歐拉 （Leonhard Euler，1707 - 1783）制定了描述理想不可壓縮流體流動的方程?！爱敍]有摩擦或擴散項時，它被稱為歐拉方程，這是整個問題的一個特例，”沙利文說?！皻W拉方程簡單地說，渦度（vorticity，一個其性質需要討論的數學對象）是由流體運動傳遞的。”

實際上，歐拉方程表示一種涉及渦度的流動，其中矢量場在物理空間中沿著流線傳輸時旋轉。“我喜歡這種結構傳輸的想法，”沙利文說。他認為，也許納維-斯托克斯方程可以沿著類似的思路提出，重新表述問題使得更容易解決。

在傳統公式中，納維-斯托克斯方程描述了代表流體的初始速度場（指定3維空間中每個點的速度和流動方向）如何隨時間演變。這種描述留下了一種可能性，即一段時間后，速度場可能會突然且非物理地從一個點改變到另一個點，例如產生急劇上升到無限速度的尖峰。這種情況被稱為“爆破”（blow-up），此時方程完全崩潰。

一種新方法

相反，沙利文用渦度代替了速度作為流體的固有屬性。他認為，渦流在每個點都會扭曲流體，賦予流體剛性，就像角動量如何提供穩定性以防止自行車翻倒一樣。這種剛性或抗變形能力使流體被視為彈性介質，運動會使這種彈性變形。在物理三維情況下，渦度可以被認為是矢量場，指向與速度場不同的方向（速度場指向運動方向）。

沙利文解釋了他如何認為對于流體運動渦度比速度更重要

圖源：HLFF / Flemming

“這個想法是將流體視為彈性介質，渦度賦予其結構，然后在彈性理論中研究運動的雅可比行列式，”他解釋道?！斑@為你提供了一個新工具，可以得出與此討論相關的任何性質，這就是我現在正在研究的內容。”

沙利文的方法帶來了希望，即可以導出證明，揭示納維-斯托克斯方程的解始終保持光滑且表現良好，因此始終準確地表示現實世界的流體流動。但成功還遠未得到保證，許多其他人，包括2006年菲爾茲獎得主陶哲軒等人，正在設計巧妙的方法來證明相反的情況：納維-斯托克斯方程并不能完全刻畫現實世界的流體流動。

無論結果如何，使用創新方法從不同的方向解決問題無疑會帶來有趣的數學，甚至可能更深入地理解流體如何流動這一非?；镜匾奈锢憩F象。

你可以在下面的視頻中觀看沙利文在第11屆海德堡桂冠論壇上的整個演講。https://youtu.be/VZDmfdg8gTo

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/a-new-take-on-the-navier-stokes-equations/

https://youtu.be/VZDmfdg8gTo

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