從軸對稱角度理解

2024年常州中考數學第27題

在2022版新課標中，對圖形的軸對稱的內容要求：

①通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質：成軸對稱的兩個圖形中對應點的連線被對稱軸垂直平分；

②能畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關于給定對稱軸的對稱圖形；

③理解軸對稱圖形的概念：探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質；

④認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱圖形。

對于軸對稱概念，人教版數學教材八年級上冊58頁有如下描述：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁邊的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

在幾何綜合壓軸題中，往往存在動態幾何圖形，而在圖形運動過程中，可能會產生軸對稱現象，這也是新課標對圖形變化的學業要求之一。學生可通過作圖、想像，掌握圖形變化過程中，哪些元素可能出現軸對稱關系，并利用軸對稱性質去探索這些幾何元素間的關系。

2024年江蘇省常州市中考數學第27題第3問，如果能夠挖掘出其中的軸對稱圖形，則這道題幾乎可以秒出答案。

題目

將邊長均為6cm的等邊三角形紙片ABC、DEF疊放在一起，使點E、B分別在邊AC、DF上（端點除外），邊AB、EF相交于點G，邊BC、DE相交于點H．

（1）如圖1，當E是邊AC的中點時，兩張紙片重疊部分的形狀是_____________；

（2）如圖2，若EF∥BC，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

（3）如圖3，當AE＞EC，FB＞BD時，AE與FB有怎樣的數量關系？試說明理由．

解析：

01

(1)要敢于大膽猜想，當△DEF的頂點E落在△ABC的AC邊中點時，點B也在DF邊中點處，下面我們來嘗試證明這一結論：

連接BE，如下圖：

對于等邊△ABC，BE⊥AC，我們可求出BE=3√3，而對于等邊△DEF，頂點E到邊DF上一點B的距離即BE=3√3，顯然這個距離就是頂點E到邊DF的距離，說明點B為垂足，BE⊥DF，我們就得到了結論：點B是DF中點；

這樣BE所在直線即是等邊△ABC的對稱軸，也是等邊△DEF的對稱軸，于是點G、H也關于BE軸對稱，BG=BH，EG=EH，再利用三線合一分別得到∠GBE=∠GEB=30°，于是BG=EG，就得到了四邊形BHEG四邊相等，即它是菱形；

02

(2)當EF∥BC時，我們首先判斷四邊形BHEG的形狀，如下圖：

∠AEF=∠C=60°，而∠DEF=60°，所以∠CEH=60°，即△CEH是等邊三角形，得∠CHE=60°，再加上∠ABC=60°，于是EH∥BG，四邊形BHEG是平行四邊形；

作EK⊥CH于點K，設CE=x，則AE=6-x，EK=√3/2·x，△AEG也是等邊三角形，于是EG=6-x，現在可以表示平行四邊形BHEG的面積了，S=√3/2·x(6-x)=-√3/2(x-3)2+9√3/2，當x=3時，S有最大值9√3/2；

03

(3)請特別留意本小題條件中的AE＞EC，FB＞BD，后面會對它的作用進行詳細說明，現在我們需要探索線段AE和FB的數量關系，出于對等邊三角形軸對稱性的考慮，我們分別過頂點B和頂點E，在各自的等邊三角形中作對邊的中線，如下圖：

由于等邊△ABC和等邊△DEF邊長均為6，則它們本身就是一對全等三角形，因此很容易證明它們的高相等，即BP=EQ，再加上公共邊BE，可得△BEQ≌△EBP，于是BQ=EP，又因為P、Q分別是AC、DF中點，所以AP=FQ，于是AP+EP=FQ+BQ，即AE=FB.

解題思考

本題的作圖其實可以幫助我們加深對圖形的理解，如何繪制本題的圖形？

第一步，作等邊△ABC；

第二步，在AC邊上任取一點E；

第三步，連接BE，以BE為直徑作圓；

【此時紅色圓周上BE所對的圓周角均為直角】

第四步，以E為圓心，3√3為半徑作圓(等邊三角形的高是3√3)；

【此時圓E上任意一點到點E的距離均為3√3，這個距離也是等邊三角形一個頂點到對邊的距離】

第五步，兩圓交點為M、N，先觀察點M；

在紅色圓中，∠BME=90°，即EM⊥DF，同時EM=3√3，以E為頂點，EM為高，構造等邊△DEF即可完成作圖；

在上圖中，我們注意到兩圓若相交，則有兩個交點，分別是M、N，剛才我們構造了等邊△DEF，我們同樣可以連接EN，以E為頂點，EN為高，構造另一個等邊△D'E'F'，如下圖：

因為圓也是軸對稱圖形，并且兩圓對稱軸均是BE所在直線，因此M、N也關于直線BE軸對稱，那我們分別以EM、EN為高所作等邊三角形也是軸對稱圖形，即△DEF與△D'E'F'也關于直線BE軸對稱，此時我們再回過頭來看第3問，便可以秒殺了，如下圖：

△DEF關于BE的軸對稱圖形是△D'E'F'，于是BF=BD'，借助第2問的推導，可知△AEG'和△BD'H'是等邊三角形，四邊形BH‘EG’是平行四邊形，則AE=EG'=BH'=BD'=FB；

這一路推導，酣暢淋漓……

現在再來看條件AE＞EC，FB＞BD，應該明白它究竟想限制什么了吧？特別地，當點E為AC中點時，這兩個等邊三角形也重合了，變成了第1問的圖形。

作為數學教師，研究幾何作圖是一項教學基本功，除了利用粉筆黑板完成教學作圖之外，軟件作圖非常重要，幾何畫板也好，Grogobra也罷，懂得作圖原理才能畫好圖，畫出準確的圖，通過軟件作圖，還可以幫助教師更深入理解幾何綜合題的命題意圖，從而提升自已的命題水平，可謂一舉多得。