數學家長期以來一直想知道“寬度恒定的形狀”在更高維度中的表現如何。一個令人驚訝的簡單結構給了他們答案。

這三個物體具有恒定的寬度，這意味著當放置在兩個平行平面之間時，它們會平滑滾動，就像球一樣 - 盡管看上去它們不應該能夠做到如此這般。

圖源/視頻源：Christopher Webb Young

作者：Gregory Barber 量子雜志特約作家 2024-9-20

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-9-24

1986年，挑戰者號航天飛機在飛行73秒后發生爆炸，著名物理學家理查德·費曼 (Richard Feynman，1918 - 1988) 被請來找出癥結所在。后來他證明，用于連接航天飛機固體火箭助推器各部分的“O形圈”密封件由于低溫而失效，造成了災難性的后果。但他還發現了許多其他失誤。

其中包括NASA計算O形圈形狀的方法。在飛行前測試期間，該機構的工程師反復測量密封件的寬度，以驗證它們沒有變形。他們推斷，如果O形圈被稍微壓扁，變成橢圓形，而不是保持圓形，那么它周圍的直徑將不再相同。

費曼后來寫道，這些測量毫無用處。即使工程師進行了無數次測量并發現每次直徑都完全相同，但仍然存在許多“寬度恒定的物體”，這些形狀被稱為“恒定寬度的物體”（也稱定寬、常寬、恒寬、等寬），其中典型如圓形。

可以說，最著名的非圓形的恒定寬度形狀是魯洛三角形（Reuleaux triangle），你可以通過三圓維恩圖中重疊的中心區域來構造該三角形。對于給定的二維寬度，魯洛三角形是具有最小可能面積的恒定寬度形狀，而圓形面積最大。

在三維空間中，寬度恒定的最大物體是球。在更高維度中，它只是一個更高維度的球——如果你將一根針放在一點并讓它向各個方向自由旋轉，那么它就會掃出該形狀。

圖源：Mark Belan

但數學家們長期以來一直想知道是否總有可能在更高的維度中找到更小的等寬形狀。這種形狀存在于三維中：雖然這些魯洛形狀可能看起來有點尖，但將它們夾在兩個平行平面之間，它們就會像球一樣平滑滾動。但總體而言，要判斷這是否屬實要困難得多。可能在更高的維度中，球是最佳的。因此，1988年，當時還是普林斯頓大學研究生的奧德·施拉姆 (Oded Schramm，1961 - 2008) 提出了一個聽起來很簡單的問題：你能在任意維度上構造一個比球體指數級小的等寬物體嗎？

如今，在5月份網上發布的一篇論文（ https://arxiv.org/abs/2405.18501 ）中，五名研究人員（其中四人在烏克蘭長大，從高中或大學時代就認識）報告說答案是肯定的。

這一結果不僅解決了幾十年前的問題，而且讓數學家第一次看到這些神秘的高維形狀可能是什么樣子。雖然這些形狀很容易定義，但它們卻非常神秘，未參與這項工作的特拉維夫大學數學家Shiri Artstein說道。“在這一點上，我們了解到的任何關于它們的新東西，任何新的構造或計算，都是有趣的。”現在，研究人員終于可以進入幾何宇宙的一個曾經完全無法接近的角落。

播下種子

Andrii Arman（安德烈·阿曼）和Danylo Radchenko（丹尼洛·拉德琴科）于2000年代中期在基輔的一所數學高中相識，也是烏克蘭數學奧林匹克隊的隊友。他們成為了朋友，但并沒有保持密切的聯系。當他們的數學工作后來將他們獨立地拉入Andriy Prymak（安德烈·普里馬克）和Andrii Bondarenko（安德烈·邦達連科）的軌道時（他們曾在1990年代一起就讀基輔國立大學），他們重新建立了聯系。此后，這四位數學家搬到了世界各地的不同城市，從事不同的研究項目，但他們通過Zoom每周聚集兩次，共同研究困難的幾何證明。

Andrii Bondarenko（安德烈·邦達連科，左）和 Danylo Radchenko（丹尼洛·拉德琴科）近期與他們的合作者證明，你總能在高維度中找到寬度恒定的小的形狀。

圖源：Ekaterina Poliakova/挪威科技大學；Gre?gory Hau

恒定寬度的形狀最初并未提上議程。去年，該小組試圖回答一個名為博蘇克問題（Borsuk problem）的相關問題，這個問題困擾了著名的數學家們一個多世紀。但在他們的會議期間，一個想法不斷出現：當Schramm在1980年代提出有關恒定寬度物體的問題時，他還建議了解這種形狀可能會提供解決Borsuk問題的方法。

烏克蘭數學家一直在尋求不同的方法，其中一些人不愿意改變焦點。但現就職于挪威科技大學的邦達連科堅持要他們嘗試，即使這不能直接幫助他們。“他總是強調這個問題本身就很重要，”目前在曼尼托巴大學擔任博士后研究員的阿曼說。最終，團隊的其他成員同意進行嘗試。

為了理解他們做了什么，回顧一下二維的魯洛三角形會有所幫助。假設你要構建一個給定寬度的魯洛三角形。首先畫一個等邊三角形——數學家稱之為“種子”（seed）。在三角形邊界上選擇一個點，并圍繞它畫一個圓，其半徑等于你想要的最終形狀的寬度。現在，在三角形邊界上的每個點上執行此操作，你就獲得一組無限多個圓。

看看這些圓圈重疊的區域。在其中的某個地方，你將能夠找到一個恒定寬度的主體 - 你只需找出你真正需要的“種子”子集。在這種情況下，你可以僅查看等邊三角形的三個頂點，而不是其邊界上的所有點。圍繞這三個點畫圓圈，你會得到一個維恩圖（Venn diagram）；它的重疊區域是魯洛三角形。

三個圓相交形成魯洛三角形

圖源：Mark Belan

在更高的維度中，可以使用相同的方法。從一組點（你的種子）開始。圍繞每個點畫一個球，獲取它們的交點，然后尋找位于新空間內的恒定寬度的物體。但在高維度中，要弄清楚種子的哪個子集會給你想要的形狀要困難得多。

阿曼、邦達連科、普里馬克和拉德琴科對不同的“種子”進行了實驗，最終得出了他們想要使用的特定曲線。他們知道這條曲線會給他們一個包含足夠小且寬度恒定的物體的區域。但他們想了解恒定寬度的物體本身會是什么樣子。當他們尋找答案時，阿曼在數學問答網站MathOverflow上發現了2022年的一篇帖子（ https://mathoverflow.net/questions/29000/volumes-of-sets-of-constant-width-in-high-dimensions/472375#472375 ） 。發帖者是肯特州立大學的費多爾·納扎羅夫（Fedor Nazarov），他一直在獨立嘗試回答施拉姆的問題，他的方法看起來與烏克蘭隊的方法非常相似，盡管他陷入了困境。四人組邀請他加入他們。就在那時，納扎羅夫意識到了其他人忽略的一些事情：他們的“種子”賦予他們的形狀不僅僅包含一個恒定寬度的物體。這是一個。

Andrii Arman（安德烈·阿曼，左）和 Andriy Prymak（安德烈·普里馬克）來自烏克蘭的四人數學家團隊，他們已經合作多年。

圖源：Jaskaran Singh

他們的工作提供了一種令人驚訝的簡單算法，用于構建恒定寬度的n維形狀，其體積最多為球的0.9?倍。阿曼說，從某種意義上說，這個限制是任意的。應該有可能找到寬度恒定的更小的物體。但這個證明足以回答施拉姆的問題，隨著維數的增加，最小和最大等寬體的體積之間的差距呈指數級增長。阿曼說，盡管他們的結果背后有復雜的想法，但他們的構建是本科生應該能夠驗證的。

繼續前進

對于希伯來大學的吉爾·卡萊（Gil Kalai）來說，看到他以前的學生施拉姆得到答案感到非常滿意。施拉姆在許多不同領域的問題上取得了重大進展后，于2008年在一次徒步旅行事故中喪生。但卡萊也很高興探索這一結果理論的后續成果。他說，此前，在更高的維度中，這些形狀可能都像球一樣，至少在體積屬性方面是這樣。但“事實并非如此。所以這意味著這些高維物體的理論非常豐富，”他說。

該理論甚至可能有應用。畢竟，在較低維度中，恒定寬度的物體已經非常有用：例如，魯洛三角形以鉆頭、吉他撥片和消防栓防篡改螺母的形式出現。根據阿曼的說法，在更高的維度中，它們的新形狀可能有助于開發用于分析高維數據集的機器學習方法。邦達連科在該小組內因阿曼所說的“瘋狂想法”而聞名，他還提出了與遙遠的數學分支的聯系。

對恒定寬度的最小可能物體的搜索（在大于2的所有維度中保持開放）仍在繼續。該小組短暫地利用他們的構造在三維上研究了一個有希望的候選者，但結果讓他們失望了：結果證明它只比已知最小的物體大百分之零點幾。目前，數學家們決定放棄追逐并返回博蘇克問題的研究。在他們身后，他們留下了一個新的高維形狀的世界供其他人探索。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-shapes-to-solve-decades-old-geometry-problem-20240920/

https://arxiv.org/abs/2405.18501

https://mathoverflow.net/questions/29000/volumes-of-sets-of-constant-width-in-high-dimensions/472375#472375

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