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本周，高級主編Konstantin Kakaes討論了素數是什么以及素數為何在數學中發揮著如此重要的作用。

作者：Konstantin Kakaes 量子雜志高級主編 2024-8-19

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-8-22

1、2、3、4、5 — 數學從計數開始。接下來是加法，然后是乘法。乍一看，它們似乎非常相似。畢竟，乘法只是重復的加法（累加）：7 × 5 是 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 的更簡潔寫法。

但如果你深入研究數字內部，看看它們是由什么組成的，這種最初的相似性就不復存在了。試著用加法將任何整數劃分成幾個小的部分之和，你會有很多可能的方式。例如，11 = 5 + 6 = 4 + 7 = 3 + 3 + 3 + 2。（有 56 種方法可以分割 11）。隨著數字變大，分割的數量也穩步增加 （https://oeis.org/A000041 ）。但如果你試著用乘法來分割數字，就會出現一個非常不同的畫面。有好幾種方法可以分割 30 — — 有 3 × 10、5 × 6 和 2 × 15。但 31 根本不能分割。它是素數（質數）。它的因數只有它自己和 1。

加法和乘法之間的區別是通往抽象數學大荒野的最平緩的山路之一。素數的定義涉及乘法。但素數也形成具有神秘質感的加法模式。

許多這樣的模式都激發了數學界最大的一些未解問題。例如，數學家猜疑存在無數個孿生素數——相差 2（加法）的素數（乘法），如 29和31 或 41和43。但沒有人能夠確切地證明這一點。同樣，數學家認為每個大于2的偶數都可以寫成兩個素數之和，這個問題被稱為哥德巴赫猜想。這一點也尚未得到證實。

但許多其他事實也已得到充分證實。素數有無數個。盡管這是數學中最古老的成果之一，數學家們仍在不斷提出新的證明（參閱20230426文章）。眾所周知，素數在數軸上越來越稀少。1896年，雅克·阿達瑪 (Jacques Hadamard，1865 - 1963) 和夏爾-讓·德·拉瓦萊·普桑 (Charles-Jean de la Vallée Poussin，1866 - 1962) 獨立證明了所謂的素數定理（PNT），該定理對素數的稀有程度進行了非常好的估計。這個定理是解析數論的基礎成果之一，解析數論是數學的一個分支，將整數研究與光滑變化的函數聯系起來。

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乍一看，整數和函數之間似乎沒什么關系。但它們之間的聯系卻十分深刻。其中最吸引人的一條線索是黎曼猜想，它可以說是現代數學中最重要的（也是最難解決的）未解問題。

從表面上看，這個假設與素數無關——它與不直接涉及素數的無窮和的行為有關。但如果它是正確的，數學家們就有辦法解釋素數定理預測的偏差。素數似乎隨意地散布在整數中，但黎曼假設提供了一種解釋它們為什么會出現的靈巧方法。

今年五月，詹姆斯·梅納德（James Maynard，1987 -，參閱20220705 ）和拉里·古斯（Larry Guth，1977 -，參閱20240715文章）證明了該假設可能存在例外的新界限。（物理學家也有解決該問題的想法）。去年，梅納德的三名學生證明了一個關于素數如何分布到不同類型的數學桶中的新結果（參閱 20231026 ）。其他研究則研究了素數如何在更短的區間內分布。

人們早就知道素數會聚集成團——有時它們之間會留有很大的空隙，有時則留很小的空隙。2013年，當時還默默無聞的數學家張益唐（1955 -）證明了間隔小于7000萬的素數有無窮多個。這是證明孿生素數有無窮多個的第一步：7000萬雖然很大，但卻是有限的數。

幾個月后，有梅納德在其中的合作成果，證明可以做得更好：他們將差距從7000萬縮小到600。

數學家們同樣感興趣的是素數之間的距離可以有多遠。（即使一些素數之間的距離很近，但別的相鄰素數之間的距離卻很遠。參閱20220721文章）對于大數，平均間隔趨向于無窮大，但數學家們試圖描述間隔增長的速度。

除了分布方式之外，素數還具有許多模式。除了2，所有素數都是奇數。這意味著有些素數（如 5）除以 4 后余數為 1，而其他素數（如 11）余數為 3。事實證明，這兩種不同的素數具有根本不同的行為，這一事實稱為二次互反律（quadratic reciprocity，參閱20231101 ），由卡爾·高斯（Carl Gauss，1777 - 1855）在19世紀首次證明。互反律是當今數學家的基本工具。例如，它在去年夏天關于如何將圓堆積在一起的證明中發揮了關鍵作用（參閱20230810 ）。

素數或不可整除的概念不僅限于數字。稱為多項式的表達式，如x ? + 3 x 2 + 1，也可以是素多項式（不可約多項式）。2018年，兩位數學家證明，在某個特定類別中，幾乎所有多項式都是素多項式。

乍一看，素數的特殊性并不明顯。當你數數時，你可能會覺得很奇怪，比如說，7 和 11 是不可被（1和自身之外的數）整除的，而不像某些其他數字那樣。但簡單的計數行為會創造出微妙而復雜的結構，讓任何人都能瞥見數學真理的不可阻擋的宏偉。

網絡上的資料

YouTube頻道Numberphile（https://www.youtube.com/watch?v=vKlVNFOHJ9I ）采訪了OEIS整數數列在線百科全書（https://oeis.org ）的創建者 Neil Sloane，采訪內容涉及一些特別令人難忘的質數，例如 12345678910987654321。

《前5000萬個素數》（https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BF03039306/fulltext.pdf ）是數論學家唐·扎吉爾 (Don Zagier，1951 -) 撰寫的一篇經典但技術性很強的文章，非專業人士也可以從中獲益。他寫道：“關于素數的分布有兩個事實，我希望能夠讓你們信服，讓它們永遠銘刻在你們心中。”

互聯網梅森素數大搜尋GIMPS（Great Internet Mersenne Prime Search，https://www.mersenne.org ）正在尋找已知的最大素數。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/the-odd-math-of-social-insects-2493061

https://oeis.org/A000041

https://www.youtube.com/watch?v=vKlVNFOHJ9I

https://oeis.org

https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BF03039306/fulltext.pdf

https://www.mersenne.org

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