幾何中的代數關聯

2024年上海中考數學第25題

對于幾何壓軸題中常見的圖形研究，通常情況下會從位置關系和數量關系兩方面入手，圖形間存在特定位置關系時，一定伴隨相應的數量關系，反過來，當圖形間存在數量關系時，也一定存在某類位置關系；

對于解題，需要分析圖形特征，尋找圖形間的這兩種關系。其中學生感覺較為困難的，是尋找它們之間的數量關系，即代數關聯。

在三角形中，三邊間的數量關系最初是由線段公理推導出來的結論“三角形兩邊之和大于第三邊”，然而這是個不等關系，等量關系則在勾股定理中出現，而且還是特殊直角三角形，當然，一般三角形也存在類似的數量關系，高中我們會進一步接觸。在兩個三角形之間，有全等、有相似，可列比例式，構造更多邊長之間的數量關系，再與勾股定理結合起來，對一般學生而言，難度一下子就上去了。

題目

解析：

01

(1)條件中的平行、比例關系，顯然需要構造比例線段，可以用平行線分線段成比例，也可以構造相似三角形；

0 1

方法一：

連接DE并延長，交CB延長線于點G，如下圖：

由AD∥BC，我們借此構造出了一對相似三角形，△ADE∽△GBE，再由AE=1/3AB求得它們的相似比為1:2，則DE=1/2GE，所以DE=1/3DG，再加上DF=1/3CD，公共角，可得△DEF∽△DGC，于是能夠證明EF∥BC；

0 2

方法二：

連接AF并延長，交BC延長線于點G，如下圖：

和方法一類似，只不過先由△ADF∽△GCF，再到△AEF∽△ABG；

0 3

方法三：

過點A作AH∥CD，在AH上取點G，使AG=1/3AH，連接EG、FG，如下圖：

由AE=1/3AB，AG=1/3AH，加上公共角，可證△AEG∽△ABH，可得到EG∥BH，因為AH∥CD，AD∥BC，可得平行四邊形AHCD，所以AH=CD，再加上DC=1/3CD，可證明AG=DF，于是得平行四邊形ADFG，所以AD∥FG，可得FG∥BC，前面已證EG∥BH，故E、G、F三點共線，最后得到EF∥BC；

0 4

方法四：

過點D作DH∥AB，在DH上取點G，使DG=1/3DH，連接EG、FG，類似方法三，不再重復；

0 5

方法五：

過點E作GH∥CD，分別交DA延長線、BC于點G、H，如下圖：

易證△AEG∽△BEH，得EG=1/3GH，由GH∥CD，AD∥BC得平行四邊形GHCD，于是GH=CD，而DF=1/3CD，所以EG=DF，得平行四邊形GEFD，所以EF∥AD，最后EF∥BC；

0 6

方法六：

延長BA、CD交于點G，如下圖：

易證△GAD∽△GBC，得GA:GB=GD:GC，即GA:3AE=GD:3DF，所以GA:AE=GD:DF，加上公共角得△GAD∽△GEF，可證明AD∥EF，最后得EF∥BC；

02

(2)當AD=AE=1時；

①連接DE之后，得等腰△ADE，它的外接圓圓心是三邊垂直平分線交點，于是過點A作DE的垂線AF，由等腰三角形三線合一，可知AF即DE的垂直平分線；再作AE邊上的垂直平分線GO，與AF延長線交于點O，則△ADE外接圓的圓心就是點O；

連接BO，由題目條件可知BO是∠ABC的角平分線，如下圖：

在等腰△ADE中，∠AED=1/2(180°-∠BAD)，而由AD∥BC可得∠BAD+∠ABC=180°，再加上BO是角平分線，于是∠ABO=1/2(180°-∠BAD)，所以∠AED=∠ABO，我們證明了DE∥BO，即∠AOB=∠AFE=90°；

由DE∥BO可得AF:AO=AE:AB=1:3，不妨設AF=x，則AO=3x，同時AB=3；

易證Rt△AOG∽Rt△ABO，得AO:AB=AG:AO，于是3x:3=1/2:3x，解得x=√6/6，即AO=√6/2；

②由條件CD2=DM·DN，再加公共角可證△DCN∽△DMC，于是∠DCN=∠DMC，再由∠DMC=∠CEM，于是這三個角都相等即∠DCN=∠DMC=∠CEM，如下圖：

圖中AE=AD=1，AB=3，可求出BE=2；顯然EM∥CD，不妨延長BA、CD，相交于點F，我們可構造出兩對“A”型相似，如下圖：

由AD∥BC得△FAD∽△FBC，且BC=4，可求出相似比為1:4，再求出AF=1，順便得到CD=3DF=3(CF-CD)，化簡得CF=4/3·CD；從而得到點E是BF中點，再由EM∥CD得EM是△BCF中位線(或證△BME∽△BCF)，得BM=CM=2，順便得到CF=2EM，這樣就得到了EM與CD的數量關系，EM:CD=2:3；

所以EN:CN=2:3，可得CN=3/5·CE，現在我們回到前面推導出的△DCN∽△DMC，得CM2=CN·CE，即4=3/5·CE·CE，解得CE=2√15/3；

01

方法一：

Valentine's Day

此時再過點E向BC作垂線EG，如下圖：

設GM=a，則BG=2-a，CG=2+a，分別在Rt△BEG和Rt△CEG中利用勾股定理得BE2-BG2=CE2-CG2，列出方程：4-(2-a)2=20/3-(2+a)2，解得a=1/3；

先求出BG=5/3，再由勾股定理求出EG2=11/9，在Rt△MEG中求出EM=2√3/3，最后根據EM:CD=2:3求出CD=√3；

02

方法二：

Valentine's Day

連接DE，如下圖：

(本解法由遠安外國語學校焦雷老師提供)

設DF=x，則CD=3x，由AE=AF=AD=1，可證∠EDF=90°，仍然在Rt△EDF和Rt△EDC中利用勾股定理得EF2-DF2=CE2-CD2，列出方程：4-x2=20/3-9x2，解得x=√3/3，最后求出CD=3x=√3.

解題反思

對于教師來講，這道題在講的時候如何精準作圖？以GeoGebra為例，首先作一個等腰△BCF，并且使得BC=4，CF=4√3/3，再分別在BF和CF上取其四等分點A和D，BF邊上中點E，BC上中點M，再連接CE，EM，DM，交點為N，如下圖：

通過測量發現滿足題目條件，順便連接DE之后測量檢查∠EDF=90°；

對于等腰△BCF來講，它也算特殊三角形，腰底之比為√3:1，在這種腰底比值下，∠DCE=∠CEM=∠DMC，至此我們才完成了整道題的代數關聯，構成本題圖形的基本條件是等腰△BCF，其腰:底=√3:1，AD這條線段截其邊長和底的1/4，EM是中位線；

挖出這些條件之后，剩下的就是設置它們間的關聯，隱藏若干條件，看剩下的能否推導出來。

若要進行改編，掌握以上代數關聯之后，也會相對容易，例如不給出線段的具體數值，只給出等量關系，最后也不求具體數值，而是求比值，當然難度也會提升。

2024年上海中考數學壓軸題，對于學生的構圖能力要求較高，給出基本圖形是梯形，需要通過演算發現它是一個缺了角的等腰三角形，只要補全這塊拼圖，整道題的邏輯就通順了。至于其間的相似三角形、直角三角形等，都是這些代數關聯的點綴。