圖源：Nan Cao / 量子雜志

譯者注：sheaf（源自法語詞faisceau，一捆、一束，現中文文獻中一般譯為“層”，疑為后人誤譯，離上面插圖中所示的小麥束已相去甚遠）是法國數學家 Jean Leray在戰俘營監獄中創造的拓撲學概念。在本文中，作者Konstantin Kakaes引用了“花園”作為層的隱喻，并稱這些隱喻式的“花園”已成為現代數學的中心對象。

作者：Konstantin Kakaes 量子雜志資深編輯 2024-7-19

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-7-21

1940年，法國數學家兼炮兵軍官讓·勒雷（Jean Leray，1906 - 1998）被德國人俘虜。他告訴俘虜自己是一名拓撲學家，是因為擔心如果他們發現他真正的專業領域——流體動力學，他們就會強迫他為德國戰爭效力。在他被監禁的近五年時間里，勒雷通過研究拓撲學——這一研究可變形形狀的數學分支，來維持這種詭計。他最終創造了現代數學中最具革命性的思想之一：“層”（sheaf，原意為捆、束）的概念。

德克薩斯大學奧斯汀分校的大衛·本-茲維（David Ben-Zvi）說，在亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014）在1950年代和60年代使勒雷的概念脫穎而出后，層在數學中扮演了“主角”之一，成為“現代代數幾何中最基本的工具之一”。

正如一篇介紹性文章 https://arxiv.org/abs/2202.01379 所說，層可以被認為是建立在其他數學對象之上發展出的概念。“可以這樣考慮它，數學對象是一塊土地，而層就像土地上面的花園，”馬克·阿格里奧斯（Mark Agrios）寫道。

層之所以得名，是因為它們涉及將“莖”（stalk）附著在基礎對象上。勒雷將它們命名為“faisceaux”（法語為“層”），因為這種安排讓他想起了成捆收割后的小麥。正如花園可以種植在不同種類的土地上一樣，層可以建在許多不同類型的數學對象之上，因此可以采取許多不同的形式。

即使是最簡單的層也是相當復雜的數學實體。為了更好地理解它們，我們可以構建一個。以下是如何用直線制作簡單的層。

將基礎對象設為實數軸：

我們構建一個不是建立在單個點上，而是建在區間上的層。你可以通過無限多種方式將數軸分解為區間。下面顯示了一個示例。

在每對匹配的括號之間有一個區間，該區間包括它們之間的所有點，但不包括端點。因此，區間(0,1)包含了所有大于0且小于1的數字。

層包含所有區間，而不僅僅是任何給定的一個區間。每個區間可以分配一個“分段”集合。在本示例中，分段是經過區間的所有可能的直線。

只舉一個區間，如下所示。僅顯示了其中的三個分段，因為不可能一次可視化所有的分段。

層包括了所有可能的區間和區間的并集上的所有分段。

這是一個令人眼花繚亂的混沌實體。它在數學上變得有趣，因為它隱藏著基礎的簡單性。在上圖中，為不同區間選擇分段發生沖突。直線在彼此的上方和下方通過，而不是重合。

數學家們有興趣想了解當你從每個區間中選擇一個分段，并要求不同的分段相互兼容，以便重疊區間一致時會發生什么。在這種限制下，一些非凡的事情發生了。

如果一個區間嵌套在另一個區間內，則直線必須重疊匹配。

從這個局部約束中，你會得到一個全局結果。你最終會得到符合嵌套規則的唯一可能選項：在整個數軸上延伸的直線，而不是許多小的直線。

這些稱為全局分段。賦予層力量的一件事是，這種全局對象是從局部約束中出現的。

這是對實軸上的一堆直線或線性函數的游覽。這是最簡單的層之一。

你可以在實軸上創建大量的層。這類似于在同一塊土地上的花園中種植不同的花卉。有一個由圖像不跳躍的函數組成的層，有一個由圖像沒有尖角的函數組成的層，以及無限多其他類型的層。

但這僅僅是個開始。與其種植不同的花，不如轉向不同的土地。想象一下，在一個圓而不是一條直線上建造一個層。這創造了一個看起來像無限高的圓柱體的結構。在該圓柱體上繪制的對象的結構取決于特定層的特定構造。

圖源：Mark Belan / 量子雜志

到目前為止，我們考慮過的所有層都可以被認為是函數族。但是層可以變得更為（極其）復雜。

上圖中的圓柱體可以被認為是來自一個無限高的矩形，你已經將其邊粘在一起。但如果你在粘合矩形之前扭曲矩形的兩端，如下圖所示，你將創建一個無限寬的莫比烏斯帶（M?bius strip）（這種無限寬的不可能畫出來，所以我們將展示一個有限的莫比烏斯帶）。在這條莫比烏斯帶上，你仍可以繪制讓人聯想到圖形的曲線。

在圓的任何一小塊局部上，這條曲線看起來像一個函數的圖像。但在全局范圍內，它不是一個函數。這是因為由于扭曲，無法定義一致的全局坐標系。（即如果你繞著莫比烏斯帶走，你的上、下概念最終會翻轉，從而使你無法定義。）數學家稱這些對象為“扭曲函數”（twisted function）。

雖然每個層都是一個龐大的對象集合，但你也可以考慮給定數學對象（ 實軸、圓或其他實體）上所有層的集合。這就像考慮可以在給定的土地上種植的所有可能的花園一樣。這告訴你一些關于那片土地是什么樣子的信息。有些地塊是熱帶雨林，有些是沙漠。弄清楚哪些層是可能的，這為數學家提供了一種探索基礎空間結構的方法，就像知道哪些植物生長在特定類型的土壤中可以為你提供有關該土壤的信息一樣。

從格羅滕迪克開始，數學家們逐漸意識到層集合與函數集合有許多共同點，但復雜程度更高。你可以將層相加和相乘，甚至可以對其微積分。

在監獄里，勒雷打開了通往一個全新數學世界的大門。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/what-are-sheaves-20240719/

https://www.newyorker.com/magazine/2022/05/16/the-mysterious-disappearance-of-a-revolutionary-mathematician

https://arxiv.org/abs/2202.01379

https://zhangdingxin.gitlab.io/math/2024-spring-pianquceng/pianqu.html

http://markagrios.net

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