柳暗花明尋定線

2024年武漢中考數學第24題

作為二次函數綜合壓軸題，2024年武漢中考數學第24題頗有難度，尤其是其第3問，含參坐標較多，結論卻是定直線，非常考驗學生的基本計算推演，也符合初高銜接要求。

這一類問題的求解，除了基本計算能力之外，更需要對二次函數的深入理解，對其中幾何元素的深入理解，以及對數與形關系的深入理解，這三個“深入理解”需要我們在平時教學中去落實，才能在面臨壓軸題時，從容不迫。

題目

拋物線y=1/2x2+2x-5/2交x軸于A，B兩點（A在B的右邊），交y軸于點C.

(1)直接寫出點A，B，C的坐標；

(2)如圖1，連接AC，BC，過第三象限的拋物線上的點P作直線PQ∥AC，交y軸于點Q，若BC平分線段PQ，求點P的坐標；

(3)如圖2，點D與原點O關于點C對稱，過原點的直線EF交拋物線于E，F兩點（點E在x軸下方），線段DE交拋物線于另一點G，連接FG，若∠EGF=90°，求直線DE的解析式.

解析：

01

(1)點C坐標直接觀察得到，(0,-5/2)，將解析式化為交點式，y=1/2(x-1)(x+5)得到點A(1,0)，B(-5,0)；

02

(2)關鍵詞“平行”和“中點”觸發構造全等三角形的buff，但在坐標系中，沿坐標軸方向的平行線才是解決本題最需要的，過點P作PH∥y軸，如下圖：

顯然△PHJ≌△QCJ，于是得到PH=QC，我們利用它來構建方程，設P(t,1/2t2+2t-5/2)，求出直線BC解析式y=-1/2x-5/2，表示出點H(t,-1/2t-5/2)，這樣就可以表示出PH=-1/2t-5/2-(1/2t2+25-5/2)；

再求出直線AC解析式y=5/2x-5/2，設PQ解析式為y=5/2x+b，代入P點坐標，得PQ解析式為y=5/2x+1/2t2-t/2-5/2，這樣可得到點Q坐標(0,1/2t2-t/2-5/2)，于是QC可以表示出來，QC=1/2t2-t/2-5/2+5/2；

聯立得方程-1/2t-5/2-(1/2t2+25-5/2)=1/2t2-t/2-5/2+5/2

解得t1=0(舍)，t2=-2，則P(-2,-9/2)；

03

(3)根據題目給出的條件，目前可以確定的是拋物線解析式y=1/2x2+2x-5/2，點D坐標為(0,-5)，∠EGF=90°，或理解為DE⊥FG，如下圖：

直線EF過原點，則可設直線EF為y=kx，直線DE經過點D，則可設直線DE為y=mx-5，然后分別用參數表示出E、F、G三個點坐標為(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，這三個點恰好是一個直角三角形的三個頂點，因此我們需要探究這三個點坐標間的關系，過點G作y軸的垂線，再分別過點E、F作x軸的垂線，如下圖：

我們很容易可以得到EM:GN=GM:FN，推導如下：

解題反思

本題難點在第3問，多數學生在面對三個動點多個參數的時候，會手足無措，這個時候就極考驗學生的應變能力，三個動點中，EF過原點且∠EGF=90°，再加上EG過點D，事實上已經確定了這三個點的位置，因此最終所求的直線DE是一條確定的直線。

在解題過程中，也有學生列出了過于復雜的關系式，例如用參數表示出△EFG三邊，然后用勾股定理列出一個等式，導致次數太高，在后續化簡帶來極大麻煩。

在面對多參數綜合題的時候，我們需要學會抓住關鍵的等量關系，同時需要較強的計算推理能力，從而得到正確的關系式，這在未來學習更多函數知識的時候非常重要。