動中覓靜究其理

2024年成都中考數學第25題

在2024年各地中考數學卷的二次函數壓軸題中，含參與動點幾乎是一種伴生現象，對于含參二次函數，多數情況下困難在于作圖，若不能作出函數圖象，或者想像不出對應的函數圖象，這種綜合題對于多數中等生幾乎就無解了。

一般情況下，這一類問題的解決，需要學生首先理解無參二次函數的圖象性質，然后引入新的參數后，思考參數會引發圖象哪些變化，并歸納總結出若干經驗，再利用這些經驗去解決新的含參問題。

2024年成都中考數學第25題，是典型的含參動點二次函數綜合題，難點雖然在第3問，但第2問也很有意思，解法眾多，特別是用反演原理的獨特解法，可極大簡化計算，是一道優秀的壓軸題。

題目

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線L:y=ax2-2ax-3a(a>0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，其頂點為C，D是拋物線第四象限上一點.

(1)求線段AB的長；

(2)當a=1時，若△ACD的面積與△ABD的面積相等，求tan∠ABD的值；

(3)延長CD交x軸于點E，當AD=DE時，將△ABD沿DE方向平移得到△A'B'E，將拋物線L平移得到拋物線L'，使得點A'，B'都落在拋物線L'上，試判斷拋物線L‘與L是否交于某個定點，若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

解析：

01

(1)將解析式寫成交點式：y=a(x+1)(x-3)，便可得到A(-1,0)，B(3,0)，于是AB=4；

02

(2)作點B關于點A的對稱點M，連接MC，過點A作AD∥MC，AD與拋物線交于點D，如下圖：

這是如何想到的？原理是等高轉等距.

假設我們找到了合適的點D，使△ACD和三角形ABD面積相等，則過點B向AD作高，再過點C向AD作高，它們應該是等高，過點B作的那條平行線(虛線)與AD，MC正好構成一組平行線，它們間的距離相等，不妨過點A作AD垂線，則AF，AG可作為△ABD和△ACD的高，如下圖：

則我們容易證明△ABF≌△AMG，于是自然也能證明AB=AM，所以D點若存在，則上圖一定也存在，那么我們可以反演作圖，先確定點M，再確定點D；

當a=1時，由M(-5,0)，C(1,-4)，先求出MC解析式為y=-2/3x-10/3，不妨設AD為y=-2/3x+b，代入點A坐標，求出AD解析式為y=-2/3x-2/3，再與拋物線聯立得方程：-2/3x-2/3=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=7/3，于是點D(7/3,-20/9)；

接下來的求解就很簡單了，過點D向x軸作垂線DK，如下圖：

根據D(7/3,-20/9)和B(3,0)，分別求出BK=2/3，DK=20/9，于是tan∠ABD=10/3；

03

(3)先按要求作草圖如下：

按題目敘述條件的順序，我們先解讀AD=DE，可設D(t,at2-2at-3a)，過點D作DF⊥x軸，則點F(t,0)，在等腰△ADE中，可知點F是AE中點，因此利用中點公式可寫出點E坐標為(2t+1,0)；

請注意，此時我們已經表示出了C、D、E點坐標，顯然它們在一條直線上，不妨利用C、E寫出直線解析式，然后再代入點D坐標，以期得到參數t的關系式，推導如下：

這個推導結果說明，點D的橫坐標是定值，即點D在直線x=2上；

接著我們來解讀條件“沿DE方向平移”，觀察D、E兩點坐標，D(2,-3a)，E(5,0)，橫坐標增加了3，縱坐標增加了3a；

△ABD平移至△A'B'E，我們需要關注的是拋物線L是否也沿DE平移了相同距離，這就是題目中“使得點A'，B'都落在拋物線L'上”的意義，它明白無誤地告訴我們，原拋物線L的頂點C(1,-4a)平移到新頂點C'(4,-a)，于是拋物線L'解析式為y=a(x-4)2-a，它與x軸有兩個交點分別是(3,0)和(5,0)，所以拋物線L與拋物線L'有一個公共點(3,0)，即點B.

解題思考

在解決本題第2問的時候，作圖仍然是難點，按張欽博士示范課中的反演作圖法去構圖，基本可以做到“秒殺”，比原參考答案的方法要簡單許多，尤其是第3問，理解平移是關鍵，平移拋物線只需要關注它的頂點即可，本質上拋物線的平移等價于頂點的平移，因為在平移過程中拋物線的形狀(開口方向和開口大小)不變。

在實際解題中，我發現不少學生采用的方法是將拋物線L和拋物線L'的解析式聯立起來，從而得到一個高次方程，然后無路可走，甚至個別學生企圖用解高次方程的方法，且不說這是超標內容，即便用起來，計算量也很大，并不是本題推薦解法，個人也不推薦。

而利用數形結合，從函數本身的性質出發去理解圖形，效果會好得多，這也進一步說明我們在函數教學過程中，需要引導學生理解函數本質，即變量間的關系。

在審題過程中，按題目敘述順序去逐一解讀，有利于形成正確的解題邏輯，當然這也與命題要求一致，當發現點D橫坐標為定值時，本小題其實大部分已經出來了。這種解法正是建立在對動點類問題原理的理解之上，通常情況下，動點問題，我們需要弄清楚誰是動點，怎么動，帶動誰，而在這個過程中，一定存在不變的量，找準這個量，解起來就容易多了。