有用的數學概念，如數軸，在被嚴格定義之前可能會徘徊數千年。

圖源：Nico Roper / Quanta Magazine

作者：Jordana Cepelewicz 量子雜志資深作家 2024-6-21

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-6-23

古希臘人愿意相信，宇宙可以只用整數及整數之間的比率——分數，即我們現在所說的有理數，來描述它的完整性。但是，當他們考慮一個邊長為1的正方形時，這種愿望被破壞了，結果發現它的對角線的長度不可能寫成分數。

對這種不可能性的第一個證明（會有幾個）通常歸功于公元前6世紀的哲學家畢達哥拉斯，盡管他的著作都沒有幸存下來，人們對他也知之甚少。然而，“這是我們所謂的數學基礎的第一次危機，”安大略省倫敦西部大學名譽教授約翰·貝爾（John Bell）說。

這場危機在很長一段時間內都未得到解決。雖然古希臘人可以確定√2不是什么，但他們沒有一種語言來解釋√2是什么。

這樣勉強持續了一千多年。文藝復興時期，數學家在試圖求解代數方程時操縱了他們所謂的無理數。平方根的現代符號在16世紀和17世紀開始使用。但是，它們仍然有一些站不穩腳跟的東西。√2是否以與2相同的方式存在？當時尚不清楚。

什么是無理數？

幾千年來，數學家一直在使用無理數，但直到19世紀才提出一個嚴格的定義。

有理數無理數

可以寫成兩個整數之比 不可以寫成兩個整數之比

但是，你能根據無理數是什么來定義無理數，而不是用無理數不是什么來定義它嗎？

戴德金分割

無理數可以定義為兩組有理數之間的對象。對于√2而言，第一組里面都是平方小于2的有理數。第二組為平方大于2的有理數。√2是劃分它們的分界線。

制圖：Mark Belan / Quanta Magazine

數學家們繼續生活在這種模棱兩可中。然后，在1800年代中期，理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831 - 1916）等人意識到，200年前由艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643 - 1727） 和戈特弗里德·萊布尼茨 （Gottfried Leibniz，1646 - 1716）發展的微積分建立在搖搖欲墜的基礎上。戴德金是一位內向但有天賦的數學家，工作緩慢，發表的文章相對較少，他意識到他無法對函數連續的含義給出令人滿意的解釋，當時他正準備教他的學生有關連續函數的知識。

他甚至沒有看到恰當定義的函數。他認為，這需要很好地理解數字是如何工作的——數學家似乎認為這是理所當然的。他問，你怎么能確定√2乘以√3等于√6？他想提供一些解答。

因此，他引入了一種僅使用有理數來定義和構造無理數的方法。它是這樣工作的：首先，將所有有理數分成兩個集合，使得一個集合中的所有分數都小于另一個集合中的分數。例如，在一個分組中，收集所有平方小于2的有理數；在另一分組中，放置所有平方大于2的有理數。正好一個數字堵住了這兩組之間的漏洞。數學家給它貼上了標簽√2 。因此，對于戴德金來說，無理數是由一對無限的有理數集定義的，這產生了他所謂的分割。“這是一個非常可愛的想法，”華威大學的伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）說。“你可以確定缺失的無理數，不是通過描述它們，而是通過描述它們必須所處的間隙。”

戴德金證明，你可以用這種方式填充整個數軸，第一次嚴格地定義了現在所謂的實數（有理數和無理數的混合）。

大約在戴德金推出他的分割的同時，他的朋友和合作者格奧爾格·康托爾（Georg Cantor，1845 - 1918）也開始考慮無理數。這種重疊使他們的關系變得復雜。“他們是好朋友，互相憎恨。他們合作，互相輕視，”以色列開放大學校長、科學史學家利奧·科里（Leo Corry）說。

19世紀的數學家理查德·戴德金（左）和格奧爾格·康托爾（右）是朋友和對手，他們提出了新的、嚴格的方法來定義數字。

歷史和藝術收藏 / Alamy

康托爾對無理數提出了不同的定義。他用逼近或“收斂”到特定值的有理數序列來表達每個無理數。盡管康托爾的無理數最初看起來與戴德金的不一樣，但后來的工作證明它們在數學上是等價的。

康托爾的工作使他想知道有多少個數字存在。這個問題乍一看可能很奇怪。有無限多的整數——你總是可以繼續加一。據推測，這與一組數字所能達到的一樣大。但康托爾證明，矛盾的是，盡管分數的數量與整數的數量相同，但可證明無理數（比有理數）更多。他是第一個意識到有多種大小的無限的人。

數軸比任何人想象的都更擁擠，更奇怪。但數學家們只有在改變觀念后才能看到這一點。

戴德金的分割可以說是現代數學的開端。“這確實是數學史上數學家真正知道他們在說什么的第一點，”斯圖爾特說。戴德金和其他人第一次用他的定義證明了微積分中的主要定理——這使他們不僅加固了萊布尼茨和牛頓所建立的大廈，而且豐富了它。戴德金的工作使數學家能夠更好地理解數列和函數。艾米·諾特（Emmy Noether，1882 - 1935）是一位多產的數學家，在20世紀初幫助塑造了抽象代數領域，據說她曾告訴她的學生， https://core.ac.uk/download/pdf/82253306.pdf “一切都已經在戴德金當中了。”

√2正式的定義為超越最初激發戴德金的微積分主題的探索開辟了新的視野。正如斯圖爾特所說，“在戴德金之后，數學家們開始意識到你可以完全發明新概念。…數學的整個概念變得更加廣闊和靈活。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-the-square-root-of-2-became-a-number-20240621/

https://core.ac.uk/download/pdf/82253306.pdf

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