拓撲學家丹尼·卡萊加里 (Danny Calegari) 討論了數(shù)學中無法避免的沮喪，以及如何從沮喪中學習。

圖源：Kristen Norman / Quanta Magazine

作者：Jordana Cepelewicz 量子雜志資深作家 2024-5-22

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2024-5-24

讀數(shù)學論文有點像在一家不錯的餐廳吃大餐。主菜可能味道鮮美，但它并沒有講述它的制作過程的完整故事。聰明的食譜最終嘗起來很時髦，但不會出現(xiàn)在菜單上；未煮熟的菜肴（通常）不會提供給顧客。但構(gòu)思和執(zhí)行中的失誤是該過程的重要組成部分。芝加哥大學拓撲學家丹尼·卡萊加里（Danny Calegari）希望數(shù)學家對廚房里發(fā)生的事情更加透明。

卡萊加里在墨爾本的一個數(shù)學家庭長大。他的父親在當?shù)匾凰夹g(shù)學院教授微積分，母親則教授統(tǒng)計學。他們的書架上擺滿了教科書，他和他的弟弟弗蘭克會瀏覽這些教科書玩。

但卡萊加里并不總是打算成為一名數(shù)學家。當他在墨爾本大學就讀本科生時，他考慮成為一名作家，或者也許是一名認知科學家。他決定參加拓撲學課程，以更好地了解大腦工作原理的一些模型。“這真是令人震驚，”他說。“這堂課上，每句話都有些有趣。這就像世界上最偉大的樂高積木之類的東西，一切都以這種輝煌、意想不到、強大的方式連接在一起。”

他被迷住了。他決定主修數(shù)學，后來在加州大學伯克利分校獲得博士學位，最終堅持拓撲學。（弗蘭克跟隨他來到伯克利，然后加入他在芝加哥的數(shù)學系，專攻數(shù)論。）

卡萊加里仍然是喬伊斯、狄更斯、納博科夫、奧斯丁、馮內(nèi)古特、洛里·摩爾、雷蒙德·格諾、安妮·卡森的狂熱讀者。他還時不時地寫自己的短篇小說。但最重要的是，他對數(shù)學、低維拓撲和幾何群論問題感興趣，這些問題讓他徹夜難眠。“一旦我遇到了拓撲學，這有點像被火車碾過，一切都改變了，”他說。

在最近一期的《美國數(shù)學會通訊》中 https://www.ams.org/journals/notices/202309/noti2782/noti2782.html，卡萊加里發(fā)表了一篇關(guān)于數(shù)學失敗的重要性的文章。他寫道，沮喪“既是危機，也是機遇。”

Quanta 與 Calegari 討論了數(shù)學失敗是什么樣子，以及為什么它很重要。為了清晰起見，采訪內(nèi)容已經(jīng)過精簡和編輯。

卡萊加里喜歡在業(yè)余時間寫短篇小說。他說，文學“讓你了解作為他人的感受。”

圖源：Kristen Norman / Quanta

Q：你為什么決定寫一篇關(guān)于失敗的文章？

這是我知道的事情，也是人們很少談?wù)摰氖虑椤Ｋ晕矣X得我至少可以嘗試誠實地講述這種經(jīng)歷是什么樣的，以及它有時如何有用。

數(shù)學太有競爭性了。大多數(shù)人都在努力獲取非常有限的資源，因此沒有人愿意表現(xiàn)出任何弱點。不承認自己正在掙扎，面臨著巨大的社會壓力。

沮喪每次都會帶來傷害，但這并不總是壞事。

Q：你的文章提到你在高中時未能進入IMO國際數(shù)學奧林匹克代表隊，以及你后來如何將其視為更深入學習數(shù)學的機會。從那以后你經(jīng)歷過怎樣的失敗？

承認你的確想要一些你沒有得到的東西總是令人尷尬的。一份工作、一次會議的邀請、致謝、認可。

我主要的沮喪與我在“穩(wěn)定換位子長度”（stable commutator length）領(lǐng)域所做的工作有關(guān)，該領(lǐng)域涉及所謂自由群中元素之間的關(guān)系。我覺得我證明了一些真正意想不到的定理，并發(fā)現(xiàn)了許多基本結(jié)構(gòu)以及與其他數(shù)學領(lǐng)域（例如動力學）的聯(lián)系。我甚至寫了一本關(guān)于它的書。我認為這對于從事低維拓撲研究的人們來說會非常有趣，并且會激勵他們立即開始研究相關(guān)問題。

卡萊加里說：“如果人們真的想象某件事是對的，并且他們已經(jīng)證明了某些事，那么承認錯誤可能會非常困難。”

圖源：Kristen Norman / Quanta

但沒有人關(guān)心。世界上可能有一兩個人在我的作品基礎(chǔ)上進行了創(chuàng)作，但基本上不值一提。

所以我非常沮喪。我為此投入了五六年的時間。我停止了這件事，不是因為我已經(jīng)窮盡了這個主題，也不是因為我認為沒有什么有趣的事情可以做，而是因為一個人繼續(xù)做卻得不到任何反應很孤獨。

但從中得到了一個很好的教訓，那就是，我最終不再那么關(guān)心別人的想法，而是更多地被好奇心所驅(qū)動。如果你想研究數(shù)學，那么做數(shù)學本身就必須是一種回報，因為沒有人關(guān)心，而且被認為重要的東西并不總是有意義。

Q：本著那個教訓的精神，你有沒有重返這項工作？

事實上，就在最近幾個月。我希望能在這方面提出更精確的猜想。

Q：這是一種常見的經(jīng)歷嗎？

是的。我認為 100% 的數(shù)學家認為沒有人關(guān)心，甚至沒有人知道他們最好的工作。即使有人證明了一些著名的猜想并得到了很多關(guān)注，真正閱讀證明細節(jié)并充分欣賞所做的事情的人數(shù)也是微乎其微的。這是有道理的：學習一門不在你已經(jīng)熟悉的領(lǐng)域的東西是非常困難的，而且如果你這樣做了，回報也很少。所以大多數(shù)時候大多數(shù)人都不會這樣做，這是完全合理的。他們?yōu)槭裁匆@么做？

Q：不過，那是非常孤獨的。

是的。我認為這就是當今人們合作更加普遍的原因之一——這種情況只是在過去幾十年里才發(fā)生的。因為至少你的合著者關(guān)心論文中的內(nèi)容并對你正在做的事情感興趣。

“如果你想進入數(shù)學領(lǐng)域，”卡萊加里說，“做數(shù)學本身就必須是一種回報，因為沒有人關(guān)心，而且被認為重要的東西并不總是有意義。”

圖源：Kristen Norman / Quanta

實際上，這是一個非常積極的發(fā)展。當我還是一名研究生時，人們撰寫多個作者的論文并不常見。現(xiàn)在一篇論文的作者少于三位的情況很少見。我認為這在數(shù)學中是一件非常非常好的事情。首先，協(xié)作可以減少論文的錯誤。

Q：所以這是失敗帶來富有成效的另一種方式。

是的。通過合作，特別是像Polymath項目這樣的大規(guī)模公共合作，失敗的證明嘗試已經(jīng)成為公共記錄的一部分。通過閱讀這些失敗的案例，數(shù)學家可以更好地了解當前的前沿。人們嘗試過一些方法，但其中一些沒有成功，這是有記錄的。失敗的實驗，這些來之不易的教訓，是顯而易見的。

例如，通常情況下，在某個領(lǐng)域工作了很長時間的人會從經(jīng)驗中了解到某種方法有某些缺點。進入該領(lǐng)域的年輕人必須通過與其他數(shù)學家一起出去玩并參加會議來學習這些東西。但協(xié)作努力提供了一種將這些東西推向社區(qū)的新方法。

Q：數(shù)學家從失敗的證明中吸取教訓的例子是什么？

比爾·瑟斯頓（Bill Thurston，1946 - 2012）是一位數(shù)學家，他顛覆了三維拓撲學的主題。其中一部分是他的幾何化猜想，他給出了幾何結(jié)構(gòu)如何與三維空間相關(guān)聯(lián)的模型。

在開始提出該猜想的早期版本時，他多次認為他已經(jīng)證明某些結(jié)構(gòu)是不可能的。但另一位數(shù)學家表明這些結(jié)構(gòu)可能存在。所以他錯了。

從本科生起，卡萊加里就對拓撲著迷。當他第一次遇到這個話題時，“有點像被火車碾過”。

圖源：Kristen Norman / Quanta

瑟斯頓說，他所有的錯誤嘗試都讓他對三維空間的幾何和拓撲有了更深入的了解。這就是最終幾何化猜想所依賴的腳手架。對他的綱領(lǐng)中的失敗點以及他的證明失敗原因的分析，指引他做出這個強有力的、重要的猜想。

Q：它現(xiàn)在是該領(lǐng)域最大的成果之一，對吧？

是的。困難的部分是你必須在某個時候轉(zhuǎn)變立場并說：“好吧，也許我試圖證明的并不是對的。”我認為這種情況在數(shù)學中經(jīng)常發(fā)生，但人們非常不愿意改變方向。

G.H.哈代（G.H. Hardy，1877 - 1947）曾經(jīng)被問到拉馬努金（Srinivasa Ramanujan，1887 - 1920）作為一名數(shù)學家的杰出之處是什么。他說的一件事是拉馬努金具有非常快地提出假設(shè)的非凡能力，但他也非常快地修改他的假設(shè)。他很靈活：如果有些事情不起作用，他能夠調(diào)整并修正他的思維方式。數(shù)學家并不總是欣賞這種力量。

大多數(shù)時候，至少根據(jù)我的經(jīng)驗，他們有點太快地接受了猜想是真是假的傳統(tǒng)智慧，去附和其他人所說的一切。

Q：這也體現(xiàn)了這樣一個想法：首先做出猜想很重要，即使它們是錯誤的。

千真萬確。還有一個相關(guān)的問題，那就是有時論文中存在無法修復的深層錯誤。如果人們真的想象某件事是對的并且他們已經(jīng)證明了某些事，那么承認錯誤可能會非常困難。

“失望每次都會讓人受傷，”卡萊加里說，“但這并不總是壞事。”

圖源：Kristen Norman / Quanta

不幸的是，這與人們傾向于研究傳統(tǒng)智慧版本的猜想的方式相吻合。因為如果每個人都同意某個猜想可能是正確的，并且你提出了它的證明，那么人們當然會在某種程度上提出批評，但如果它符合他們的期望，他們就會不那么謹慎。可能需要很長時間才能發(fā)現(xiàn)錯誤。

希爾伯特問題之一，一個關(guān)于微分方程定義的曲線族的問題被認為已經(jīng)解決。亨利·杜拉克（Henri Dulac，1870 - 1955） 在1923年證明了這個問題，直到去世時他仍然相信自己已經(jīng)解決了這個問題。60年后，尤利吉·伊利亞申科（Yulij Ilyashenko，1943 -）發(fā)現(xiàn)了一個反例。如今，這一領(lǐng)域的工作變得更加活躍。

這種事情可能會發(fā)生在數(shù)學中。甚至可能存在非常著名的問題，人們聲稱每個人都接受一個證明，但很長一段時間后人們才發(fā)現(xiàn)它不是對的。同樣的心理壓力使人們難以應對失敗，同時也使人們難以仔細、批判性地評估他們?yōu)楂@得正確性而個人投入巨大的論證。

Q：您談到了協(xié)作努力如何使失敗變得更加可見。還有其他方法可以實現(xiàn)這一目標嗎？

另一種方法是通過教學。有時，當你教學時，你會傾向于將材料呈現(xiàn)為：這是路徑，讓我們沿著它穩(wěn)步前進。但我覺得引入其他方向以及可能令人感到困惑的主題的微妙方面是有用的。有時你需要打斷流程，因為一開始一切看起來都很自然，你想說，讓我們停下來，這實際上并不像看起來那么容易，這個怎么樣，那個怎么樣？

Q：這與您對閱讀和寫作的興趣有何關(guān)系？

總是很難知道別人腦子里在想什么。傳達一個人內(nèi)心世界的特殊親密體驗并不容易。

這在數(shù)學中很重要，因為我們思考數(shù)學對象的方式與紙頁、黑板或類似物體上出現(xiàn)的方式非常不同。即使你有一個你認為非常清晰和直接的想法，你仍然需要將它傳達給那些有著截然不同的思考方式的人。

優(yōu)秀寫作的一個偉大的、非常有用的和有價值的功能是，它給你一種了解別人是什么樣子的方式。你可以看到人們的頭腦。這是文學最偉大的禮物之一：你會發(fā)現(xiàn)其他人也很奇怪，而不僅僅是你。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-failure-has-made-mathematics-stronger-20240522/

https://www.ams.org/journals/notices/202309/noti2782/noti2782.html

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